Объем и площадь n-мерной сферы

На основании размерности для объема n-мерной сферы радиусом r, для объема шарового слоя толщиной dr и для площади сферы получаем

,

,

.

Найдем постоянную , вычислив сходящийся интеграл

по всему пространству в декартовых и сферических координатах.

В декартовых координатах

,

,

тогда

,

где использован интеграл Пуассона (доказывается в курсе ММФ)

.

В сферических координатах

,

тогда

,

где использовано

.

Гамма-функция вычисляется по формулам

Г(n + 1) = n!, ,

Г(z + 1) = z Г(z),

,

, , ,

при .

Сравниваем результаты в декартовых координатах

и в сферических координатах

,

находим

.

В результате объем n-мерного шара, шарового слоя и площадь сферы

, (П.2.1)

. (П.2.2)

. (П.2.3)

В частности при с учетом получаем известные из школы соотношения

, , .

Эллипсоид с полуосями удовлетворяет уравнению

.

Сравниваем с уравнением сферы

,

обобщаем (П.2.1)

,

находим объем n-мерного эллипсоида

. (П.2.1а)