Дәріс Топологиялық кеңістіктің анықтамасы. Жекеленушілік, байланыстылық, компактылық. Облыс. Үздіксіздік және гомеоморфизм.

Лекция жоспары

1. Топологиялык кеңiстiк

2. Топологиялык кеңiстiктiң аныктамасын, мысалдар.

3. Жекеленушiлiк, байланыстылық, компактылык

4. Облыс.

5. Үздiксiздiк жене гомеоморфизм

Дәріс тезисі

Топологиялық кеңістік – нүктелері мен ішкіжиындары анықталған Х жиыны. Бұл жиынdарасындағы шектік қатынас немесе жақындық қатынас сонымен қатар төмендегі аксиомаларға бағынуы {х}; 3) егерdХ үшін хÎкерек: 1) бос жиынға ешбір нүкте жақын емес; 2) барлық х В; 5)dА немесе хdВ) болса, онда хÈ(АdВ; 4) егер хdХ болса, онда хÌВÌА және Аdх А. Топологиялық кеңістік нүктелерініңdА болса, онда хdВ үшін уdВ және хÎегер у жиынынан тұйық және ашық жиын бөлініп алынады. Кез келген метрикалық кеңістік Топологиялық кеңістік болады. Сандық түзу, кез келген өлшемдік санның евклидтік кеңістігі, әр түрлі функционалдық кеңістіктер метрикалық, олай болса Топологиялық кеңістіктің де мысалы бола алады. Топологиялық кеңістікте үздіксіз функциялар мен үздіксіз бейнелеулер де қарастырылады. Топологиялық кеңістікті тұйықтау операциясы, т.б. арқылы анықтауға болады. Берілген Х жиынына топология енгізіп, оны Топологиялық кеңістікке айналдырудың бірнеше тәсілдері бар. Мыс., метрик. кеңістік жағдайында топология арақашықтық ұғымының көмегі арқылы енгізіледі. Көп жағдайларда берілген жиынға топология нүктенің маңайы (төңірегі) арқылы енгізіледі: Х жиынының кез келген элементі (нүктесі) үшін Х жиынының кейбір ішкі жиындары берілген нүктенің төңірегі ретінде ерекшеленеді. Топологиялық кеңістік ұғымының төтенше жалпылануы шектік қатысқа қойылған сол немесе басқа шарттармен шектеледі. Бұл шарттар Топологиялық кеңістіктің аксиомасы деп аталады. Топологиялық кеңістіктің әдістері ҚР ҰҒА-ның акад. Н.Білиев, А.Жұмаділдаев, Ә.Қасымов, Ө.Сұлтанғазин, М.Өтелбаев, Т.Кәлменов, ғылым докторлары Г.Бижанова, К.Кенжебаев, т.б. еңбектерінде кең қолданыс тапқан.

Көп өлшемді кеңістік – өлшемділігі үштен артық болатын кеңістік. Бізді қоршаған кеңістік үш өлшемді, жазықтық екі өлшемді, ал түзу бір өлшемді болады. Элементар геометрияда қарастырылатын евклидтік кеңістік – үш өлшемді кеңістік, n өлшемді евклидтік кеңістік көп өлшемді кеңістіктің қарапайым түрі болады, мұндағы n кез келген натурал сан болуы мүмкін. Кәдімгі евклидтік кеңістіктегі нүкте үш координат бойынша анықталатыны сияқты n өлшемді евклидтік кеңістіктің “нүктесі” х1, х2, ..., хn (олар кез келген нақты мәндер қабылдауы мүмкін) n “координаттары” арқылы беріледі. n өлшемді кеңістіктегі M(х1, х2, ..., хn) және мына (кәдімгі евклидтік r(у1, у2, ..., уn) екі нүктенің ара қашықтығы ¢M кеңістіктегі екі нүкте арасындағы қашықтық формуласына ұқсас) формуламен өрнектеледі: . Басқа да К. ө. к-тер маңызды рөл атқарады. Салыстырмалықтың физ. принципін баяндағанда төрт өлшемді кеңістік пайдаланылады, оның “нүктесі” үш “кеңістік” және бір “уақыт” координаттары арқылы беріледі. Физиканың көптеген мәселелерінде фазалық кеңістік деп аталатын К. ө. к. қолданылады, оның “нүктелері” физ.-хим., мех. не басқа бір жүйенің жағдайын анықтайды.

Нүкте — координаттары бар, бірақ өлшемі, массасы, бағыты жоқ, ешқандай геометриялық немесе физикалық қасиеті жоқ кеңістіктегі абстракт нәрсе. Математика мен физикадағы іргелі ұғымдардың бірі. Нүкте – геометриядағы негізгі ұғымдардың бірі. Геометрияның жүйелі түрде баяндалуында бастапқы ұғымдардың бірі ретінде қабылданады. Қазіргі математикада түрлі кеңістікті құрастыратын табиғаты әр түрлі элементтерді нүкте деп атайды (мыс., n-өлшемді евклидтік кеңістіктегі нүкте деп n саннан тұратын реттелген жиынтықты айтады). Математиканың көптеген салаларында арнайы аттары бар нүктелер кездеседі. Мысалы, геометрияда қисық сызықтың ерекше нүктелері, екі есе ерекше нүктелер, оқшауланған нүкте, иілу нүктесі, жанау нүктесі, бұрыштық нүкте, математика талдауда дифференциал теңдеулер шешулерінің ерекше нүктелері, аналитикалық функциялардың ерекше нүктелері, ал жиындар теориясында жиынның қасиетін сипаттайтын шектік, шекаралық, тығыздық нүктелері зерттеледі.

НЕГІЗГІ ӘДЕБИЕТТЕР.

1. Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. Геометрия: Учеб. пособие.— М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990.— 672 с:

2. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов.— М.: Просвещение, 1986.— 336 с

3. Атанасян Л.С, Базылев В.Т. Геометрия. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. В 2 ч. Ч. 2.— М.: Просвещение, 1987.—352 с:

ҚОСЫМША ӘДЕБИЕТТЕР

1. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 584 с.

2. Егоров И.П. Основания геометрии. М., Просвещение 1984г7

3. Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: учебник для вузов. - Лань, 2003. - 415 c.

4. Прасолов В. В., Тихомиров В.М. Геометрия.—М.: МЦНМО, 2007.—2-е изд., перераб. и доп.—328 с: