Математическое представление сигналов.

ПОМЕХОУСТОЙЧИВОЕ КОДИРОВАНИЕ

Санкт-Петербург

Введение

Эффективная организация обмена информацией – необходимое условие успешной практической деятельности людей. Основой для передачи является электросвязь. Системы электросвязи стандартизованы по видам связи на телефонные, телеграфные, фототелеграфные, звукового вещания, телевидения и передачи данных. Последняя из систем – объект изучения данного курса.

Каналы передачи данных и их математические модели.

Основные определения.

Под информацией будем понимать сведения о ком-либо, о чем-либо. Это результат отражения материального мира.

Форма представления информации (текст, изображение, речь) – сообщение. Множество возможных сообщений с их вероятностными характеристиками – называют ансамблем сообщений. Выбор сообщений из ансамбля осуществляет источник сообщений. Процесс выбора является случайным. Сообщения передаются от источника к получателю (адресату) при помощи сигналов.

Сигнал – это физический процесс, который однозначно с заданной точностью отображает сообщение и служит для переноса информации в пространстве и времени. Формирование сигнала сводится к двум операциям кодированию и модуляции.Кодирование в широком смысле – это преобразование сообщения в сигнал. По существу кодирование сводится к составлению и хранению некоторой таблицы типа «что» А есть «что» Z. Так как А велико, то сообщения расчленяют на элементарные сообщения буквы и кодируют первоначально именно буквы. Это кодирование в узком смысле.

Код – универсальный способ отображения информации при ее хранении, обработке, передачи в виде системы соответствий между элементами сообщений и сигналами, при помощи которых эти элементы можно зафиксировать.

Основными параметрами кода являются его основание и значность. Основание кода (q) равно числу различных символов первичного алфавита. Можно указать два крайних случая представления М различных символов первичного алфавита в виде сигналов -двоичное и М-ичное. В первом случае, все элементы первичного алфавита нумеруются в двоичной системе счисления и таким образом представляются в виде последовательности нулей и единиц (код комбинированный). Значность кода (n) при этом находится из соотношения: 2 ⁿ ³ М. При М-ичном кодировании каждой букве первичного алфавита x_i сопоставляется свой сигнал S_i (t) длительностью T_c . Для двоичного кода q=2, для М-ичного q=М.

Чтобы кодовые комбинации преобразовать в сигнал, пригодный для передачи используют операцию модуляции (манипуляции).

Модуляция – это изменение одного или нескольких параметров сигнала-переносчика в соответствии с передаваемыми сообщениями. Основное назначение модуляции – согласование на физическом уровне источника информации с каналом (линией) связи.

Совокупность операций, связанных с преобразованием передаваемых сообщений в сигнал, называется способом передачи. Описать его математически можно операторным соотношением:

{S_ki(t)} = D_пер{x_i} = D_мD_к {x_i}

Линия связи –среда распространения сигналов, включающая усилительные и регенерационные пункты.

Сформированные сигналы излучаются в среду распространения(линию связи), где они ослабляются и искажаются. Поэтому в точке приема будут наблюдаться сигналы отличные от переданных не только энергией.

Влияние линии связи на сигнал можно задать операторным соотношением:

= D_с{ S_ki(t)} = D_сD_пер {x_i}.

Кроме искажений сигнала на входе приемного устройства имеются еще помехи и аддитивные шумы самого приемника, так что наблюдается непрерывный сигнал .

Смесь сигнала и помех должна быть преобразована в дискретные сообщения, соответствующие переданным. Эти операции сводятся к демодуляции и декодированию - обратным модуляции и кодированию.

Совокупность технических средств и среды распространения, обеспечивающих передачу сигналов между источником и адресатом называют каналом связи.

Системой связи - совокупность канала связи, источника и получателя, характеризующаяся определенными способами преобразования сообщения в сигнал и восстановления сообщения по принятому сигналу.

Процесс передачи сообщений в общем виде можно представить приведенной ниже совокупностью преобразований: После фильтрации и усиления в приемном устройстве сигнал демодулируется. Образуется дискретная последовательность , которая должна соответствовать последовательности {x_ki}. Однако из-за помех, влияния среды, погрешностей преобразования полного соответствия и {x_ki} может не быть. Далее декодер преобразует в {x_ki} соответствующие {x_i}. Способ приема – это совокупность операций по преобразованию сигналов и помех в дискретные сообщения:

{x_i}= D_пр [y(t)] = D_пр[ + ] = D_дк D_дм[ + ]

Весь процесс передачи в операторной форме можно представить как

{ }= D_пр [D_с D_пер{x_i} + ] = D_дк D_дм[D_с D_м D_к{x_i}+ ].

Нас будет интересовать одна из систем электросвязи - система передачи данных (СПД). Термин данные определен как машинные (цифровые) сообщения.

Общая задача СПД заключается в доставке определенных объемов данных по заданному адресу в регламентируемое время с требуемым качеством.

СПД - большая система и характеризуется рядом внешних показателей. К их числу относится верность (достоверность) скорость и надежность.

Верность задается через допустимую вероятность ошибочного приема определенной порции данных. Чаще всего это ошибка приема байта. Типичное значение требуемой верности -10^-6 на байт в банковских документах. В системах управления порцией служит команда (16-32 бита), а требование по допустимому значению ошибки более жесткое: 10^-7 - 10^-9 на команду.

Скорость подразумевают обычно относительную (0<R<1). Это коэффициент использования канала. Но задавать для проектирования величину R не всегда удается. Указывается чаще допустимая величина задержки и гарантируемая вероятность приема сообщения оговоренной длины с этой задержкой. По величине задержки различают СПД трех типов: реального времени (миллисекунды); запрос-ответ (секунды); некритичные к задержке (файловые). Скорость - одна из важнейших характеристик, т.к. в настоящее время стоимость передачи определяется в основном временем занятия канала.

Надежность- имеется в виду способность системы обеспечивать требуемое качество обмена (P_ош, t_зад, P_пр) в течение длительного времени.

Три указанные характеристики далеко не исчерпывающие. Стоимость - еще одна из очевидных внешних характеристик. В конкретных технических приложениях также могут быть такие характеристики как полоса канала, скрытность, энергопотребление, вес и т.д.

При системном подходе обеспечение внешних характеристик достигается за счет выбора внутренних параметров подсистем. Важнейшие внутренние параметры СПД - помехоустойчивость и пропускная способность системы. Помехоустойчивость оценивается вероятностью ошибки бита, а пропускная способность - числом бит в единицу времени, которые мы можем передать. Эти два параметра противоречивы.

Заданными являются при проектировании:

· ансамбль сообщений

· статистика ошибок (модель) канала

· набор внешних ограничений, как-то типы стыков, первичные коды, режим обмена (дуплекс-симплекс) и т.д

Система, гарантирующая требуемое качество передачи, называется допустимой. Основную трудность представляет поиск оптимальной системы. Оптимальность предполагает известным критерий. В качестве критерия часто используется одна из внешних характеристик. Скорость - наиболее употребляемый критерий, т.к. в основном она определяет цену и перспективу.

Конечная цель - найти систему, обеспечивающую передачу с требуемым качеством наиболее экономным способом. Минимизируют удельные затраты на передачу единицы информации (например на бит).

Проектирование СПД заключается в соответствующем выборе операторов, указанных в (*).

Математическое представление сигналов.

В зависимости от типа передаваемого сигнала, каналы подразделяются на непрерывные (аналоговые) и дискретные. В канале, непрерывном по амплитуде и во времени, сигнал может принимать в любой момент времени любое из непрерывного ряда значений (из бесконечно большого количества). В канале, дискретном во времени, сигнал может меняться лишь в определенные моменты времени, отстоящие друг от друга на интервал дискретизации. В большинстве случаев интервал дискретизации постоянен (на время работы), и можно говорить о периоде дискретизации и обратной величине - частоте дискретизации F_д. В чисто дискретном (цифровом) канале сигнал, дискретный во времени, может принимать одно из конечного множества состояний.

Дискретные сигналы представляют собой последовательности слов (которые не всегда являются числами); такая форма удобна и естественна для цифровых вычислительных систем.

Сигналы могут быть представлены в виде функций от времени s(t) либо функций от частоты. Представление в области времени вполне очевидно - это развертка значения (амплитуды) сигнала во времени, которое , например, можно наблюдать на осциллографе.

Пусть имеется функция времени S(t) на конечном интервале (t₁, t₂) и есть ортогональная система функций . Ортогональность означает, что: ).

Утверждается, что

где .

Последнее означает, что функция, заданная на конечном временном интервале, представима в виде ряда по системе ортогональных функций. Если S(t) - периодическая, то она представима в виде ряда на всей оси времени.

Наиболее часто в качестве ортогональных функций берутся тригонометрические функции . Тогда получается тригонометрический ряд Фурье:

, , k=0,1,2

Если воспользоваться формулами Эйлера и перейти к комплексной переменной, то получим экспоненциальную форму ряда Фурье:

, , (формула Эйлера).

Набор коэффициентов a_k , b_k или _k называют амплитудным спектром сигнала.

Большая часть реальных сигналов требует задания на бесконечном промежутке времени и не является периодическими. Чтобы представить такие сигналы используются прямое и обратное преобразование Фурье или спектральную плотность:

- спектр функции (t) или прямое преобразование Фурье.

- обратное преобразование Фурье.

Для расчета спектра функционально связанных сигналов полезно использовать ряд свойств. Перечислим их без доказательств. Будем обозначать символически прямое преобразование Фурье как F {v(t)}, а обратное F^-1 {V( )}.

1. Свойство изменения масштаба

, a – действительное число

2. Свойство линейности

3. Свойство симметрии

4. Свойство запаздывания

5. Теорема модуляции

6. Свойство дифференцирования

или

7. Свойство интегрирования

8. Теорема о спектре свертке функций

9. Теорема о спектре произведения функций

10. Теорема Рэлея (энергия сигнала равна энергии спектра)

Для существования преобразования Фурье требуется абсолютная интегрируемость функций, т.е. . Широко распространенные модели сигналов в радиотехнике такие как единичный скачок u(t), гармоничное колебание не обладают свойством абсолютной интегрированности, и в строгом смысле не имеют преобразования Фурье. Чтобы эту трудность обойти прибегают к искусственному приему. Один из способов преодолеть эту трудность сводится к введению несколько необычной функции Дирака или - функции (единичный импульс) – другое ее наименование.

Определим эту функцию, задав ее свойства:

1.

2. - симметричность (четная относительно t₀)

3. , т.е.

4. - фильтрующее свойство.

Физически эту функцию можно представить себе как предельную последовательность обычных функций. Например, прямоугольных импульсов, имеющих площадь равную единице, когда .

Можно взять и функцию отсчетов , тогда

Обратное преобразование определим формально – это - функция.

Стробирующая функция

Преобразование Фурье от постоянной составляющей (t)=A найдем как предел стробирующей функции с амплитудой А при .

Гармонический сигнал

Единичный скачок

Представим u(t) в виде .

Вычтем среднее значение , получим

.

Согласно теореме интегрированности по времени

, т.е.

Третий способ математического задания сигналов, который принципиально важен и позволяет рассматривать передачу любого сообщения и дискретного и непрерывного с единой позиции как передачу чисел (данных), основан на теореме Котельникова.

Формулировка теоремы Котельникова следующая: Если непрерывная функция времени имеет спектр, ограниченный полосой частот от 0 до F Гц, удовлетворяет условиям Дирихле, то она полностью определяется своими мгновенными значениями, отстоящими друг от друга на 1/F с.

Теорема устанавливает возможность полного восстановления детерминированного сигнала с ограниченным спектром по его отсчетам и указывает предельное значение времени между отсчетами, при котором такое восстановление еще возможно. Непрерывный сигнал, таким образом, может быть задан в цифровой форме в виде последовательности мгновенных значений.