Контрольная расчетная работа по статике

Введение

Методические указания содержат задания к контрольным работам по курсам "Теоретическая механика" и "Теоретическая и прикладная механика", часть 1, для студентов очной и заочной форм обучения машиностроительного и электроэнергетического факультетов. Приведены примеры решения задач.

Механика – это область науки, цель которой изучение движения и напряженного состояния элементов машин, строительных конструкций, сплошных сред и т.п. под действием приложенных к ним сил. Механику принято делить на теоретическую и прикладную. В теоретической механике устанавливаются общие закономерности изучаемых объектов вне связи с их конкретными приложениями. Под термином «Прикладная механика» понимают область механики, посвященную изучению движения и напряженного состояния реальных технических объектов – конструкций, машин, робототехнических систем с учетом основных закономерностей, установленных в теоретической механике.

Будучи комплексной дисциплиной «Теоретическая и прикладная механика» включает в себя в том или ином объеме основные положения курсов «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин». Учебная программа по этому предмету предусматривает изучение общих законов равновесия и движения материальных тел; основных методов расчета на прочность, жесткость и устойчивость отдельных деталей и узлов машин; изучение устройства, области применения и основ проектирования деталей машин общего назначения.

Чтобы хорошо усвоить курс теоретической и прикладной механики нужно не только глубоко изучить его теоретический материал, но и получить твердые навыки в решении задач. Для этого необходимо самостоятельно решить достаточно большое их количество по всем разделам курса из соответствующих сборников и выполнить ряд специальных заданий.

При изучении материала курса по учебнику нужно прежде всего уяснить существо каждого излагаемого там вопроса. Главное – это понять изложенное в учебнике, а не "заучить".

Изучать материал рекомендуется по главам (параграфам) учебника. Сначала следует прочитать весь материал темы, особенно не задерживаясь на том, что показалось не совсем понятным (часто это становится понятным из последующего). Затем надо вернуться к местам, вызвавшим затруднения, и внимательно разобраться в том, что было неясно. Особое внимание при повторном чтении следует обратить на формулировки соответствующих определений, теорем и т.п. (они обычно бывают набраны в учебнике курсивом или разрядкой); в точных формулировках, как правило, существенно каждое слово, и очень полезно понять, почему данное положение сформулировано именно так. Однако не следует стараться заучивать формулировки, важно понять их смысл.

Перед тем как приступить к решению задач, данных в контрольных работах, надо сначала обязательно разобраться в решениях соответствующих задач, которые приводятся в учебнике, при этом особое внимание обратить на методические рекомендации по их решению. Затем попытаться решить самостоятельно несколько аналогичных задач из сборника задач И. В. Мещерского.

Все задания контрольных работ составлены в Международной системе единиц (СИ). Расчеты следует производить с помощью калькулятора. После нахождения искомых величин нужно проставить их размерность.

При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие требования:

1. Не следует приступать к выполнению контрольных работ, не изучив соответствующего раздела и не решив рекомендованных задач. Если студент основные положения теории усвоит слабо и не разберет подробно приведенные в учебнике примеры, то при выполнении контрольных работ у него возникнут затруднения.

2. Контрольные работы имеют индивидуальный характер: расчетные схемы и числовые данные каждой задачи выбираются в соответствии с учебным шифром (тремя последними цифрами номера зачетной книжки студента). По цифрам шифра определяются строки, а порядковые номера цифр в шифре указывают столбцы в таблице с данными задачи. На пересечении соответствующих строк и столбцов находят условия для вариантов данной задачи.

Например, для учебного шифра 386 из табл.1 для решения задачи 1 следует взять: силу Q=300 Н, условие задачи 1.1.2, схему 8, углы – α=0°, β=15°, γ=60°.

3. Каждую контрольную работу желательно выполнять в отдельной тетради, ручкой с синей или черной пастой, четким почерком. Необходимо оставлять поля 40 мм с левой стороны листа для замечаний рецензента, а после решения каждой задачи – 1–2 чистых листа для указаний рецензента. На обложке тетради должны быть четко написаны: название контрольной работы, дисциплины; фамилия, имя, отчество студента; наименование факультета и специальности; учебный шифр студента; дата отсылки работы; точный почтовый адрес.

4. Перед решением задачи указывается номер задачи и записывается что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи можно не переписывать). Далее выполняют эскиз с учетом условий решаемого варианта задачи; все углы, действующие силы, количество тел и их расположение на нем должны соответствовать этим условиям. Эскиз должен быть аккуратным и наглядным, его размеры должны быть такими, чтобы можно было ясно показать векторы всех сил, скоростей, ускорений и т. д., а также координатные оси.

5. Решение каждой задачи должно сопровождаться краткими пояснениями и четкими эскизами. Следует избегать многословных пояснений и пересказа учебника. Необходимо указывать размерность всех величин и подчеркивать окончательные результаты. Во всех случаях в числе удерживайте не более трех значащих цифр, так как излишняя точность ведет к непроизводительной трате времени.

6. Работы, выполненные с нарушением данных указаний, не проверяются и не засчитываются.

7. При чтении текста каждой задачи следует учесть, что большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. На рисунках к задачам все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам – вертикальными (это в тексте задач специально не оговаривается). Также без оговорок считается, что все нити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми; нити, перекинутые через блок, по блоку не скользят; катки и колеса (в кинематике и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными. Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задач и в таблицах P₁, l₁, r₁ и т.п. означают вес или размеры тела 1, а P₂, l₂, r₂ – тела 2и т.д.

8. По получении из университета контрольной работы студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и выполнить все указания преподавателя. Если работа не зачтена, следует в кратчайший срок исправить выявленные ошибки и выслать ее вторично на проверку. Все исправления как в зачтенной, так и в незачтенной контрольной работе следует поместить в этой же тетради после рецензии преподавателя. Отдельно от работы исправления не рассматриваются.

9. При сдаче зачета и экзамена по курсу необходимо представлять зачтенные по данному разделу курса контрольные работы.

КОНТРОЛЬНАЯ РАСЧЕТНАЯ РАБОТА ПО СТАТИКЕ

Общие рекомендации

При решении задач статики рекомендуется придерживаться такой последовательности:

1) изобразить тело, равновесие которого исследуется, на чертеже;

2) приложить к нему все активные (заданные) силы;

3) определить виды связей, наложенных на рассматриваемое тело, и используя принцип освобождаемости от связей, заменить их действие на тело соответствующими реакциями; построить эти реакции на чертеже

Задача 1.1

Задача 1.1 на равновесие твердого тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, расположенных в плоскости. Для ее решения надо рассмотреть равновесие соответствующего тела (блока или шара – условия 1.1.1 и 1.1.2 соответственно). К телу следует приложить активные (заданные) силы, затем применить принцип освобождаемости от связей, отбросив связи и заменив их действие на тело реакциями. Для нахождения искомых величин необходимо составить уравнения равновесия. Исходные данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
Q, Н	Номер условия	Номер схемы (рис. 1)	Углы, град
α	Β	γ
		1.1.1
		1.1.1
		1.1.1
		1.1.1
		1.1.1
		1.1.1
		1.1.2
		1.1.2
		1.1.2
		1.1.2

Условия

1.1.1. На конструкции, состоящей из двух невесомых стержней АВ и АС , скрепленных между собой и с опорами с помощью шарниров, укреплен в узле А блок. Через блок перекинут невесомый канат, один конец которого прикреплен в точке D, а к другому подвешен груз Q ( рис. 1, схемы 1 – 6). Определить усилия в стержнях, пренебрегая размерами блока. Задачу решить аналитическим и графическим способами.

1.1.2. Определить давление однородного шара весом Q на опоры, если шар опирается на две гладкие плоскости (см. рис. 1, схемы 7–8), на гладкую плоскость и выступ (см. рис. 1, схема 9), на два выступа (см. рис. 1, схема 10). Задачу решить аналитическим и графическим способами.

Пример решения задачи 1.1

Условие. На конструкции, состоящей из двух невесомых стержней АВ и АС, скрепленных между собой и с опорами с помощью шарниров, закреплен в узле А блок. Через блок перекинут невесомый канат, один конец которого прикреплен в точке D, а к другому подвешен груз Q. Определить усилия в стержнях, пренебрегая размерами блока. Задачу решить аналитическим и графическим способами. Схема конструкции приведена на рис. 1, схема 2, a = 150°, Q = 600 Н.

Аналитический способ решения. Изобразим блок А, пренебрегая его размерами (рис. 2). К нему приложены заданная сила тяжести подвешенного груза Q и реакции стержней АВ (S_B), АС (S_C), сила натяжения каната T. При отсутствии трения в блоке сила натяжения каната, перекинутого через блок, одинакова во всех точках, поэтому модуль силы натяжения каната T равен модулю силы тяжести груза Q, а направление этой реакции гибкой связи – вдоль каната от А к D. Реакции стержней направим вдоль стержней в произвольную сторону, например от узла А. Для нахождения проекций сил изобразим оси координат. Для узла А,

Рис. 1. Схемы к задаче 1.1

находящегося в равновесии под действием системы четырех сходящихся сил, расположенных в плоскости, составим два уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на оси координат и решим их.

Получим

Из второго уравнения найдем

Подставив выражение для S_B в первое из уравнений равновесия, получим

Знак минус у найденной реакции S_B означает, что истинное направление этой реакции противоположно выбранному, т.е. она направлена от В к А, и, следовательно, стержень АВ сжат. Стержень АС в соответствии с направлением реакции S_C растянут.

Графический (геометрический, графоаналитический) способ решения. Этот способ основан на построении замкнутого силового многоугольника (в нашем случае четырехугольника). Сначала сложим геометрически известные силы – Q и T, затем через начало первого вектора Q проведем прямую, параллельную линии действия одной из реакций, например S_B, а через конец последнего вектора T – прямую, параллельную линии действия второй неизвестной по модулю реакции S_C (рис. 3). Точка пересечения проведенных прямых дает графическое решение данной задачи. Для определения направления реакций обойдем периметр построенного силового многоугольника, причем направление этого обхода определяется направлением известных сил Q и T.

Значения реакций S_B и S_C определяются из решения соответствующего многоугольника, в нашем случае четырехугольника abcd. Разобьем его на два треугольника abc и acd.

В равнобедренном треугольнике abc

Применим к треугольнику adc теорему синусов

откуда

Для того чтобы определить сжаты или растянуты стержни AB и AC, перенесем с силового многоугольника найденные векторы S_B и S_C на соответствующие стержни (см. рис. 2), тогда реакция S_B будет направлена к узлу A, т.е. стержень AB сжат, а реакция S_C – от узла A, т.е. стержень AС растянут.

Задача 1.2

Задача 1.2 на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. При ее решении учесть, что натяжения обеих ветвей нити, перекинутой через блок, когда трением пренебрегают, будут одинаковы. Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если брать моменты относительно точки, где пересекаются линии действия двух реакций связей. При вычислении момента силы часто удобно разложить ее на две составляющие и , для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона; тогда .

Условие

Жесткая рама (рис. 4 – схемы 1 – 10, табл. 2) закреплена в точке шарнирно, а в точке прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.

В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом . На раму действует пара сил с моментом и две силы, величины которых, направления и точки приложения указаны в

Таблица 2

Цифры шифра	1 цифра шифра	2 цифра шифра	3 цифра шифра
Схема
Точка приложе-ния		Точка приложе-ния		Точка приложе-ния		Точка приложе-ния
		H		-	-	-	-	K	60
		-	-	D		E		-	-
		K		-	-	-	-	E
		-	-	K		H		-	-
		D		-	-	-	-	E
		-	-	H		-	-	D
		E		-	-	K		-	-
		-	-	D		-	-	H
		H		-	-	D		-	-
		-	-	E		K		-	-
Схема 1	Схема 2	Схема 3
Схема 4	Схема 5	Схема 6
Схема 7	Схема 8	Схема 9
Схема 10

Рис. 4. Схемы к задаче 1.2

таблице (например, в условиях №1 на раму действуют сила под углом к горизонтальной оси, приложенная в точке и сила под углом к горизонтальной оси, приложенная в точке и т.д.).

Определить реакции связей в точках , , вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять .

Пример решения задачи 1.2

Жесткая пластина (рис. 5) имеет в точке неподвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке. Определить реакции в точках и , вызываемые действующими нагрузками, если , , , , , , .

Рис. 5.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси и изобразим действующие на пластину силы: силу , пару сил с моментом , натяжение троса (по модулю ) и реакции связей , , (реакцию неподвижной шарнирной опоры изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для получения плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении момента силы относительно точки воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и ( , ) и учтем, что .

Получим:

, ;

, ;

, .

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: , , . Знаки указывают, что силы и имеют направления, противоположенные показанным на рис. 5.

Задача 1.3

Задача 1.3 на равновесие твердого тела (вала), находящегося под действием системы сил, произвольно расположенных в пространстве. Порядок решения этой задачи такой же, как и в двух предыдущих примерах, за исключением того, что для определения искомых величин надо составить шесть уравнений равновесия.

Следует иметь в виду, что при нахождении проекции силы на ось часто бывает проще сначала найти ее проекцию на координатную плоскость, в которой расположена эта ось, а затем найденную проекцию спроектировать на данную ось. Точно также при определении момента силы относительно оси нередко бывает удобно разложить эту силу на взаимно перпендикулярные составляющие, одна из которых параллельна какой-нибудь координатной оси, затем применить теорему Вариньона. Исходные данные для различных вариантов даны в табл. 3.

Таблица 3

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
Углы, град	Расстояния, м	Силы, Н	Номер условия	Номер схемы (рис. 6)
α1	α2	a	b	c	F	T2
			1,0	1,1	1,0			1.3.1
			1,2	1,3	1,2			1.3.1
			1,4	1,5	1,4			1.3.1
			1,6	1,7	1,6			1.3.2
			1,8	1,9	1,8			1.3.2
			1,0	1,1	1,0			1.3.2
			1,2	1,3	1,2			1.3.2
			1,4	1,5	1,4			1.3.3
			1,6	1,7	1,6			1.3.3
			1,8	1,9	1,8			1.3.3

Условия

1.3.1. На горизонтальный вал, который может вращаться в подшипниках А и В, насажаны шкив 1 радиусом r₁ = 12 см и шкив 2 радиусом r₂ = 16 см. Ветви ремней каждого шкива параллельны между собой и образуют соответственно углы α₁ с горизонталью и α₂ с вертикалью. Пренебрегая весом шкива и вала, найти натяжение ведущей и ведомой ветви ремня, а также реакции подшипников при равновесии вала.

Примечание. Натяжение ведущей ветви ремня принять вдвое больше натяжения ведомой (T₁ = 2t₁; T₂ = 2t₂).

1.3.2. На горизонтальный вал насажаны колесо 1 радиусом r₁ = 20 см, колесо 2 радиусом r₂ = 30 см и прикреплен перпендикулярно оси вала горизонтально рычаг СD длиной l = 20 см. К одному колесу приложена сила F, образующая с горизонталью угол α₁, а к другому – сила Т₂, образующая с вертикалью угол α₂; к рычагу приложена вертикальная сила Р. Пренебрегая весом вала, колес и рычага, определить силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.

1.3.3. На горизонтальный вал насажано колесо радиусом r₁ = 15 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной l = 20 см, образующий с горизонтальной плоскостью угол α₂. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом α₁ к горизонту. Пренебрегая весом вала, колеса и рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.

Пример решения задачи 1.3

Условие. На горизонтальный вал насажано колесо радиусом r₁ = 12 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной l = 20 см, образующий с горизон­тальной плоскостью угол α₂=30°. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F=1,2 кН, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом α₁=60° к горизонту. Пренебрегая весом вала, колеса, рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В, если a = b = c = 1,8 м (см. рис. 6, схема 10).

Решение. К валу кроме силы Р, действующей на рычаг СD, приложена реакция веревки (сила натяжения) T, численно равная силе тяжести груза F, так как по условию задачи трения в блоке нет (рис. 7, а). Направлена эта реакция вдоль веревки в ту сторону, куда веревка тянет блок. Реакции подшипников R_A и R_B, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси Аy, разложим на взаимно перпендикулярные составляющие R_Ax, R_Az, R_Bx и R_Bz. Направление составляющих выбирается произвольно.

Рис. 6. Схемы к задаче 1.3

Рис. 7

Составим уравнения равновесия для вала, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил. Для этого необходимо сделать вид с положительного направления координатных осей, например с оси Ay (рис. 7, б).

Из последнего соотношения найдем

Из пятого соотношения определим

Из четвертого соотношения вычислим

Из третьего соотношения найдем

Из первого соотношения найдем

Модули реакций подшипников:

Для определения направления реакции найдем угол между соответствующей реакцией и осью x:

Задача 1.4

Задача 1.4 на равновесие системы твердых тел (конструкции, представляющей составную балку с промежуточными шарнирами), находящихся под действием произвольной плоской системы сил. Для определения реакций связей основным является способ расчленения, при котором наряду с равновесием всей системы тел рассматривается равновесие отдельных тел (или групп тел системы). При этом все остальные тела системы отбрасываются, а их действие на рассматриваемое тело заменяется соответствующими реакциями.

При рассмотрении равновесия всей системы тел силы взаимодействия между отдельными телами, входящими в систему, являются внутренними взаимно уравновешенными силами и в уравнения равновесия не входят. А при рассмотрении равновесия каждого тела в отдельности (или групп тел системы) силы взаимодействия между отдельными телами становятся реакциями связей, по которым произведено расчленение системы тел. В силу закона равенства действия противодействию реакции связей рассматриваемого тела равны по модулю и противоположны по направлению соответствующим реакциям, действующим на отброшенную часть системы. Исходные данные берут из табл. 4.

При решении задач данного типа удобно придерживаться следующего порядка:

1. К конструкции прикладывают все заданные силы.

2. Согласно принципу освобождаемости от связей отбрасывают внешние связи, заменяя соответствующими реакциями.

3. Установив, что число неизвестных реакций превышает число уравнений равновесия, которые можно составить для системы тел, конструкцию расчленяют, заменяя внутренние силы соответствующими реакциями, с учетом закона равенства действия противодействию.

4. Каждое из тел, входящих в состав конструкции, рассматривают как свободное, находящееся под действием заданных сил и реакций связей (внешних и внутренних).

5. Сопоставляя число неизвестных величин и число всех уравнений равновесия, которые могут быть составлены после расчленения конструкции, устанавливают, что эти числа должны быть равны, если задача является статически определенной.

6. Выбирают наиболее удобные системы координат для каждого тела и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому телу.

7. Если задача статически определенна, то полученную систему уравнений решают в наиболее удобной последовательности и определяют все неизвестные величины.

Примечание. Некоторые задачи можно решить проще, если вместо уравнений равновесия сил, приложенных к одному из тел, использовать уравнения равновесия сил, приложенных ко всей конструкции.

Условие

На горизонтальную составную балку с двумя промежуточными шарнирами (см. рис. 8, 9) действуют силы P₁, P₂, пара сил с моментом М и распределенная нагрузка интенсивностью q. Найти реакции опор и давления в промежуточных шарнирах балки.

Пример решения задачи 1.4

Условие. На горизонтальную составную балку с двумя промежуточными шарнирами С и D (рис. 10, а) действуют силы P₁=6 кН, P₂=10 кН, пара сил с моментом М=0,025 кН м и распределенная нагрузка интенсивностью q=0,8 кН/м. Найти реакции опор и давления в промежуточных шарнирах балки.

Решение. Заменяя опоры A и B реакциями, направленными вертикально вверх, а жесткую заделку в точке E двумя составляющими реакции и парой сил с моментом M_E, убеждаемся в том, что число неизвестных реакций равно 5. Для конструкции, находящейся под действием плоской системы сил, можно составить три уравнения равновесия.

Следовательно, для решения данной задачи нужно расчленить конструкцию на отдельные тела по промежуточным шарнирам C и D (см. рис. 10, б).

Таблица 4

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
Силы, кН	M, Н м	q, кН/м	Номер схемы (рис. 8, 9)
P1	P2
				0,8
				1,4
				1,2
				1,0
				0,9
				2,0
				1,5
				1,8
				1,6
				0,7

Рис. 8. Схемы 1 – 5 к задаче 1.4

Рис. 9. Схемы 6 – 10 к задаче 1.4

Рис. 10

После замены внутренних сил, действующих в шарнирах, соответству­ющими реакциями, убеждаемся в том, что задача является статически определенной, так как для каждой части можно составить по три уравнения равновесия, всего – 9 уравнений, из которых можно найти 9 неизвестных.

Составим уравнения равновесия для первой части конструкции:

Здесь – равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на участке ВС. Ее линия действия делит отрезок ВС пополам.

Составим уравнения равновесия для второй части конструкции:

Здесь – равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на участке СD. Ее линия действия делит отрезок СD пополам.

Кроме того,

Составим уравнения равновесия для третьей части конструкции:

Здесь – равнодействующая распределенной нагрузки, действующей на участке DE. Ее линия действия делит отрезок DE пополам.

Кроме того,

В результате получим систему 9 уравнений с 9 неизвестными R_A, R_B, R_Cx, R_Cy, R_Dx, R_Dy, X_E, Y_E, и M_E. Решая эту систему, получим:

Знак минус, полученный в результате расчетов некоторых из реакций, показывает, что действительное направление этих реакций (R_Cy и M_E) противоположно выбранному при решении задачи.

Для проверки результатов решения составим уравнения равновесия для всей конструкции и подставим в них найденные значения реакций связей:

Вычисления показывают, что условия равновесия выполняются с достаточной точностью, следовательно, задача решена правильно.