Анализ переходных процессов

В ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ»

ЦЕЛЬ: Освоение методики проведения анализа линейных стационарных систем, расчета их основных характеристик и изучение воздействия детерминированных сигналов на линейные стационарные системы.

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ: Для выполнения данного проекта необходимо знание следующих основных понятий и формул: импульсная и переходная характеристики линейной стационарной системы; частотный коэффициент передачи, его модуль и аргумент (АЧХ и ФЧХ системы); частотный коэффициент передачи мощности; временной, классический, спектральный и операторный методы анализа линейных стационарных систем.

По определению, импульсной характеристикой системы называется ее отклик на входной сигнал в виде дельта-функции:

h(t)=Tδ(t).

Импульсная характеристика является одной из основных временных характеристик линейной стационарной системы.

В силу фильтрующего свойства дельта-функции, стационарности и линейности системы любой выходной сигнал можно представить в виде:

Таким образом, выходная реакция системы есть не что иное, как свертка функции входного сигнала и импульсной характеристики системы.

Полученная формула называется интегралом Дюамеля и является основной формулой временного метода анализа линейных стационарных систем, поскольку при известной импульсной характеристике системы позволяет найти ее выходную реакцию на любое заданное входное воздействие.

Для физически реализуемых систем интеграл Дюамеля имеет следующий вид:

.

Таким образом, линейная стационарная система выполняет операцию взвешенного суммирования всех мгновенных значений сигнала, поступивших на ее вход до заданного момента времени t, а импульсная характеристика системы играет при этом роль “весовой” функции.

Переходная характеристика – выходная реакция системы на функцию Хевисайда (функцию включения или единичный скачок). Это вторая основная временная характеристика линейной стационарной системы.

g(t) = Tδ(t).

Связь между импульсной и переходной характеристиками определяется связью между дельта-функцией и функцией включения:

.

Таким образом, импульсная характеристика системы является производной от переходной, и обе они могут равноправно и равноценно использоваться во временном методе анализа линейных стационарных систем.

Частотный коэффициент передачи – основная частотная характеристика любой системы. При этом если на вход системы поступает гармонический сигнал с известной частотой и комплексной амплитудой U*_вх, то U*_вых = K(jω) U*_вх; тогда:

,

где K(jω) – частотный коэффициент передачи системы;

| K(jω) | – его модуль;

j(w) – аргумент.

Модуль частотного коэффициента передачи называется амплитудно-частотной характеристикой системы, а аргумент – фазо-частотной характеристикой системы. АЧХ и ФЧХ в силу своих определений являются соответственно четной и нечетной функцией частоты.

Частотный коэффициент передачи мощностиявляется основной энергетической характеристикой системы и может быть получен из равенства Парсеваля и основной формулы спектрального метода анализа следующим образом:

где – энергетический спектр сигнала,

– частотный коэффициент передачи мощности линейной стационарной системы.

Таким образом, энергию выходного сигнала можно записать в виде:

.

При этом частотный коэффициент передачи мощности для линейных стационарных систем всегда является вещественной и четной функцией частоты, поэтому его применение очень удобно в случаях, когда необходимо определить лишь изменение энергии сигнала (а не каких-либо других его характеристик) в результате прохождения через систему.

Для линейных динамических систем частотный коэффициент передачи может быть определен непосредственно по виду дифференциального уравнения, описывающего систему, и представляет собой дробно-рациональную функцию аргумента (jw), коэффициенты которой совпадают с коэффициентами данного уравнения, а степени (jw) соответствуют порядкам производных входного и выходного сигналов, присутствующих в уравнении:

. (1)

Именно этот способ определения частотного коэффициента передачи системы оказывается наиболее удобным в практическом применении.