Характеристического полинома

Найдем решение однородного разностного уравнения в виде , где z – некоторое число. Подставляя x(t) в разностное уравнение (2.1) при f(t)=0 и сокращая на z^t, получаем характеристическое уравнение

.

Если его корни z₁, z₂ вещественные и различные, то общее решение имеет вид

.

Если z₁ = z₂, то в решении появляется линейный множитель

.

В случае пары комплексно-сопряженных корней z_1,2 = a±ib решение может быть записано в вещественной форме

.

Здесь r – модуль комплексного числа z₁, а j – его аргумент.

Формулы для уравнений более высоких порядков выглядят также, просто увеличивается число слагаемых в решении.

Пример 1. Решим разностное уравнение .

Характеристическое уравнение имеет вид .

Его корни вещественные и различные: z₁ = 3, z₂ = 2.

Общее решение: .

Пример 2. Решим разностное уравнение .

Характеристическое уравнение имеет вид .

Его корни комплексные: .

Их положение на комплексной плоскости z_1,2 = a±ib показано на рис. 2.1.

Модуль и аргумент корней можно найти непосредственно на рис. 2.1:

r = 2, . Общее решение: .

Произвольные постоянные с_і находят, задавая начальные условия. Пусть, например, в примере 2 заданы начальные условия х(0)=2; х(1)=4. Записываем общее решение для t=0 и t=1:

.

Рис. 2.1. Модуль и аргумент корней

Отсюда находим с₂ = 2, с₁ = . Следовательно, решение имеет вид .

Общее решение неоднородного разностного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Частное решение ищут в том же виде, что и правая часть, т.е. функция f(t) в уравнении (2.1):

– если f(t) – постоянная, то в виде константы;

– если f(t) – экспонента, то в виде экспоненты с тем же показателем;

– если f(t) =sin kt или cos kt, то в виде c₁sinkt+c₂coskt.

Коэффициенты с₁ и с₂ находят, подставляя частные решения в разностное уравнение и приравнивая одноименные функции справа и слева.

Пример 3. Дано неоднородное разностное уравнение второго порядка

.

Находим корни характеристического полинома

.

Частное решение ищем в виде х_част=с. Подставляя его в исходное уравнение, находим, что х_част=2.

Общее решение неоднородного уравнения получаем как сумму частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения

.

Коэффициенты с₁, с₂ находим из уравнений 1=2+с₂, , откуда .

1.2. Решение разностных уравнений с помощью z-преобразования

При описании дискретных систем и решении разностных уравнений широко применяется аппарат z-преобразования – это дискретный аналог преобразования Лапласа. Например, умножение изображения F(p) на оператор Лапласа р соответствует дифференцированию непрерывной функции f(t). Умножение изображения F(z) на оператор z соответствует сдвигу функции f(t) (которая может быть непрерывной, дискретной или решетчатой) на один такт.

Таким образом, если операторы р и 1/р – это операторы дифференцирования и интегрирования, то операторы z и z^-1 – это операторы сдвига влево и вправо. С инженерной точки зрения оператор z^-1 представляет собой элемент задержки.

Существуют также определенные параллели между изображениями функций F(p) и F(z). Например, изображению по Лапласу F(p) = 1 соответствует дельта-функция f(t) = d(t), а изображению F(z) = 1, соответствует единичный импульс. В том и другом случае оригиналом является элементарное импульсное воздействие.

Краткая таблица z-преобразований других функций приведена на стр.22 (табл.1.2).

Пусть дано разностное уравнение n-го порядка

(2.3)

с начальными условиями .

Алгоритм его решения с помощью z-преобразования следующий:

– применим z-преобразование к уравнению (2.3), заменяя f(t) на F(z), y(t) на Y(z); y(t+1) на z(Y(z)-y₀) и т.д.;

– из полученного алгебраического уравнения выразим Y(z);

– выполним разложение Y(z) на простые дроби;

– пользуясь табл.1.2 (стр.22), выполним обратное z-преобразование.

Результатом будет искомое решение разностного уравнения.

Пример 4. Требуется решить разностное уравнение второго порядка

с нулевыми начальными значениями y₀, y₁ и входным сигналом u_n = 1.

Решение:

– применяем к нему z-преобразование

;

– выражаем Y(z) и подставляем :

;

– представляем правую часть в виде суммы простых дробей с переменной z в числителе:

,

разложение можно выполнить методом неопределенных коэффициентов или в пакете Matlab с помощью команды [R,P,K]=residue(B,А),где векторы В и А – коэффициенты полиномов числителя и знаменателя в порядке убывания степени z; синтаксис команды residueдля Y(z) данного примера следующий: [R,P,K]=residue([1],[1 -6 11 -6]),в результате получим R – коэффициенты числителей суммы простых дробей, P – знаменатели простых дробей, K – свободный член;

– с помощью z-преобразований (табл.1.2, стр.22) или команды iztrans тулбокса SYMBOLIC пакета Matlab находим оригиналы каждого из слагаемых и суммируем их: .

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Задание и таблица вариантов

Дискретная система задана неоднородным разностным уравнением вида . Для ее исследования необходимо решить заданное разностное уравнение с помощью характеристического полинома (см. п.1.1).

Начальные условия: y₀ = 0; y₁ = 0.

Входной сигнал: u_n = 1.

Коэффициенты разностного уравнения a и b указаны в табл. 2.1.

Таблица вариантов 2.1

Коэффициенты a и b разностного уравнения

Задание и таблица вариантов

Дискретная система задана неоднородным разностным уравнением вида . Необходимо найти реакцию системы на входной сигнал u_n = 1, решив разностное уравнение, используя z-преобразование и последовательно рассчитав точки y₂, …, y₅ (см. п.1.2).

Начальные условия: y₀ = 0; y₁ = 0.

Коэффициенты разностного уравнения a и b указаны в табл. 2.2.

Таблица вариантов 2.2

Коэффициенты a и b разностного уравнения

№
b	-1.3	-0.7	-0.2	-2	-1.6	1.6	-1.6	1.9	-2.8	2.5
a	0.3	-0.6	-0.48	0.96	0.6	0.55	0.48	0.6	1.8

№
b	0.5	-0.72	-1.28	-2	2.88	-0.5	-0.72	-1.28	-2	-2.88
a	-0.27	-0.4	-0.7	-1.1	1.6	-0.25	-0.37	-0.66	-1.1	1.5

Привести числовое решение разностного уравнения, дискретную передаточную функцию, ее разложение на простые дроби и график y_n.

Контрольные вопросы

Даны разностные уравнения:

1) ,	2) ,
3) ,	4) ,
5) ,	6) ,
7) ,	8) ,
9) ,	10)
11) ,	12) ,
13)	14)

Требуется решить уравнение:

а) с помощью характеристического уравнения;

б) при помощи z-преобразования.

Лабораторная работа №3