Практичне заняття 2. теореми додавання і

МНОЖЕННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ

1. Теореми додавання ймовірностей.

2. Теореми множення ймовірностей.

Задача. Партія містить 12 стандартних і чотири нестандартні деталі. Навмання беруть три деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей:

1) не менш як дві стандартні;

2) усі три нестандартні;

3) принаймні одна стандартна.

Розв’язання. 1) Нехай подія А – «серед трьох узятих деталей не менш як дві стандартні». Тоді її можна подати як суму двох подій: – «серед трьох узятих деталей дві стандартні і одна нестандартна» і – «усі три узяті деталі стандартні». Події несумісні, тому маємо:

Імовірності подій знайдемо згідно з класичним означенням імовірності.

Отже,

2) Подія В – «усі три взяті деталі нестандартні». Цю подію можна подати як добуток трьох подій де і-та деталь нестандартна, Умовою задачі не задано, що деталі беруться з поверненням. Отже, взяти три деталі разом – це те саме, що брати їх по одній без повернення, а тому події залежні. Згідно з цим імовірність події В обчислюємо так:

3) Подія С – «із трьох деталей принаймні одна стандартна». Протилежна подія – «усі три деталі нестандартні». Імовірність цієї події щойно знайдено: . Остаточно маємо:

Задача. Маємо 3 партії деталей. Перша партія складається з 10 стандартних і 3 нестандартних деталей, друга – із 15 стандартних і 4 нестандартних, третя – із 20 стандартних і 5 нестандартних деталей. Із кожної партії беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що серед узятих деталей:

1) тільки одна стандартна;

2) тільки дві стандартні.

Розв’язання. Нехай згідно з умовою з кожної партії взято по одній деталі. При цьому можуть відбутися події , які полягають відповідно в тому, що деталь, яку взяли з першої, другої і третьої партії виявилась стандартною.

1) Подія А – «тільки одна із трьох деталей виявилась стандартною». Цю подію можна подати так: Групи подій, сумою яких є подія А, несумісні між собою, а події в кожній групі незалежні. Тому ймовірність події А обчислимо так:

2) Подія В – «тільки дві деталі із трьох виявились стандартними». Подамо цю подію через події та протилежні до них:

Подію В подано як суму несумісних груп подій. У кожній групі події незалежні. Знайдемо ймовірність події В:

Задача. Перевезення вантажів для підприємства забезпечують два автогосподарства, які з цієї метою щодня в першу зміну мають виділяти по одному автомобілю. Імовірність виходу автомобіля на лінію в першому автогосподарстві дорівнює 0,7, а в другому – 0,6. Знайти ймовірність того, що в першу зміну на підприємстві перевозитимуться вантажі.

Розв’язання. Розглянемо події: А – «на підприємстві в першу зміну перевозитимуться вантажі»; – «для перевезення вантажів прибув автомобіль із першого автогосподарства»; – «для перевезення вантажів прибув автомобіль із другого автогосподарства». Тоді Події сумісні, тому Очевидно, що події незалежні і Остаточно дістаємо:

Задача. Прилад складається із трьох вузлів, які працюють незалежно один від одного, причому другий і третій вузли взаємозамінювані. Ймовірності виходу з ладу вузлів на заданому часовому проміжку становлять відповідно 0,2; 0,3 і 0,4. Знайти ймовірність того, що протягом заданого часу прилад працюватиме.

Розв’язання. Розглянемо події: А – «прилад працює протягом заданого часу»; – «перший вузол працює»; – «другий вузол працює»; – «третій вузол працює». Подія А настає, якщо працюють перший та другий вузли, або перший та третій вузли, або всі три вузли разом. Звідси: За умовою задачі маємо, що події незалежні, а події – сумісні. Тому

Під час обчислення враховано, що умовою задачі задано ймовірності протилежних подій.

Задача. Ймовірність того, що справним є перший комп’ютер , другий – ,третій .Знайти ймовірність того, що справними є принаймні два комп’ютери.

Розв’язання.Нехай – подія, яка полягає в тому, що перший комп’ютер справний, – подія, яка полягає в тому, що другий комп’ютер справний, – подія, яка полягає в тому , що третій комп’ютер справний, – подія, яка полягає в тому ,що справними є принаймні два комп’ютери.

Виразимо подію через події ,а також події їм протилежні.

Використовуючи теореми додавання та множення ймовірностей, маємо