Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Предел последовательности

Определение. Число а называется пределом последовательности , если для любого существует номер N такой, что при всех n>N выполняется неравенство

( ).

Пример 1. Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство из определения предела последовательности, которое мы должны решить относительно n, принимает вид Пусть . Тогда , откуда , следовательно, в качестве N можно взять . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превосходящее . Если, например, , то условиям задачи отвечают натуральные числа , то есть

Пример 2. Доказать, что (указать ).

Решение. Неравенство принимает вид , Последнее неравенство преобразуется в квадратное. Однако вычисления можно упростить. Неравенство будет выполняться, если справедливо следующее двойное неравенство: Его левая часть заведомо выполняется при . Правая часть выполняется при . Следовательно, условиям задачи отвечают числа Отсюда

При вычислении предела в случае и (т.е. в случае неопределённости вида ) или в случае , и т.д. нельзя сразу воспользоваться арифметическими свойствами предела. Следует так преобразовать выражение , чтобы можно было использовать свойства предела и раскрыть неопределённость, т.е. найти предел. Полезным для этого в случае бывает вынести в числителе и знаменателе старшие степени за скобки или разделить числитель и знаменатель на старшую степень одного из них.

Пример 3.Найти предел .

Решение. Преобразуем исходное выражение, выполнив действия в числителе и знаменателе:

. Разделив числитель и знаменатель на их старшую степень , получим . Поскольку то по свойствам предела получаем

Вообще предел отношения двух многочленов переменной можно находить по правилу

(1)

так что в решении последнего примера можно было обойтись без деления на .

При вычислении пределов используют формулу бинома Ньютона

(2)

Также следует знать формулу ( «эн-факториал»- произведение натуральных чисел от 1 до n; например, ).

Пример 4. Найти предел .

Решение. Разделим числитель и знаменатель исходного выражения на -

старшую степень числителя и знаменателя. Действительно, показатель степени суммы равен наибольшему показателю степени слагаемых, поэтому для числителя он равен 2 ( ). Показатель степени произведения равен сумме показателей степеней сомножителей. Показатели степени выражений равны 1, поэтому показатель степени знаменателя равен 1+1=2. Тогда Поскольку при то , и по свойствам предела получаем

При вычислении пределов, содержащих иррациональные выражения, часто используют приём перевода иррациональности из числителя в знаменатель или наоборот с помощью формул сокращённого умножения

(3)

(4)

(5)

(первая и вторая из них получаются из третьей при и соответственно).

Так, например, если выражение содержит множитель , где и и их старшие степени и коэффициенты при них совпадают или эта разность стремится к нулю, полезно умножить числитель и знаменатель исходной дроби на , т.е. на выражение, сопряжённое к .

Пример 5. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость .Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое к числителю и воспользуемся формулой (3); далее разделим числитель и знаменатель на :

Теперь воспользуемся арифметическими свойствами предела и тем, что при

Замечание. Сразу после (6) можно было записать , поскольку показатели степени слагаемых в знаменателе и равны 3, следовательно, старшая степень знаменателя есть и коэффициент при равен 2 (на языке асимптотического поведения функций выражение в знаменателе эквивалентно , то есть

, эквивалентно , а при вычислении пределов величины можно заменять на эквивалентные, см. с.11).

Пример 6. Найти предел

Решение. Имеем неопределённость . Воспользуемся формулой (4).Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, дополняющее числитель до разности кубов, то есть на соответствующий неполный квадрат суммы; далее разделим числитель и знаменатель на и воспользуемся арифметическими свойствами предела:

. (7)

Замечание. Сразу после (7) можно было записать (см. предыдущее замечание).

Пример 7. Найти предел

Решение.Поскольку , то . Первый сомножитель в числителе является суммой геометрической прогрессии. Найдём эту сумму по формуле : . Так как , то . Окончательно получаем

Пример 8. Найти предел

Решение. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии : . Кроме того, , откуда . Подставляем полученные выражения в исходное:

.

Разделим теперь числитель и знаменатель последовательно на и :

поскольку

Пример 9. Найти предел

Решение. Обозначим Если - чётное, , то Если - нечётное, , то

Таким образом, при любом Поскольку то .

Задачи, связанные с применением теоремы Вейерштрасса о пределе монотонной последовательности.

Пример 10. Доказать, что

Решение. 1-й способ. Обозначим Заметим, что при Поэтому последовательность убывает при и, поскольку она ограничена снизу нулём, то имеет предел. Обозначим и перейдём к пределу в равенстве

2-й способ. Используя формулу (2), получаем Отсюда Поскольку , из последнего неравенства следует, что

3-й способ. Найдём , при которых выполняется неравенство Следовательно, при

, то есть . Поскольку то из последнего неравенства следует, что .

Пример 11. Доказать, что последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, а последовательность монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел .

Второй замечательный предел

задаётся формулами , , где

или формулой (). Он применяется, в частности, при вычислении пределов

, где т.е. в случае неопределённости вида

Пример 12.Найти предел

Решение.Находим пределы основания и показателя степени исходного выражения и убеждаемся в том, что перед нами неопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Пример 13. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательности

Пример 14. Доказать, что

Решение. Покажем, что при любом

Действительно, это неравенство равносильно неравенствам

Последнее неравенство верно, поскольку последовательность

убывает(см. пример ) и её предел равен Тогда

Поскольку то и

Пример 15. Для нахождения применяется следующий процесс: произвольно,

(8)

Доказать, что

Решение. Из известного неравенства , связывающего среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел, получаем, что для любого Теперь убедимся в том, что последовательность не возрастает. Действительно, неравенство то есть , равносильно , . В справедливости последнего неравенства мы убедились выше. По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел , который находим, переходя в (8) к пределу: , .

Пример 16. Последовательность определяется следующим образом:

, Найти .

Решение. Оценим разность между и числом , являющимся корнем уравнения : , . Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим , .

Поскольку , то и .

Предел функции

Пусть Е- некоторое непустое подмножество множества R действительных чисел, – предельная точка множества Е, - функция, определённая на Е.

Определение. Число называется пределом функции в точке , если

e d>0 d Þ e). (9)

Предел функции в точке обозначается символом . Во всех рассматриваемых далее примерах функция определена в некоторой проколотой окрестности точки , поэтому мы будем использовать символ . Определение предела в случае аналогично приведённому ( его можно найти в учебнике или конспекте лекций).

Определение. Функция есть бесконечно малая при , если

Функции и называются эквивалентными (f ~ g) при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где .

Определение. Функция есть бесконечно малая относительно при , если в некоторой проколотой окрестности точки а выполнено соотношение , где При этом пишут Если при этом g- бесконечно малая, то говорят, что f есть бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с g.

Справедливы следующие предложения.

1. (f(х) ~ g(х)) при .

2. (f(х) ~ g(х)) при

Последнее правило не распространяется на суммы и разности функций, кроме отдельных случаев, например

3. Если f(х) ~ах и g(х) ~bх и , то (f(х) - g(х)) ~(а- b)х.

При вычислении пределов функций полезно использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых величин при :

1. sinx~x , ,

2. arcsinx~x, arcsinx =x+o(x),

3. tgx~x , tgx=x+o(x),

4. arctgx ~x, arctgx=x+o(x),

5. ~x , ,

6. ~xlna, ,

7. ~x , ,

8. ~ , ,

9. ~ , ,

10. 1-cosx~ , .

Пример 17. Доказать (найти d(e)), что .

Решение. Заметив, что квадратный трёхчлен имеет корни и , упростим исходное выражение:

.

Тогда соответствующая часть формулы (9) из определения предела функции принимает вид e. Это неравенство будет выполняться, если . Следовательно, можно взять .

Пример 18. Найти предел .

Решение. При многочлены в числителе и знаменателе исходного выражения обращаются в нуль, следовательно, их пределы в точке равны нулю и мы имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение. Разложим многочлены в его числителе и знаменателе на множители, воспользовавшись тем, что является их корнем, с помощью группировки слагаемых или разделив их на х+2:

, .

Получаем Мы снова имеем неопределённость, так как при х= -2 числитель и знаменатель последней дроби обращаются в нуль. Разлагаем их на множители, сокращаем и находим искомый предел: .

Пример 19. Найти предел

.

Решение. Имеем неопределённость вида . Преобразуем исходное выражение, умножив его числитель и знаменатель на множитель , сопряжённый к числителю.

Поскольку , то

.

Пример 20. Найти предел .

Решение. Подставив х=1 в выражения в числителе и знаменателе, убеждаемся в том, что имеется неопределённость вида . Воспользуемся формулами (3), (4). Умножим числитель и знаменатель исходного выражения на множитель , дополняющий числитель до разности кубов (неполный квадрат суммы), и на множитель , сопряжённый к знаменателю. Получаем

Поскольку , , то

.

Пример 20. Найти предел .

Решение. Дважды применим приём умножения на сопряжённое выражение.

, поскольку при .

Далее,

.

Пример 21. Найти предел a .

Решение. Применим формулу (5) , положив в ней , . Умножив числитель и знаменатель исходной дроби на выражение и учитывая, что оно стремится к 5, получаем:

Пример 22. Найти предел .

Решение. 1-й способ. Сделаем замену переменной:

По

предложению 3 выражение в числителе эквивалентно , следовательно,

2-й способ. Сделаем замену переменной и воспользуемся формулой 9 из таблицы эквивалентных бесконечно малых.

Пример 23. Вычислить предел функции

.

Решение. Воспользовавшись формулами приведения и табличными эквивалентностями, получаем

.

Пример24. Вычислить предел функции

.

Решение. Заметив, что все сомножители в числителе и знаменателе исходного выражения есть бесконечно малые при , заменим их, кроме , на эквивалентные:

Получаем

.

Пример 25. Вычислить предел функции .

Решение. 1-й способ. Преобразуем исходное выражение и разделим числитель и знаменатель на х: . Тогда по арифметическим свойствам предела . По таблице заменяем выражения на эквивалентные и переходим к пределу в каждом слагаемом:

2-й способ. Поскольку , то . Точно так же и при . Воспользовавшись этими соотношениями, получаем

.

Пример 26. Вычислить предел функции

.

Решение. Вынесем в знаменателе исходного выражения множитель и учтём, что : . Теперь сделаем замену переменной, воспользуемся формулой приведения и табличными эквивалентностями:

.

.

Пример 27. Вычислить предел функции

Решение. 1-й способ. Преобразуем числитель исходного выражения:

Используя последнее равенство, приём умножения на сопряжённое выражение, предел и табличные эквивалентности, получаем:

+ + =

+ + = + 1 +

2-й способ. Последовательно используя табличные формулы

при , получаем

Пример 28. Вычислить предел функции

Решение.Сделаем подстановку и воспользуемся табличными формулами:

Пример 29. Вычислить предел функции

Решение. Сделаем подстановку :

(10)

Преобразуем выражение

Подставляем полученное выражение в (10):

Пример 30. Вычислить предел функции

Решение.

Мы воспользовались свойствами логарифма и тем, что есть бесконечно большая, а и -бесконечно малые при

Пример 31. Найти предел

Решение. Понизим степень в исходном выражении и вынесем n из-под корня: Теперь используем табличное представление , где при , формулу приведения и то, что (непрерывность косинуса):

Пример 32.Вычислить предел функции

Решение.Величина является ограниченной, а x - бесконечно малой при . Поэтому их произведение есть бесконечно малая. Далее, поэтому ; . Отсюда

Пример 33.Вычислить предел функции

Решение.Воспользуемся тем, что если , то В нашем случае , Тогда

Задачи, связанные с применением второго замечательного предела

Второй замечательный предел

(11)

применяется ( как и в случае последовательностей) при вычислении пределов , где т.е. в случае неопределённости вида

Следующие три примера решим различными способами.

Пример 34.Вычислить предел функции

Решение. Находимпределы основания и показателя степени исходноговыражения и убеждаемся в том,что переднаминеопределённость вида Выделяем в исходном выражении формулу и вычисляем предел.

Предел выражения можно находить, предварительно вычислив предел его логарифма.

Пример 35.Вычислить предел функции

Решение.Преобразуем логарифм исходного выражения, применив формулу Отсюда Теперь находим искомый предел:

Для вычисления предела , где т.е. в случае неопределённости вида , можно использовать правило:

. (12)

Пример 36.Вычислить предел функции

Решение.Находим

Далее, и в силу (12) получаем

Пример 37.Последовательность функций определяется следующим образом: Найти

Решение.Легко заметить и доказать по индукции, что Оценим разность между и числом являющимся корнем уравнения . Последнее неравенство следует из того, что и Применяя полученное неравенство к разности и т.д., получим то есть . Отсюда видно, что

Непрерывность функции

Определение.Функция , заданная на множестве Е R, называется непрерывной в точке а Е, если

(13)

Отсюда следует, что в изолированной точке множества Е функция непрерывна (см. пример 41); если же а - предельная для множества Е, то (13) означает, что

Пример 38.Доказать, чтофункция непрерывна в точке а=2(найти ).

Решение. 1-й способ.Посколькуопределена при всехзначениях R,тоЕ= R и(13) принимает вид:

Переходим к неравенству для значений функции:

(14)

Пусть выполненонеравенството естьТогда Если теперь потребовать, чтобы выполнялось неравенство ,то неравенство (14) также будет выполнено:Итак, для выполнения последнего неравенствапотребовалось, чтобыи .Поэтому

2-й способ.Неравенство для значений функции выполнено, если выполнено неравенство

Последнее неравенство, (квадратное относительно ) выполнено, если Таким образом,

Рис.1

3-й способ.Найдём по графически (см. рис. 1) и получим такой же результат, как для второго способа (в этом легко убедиться самостоятельно).

Пример 39.С помощью « » рассуждений доказать непрерывность следующих функций: 1) :2) .

Решение.1).Пусть Тогда если . Кроме того, должно выполняться условие ,откуда и При а=0 если ( в качестве окрестности нуля в множестве Е=D(f) берётся ).

2). Покажем, что для любых х и а

(15)

Из определения арктангенса и с помощью замены переменной получаем, что это неравенство равносильно неравенству

где (16)

Если х и а одного знака, то