Жүйе орнықтылығы туралы ұғым

Динамикалық жүйе орнықтылығы.

Бұл тарауда басқару теориясы үшін өте маңызды ұғым – орнықтылық ұғымы зерттеледі. Әр түрлі орнықтылық критерийлері келтіріледі – алгебралық және графикалық.

Жүйе орнықтылығы туралы ұғым

Кез келген жүйенің қызмет үрдісі кезінде оның берілген қозғалу заңдылығынан ауытқуға мәжбүр ететін әртүрлі күштер әсер етеді. Егер қоздыру әсерінен жүйе тепе-теңдік күйден немесе берілген қозғалу заңдылығынан ауытқып және сыртқы қоздыру әсері тоқтаған соң қайтадан алғашқы күйге өз бетімен оралатын болса, онда жүйедегі қозғалыс орнықты болады да, алғашқы күйге қосылады.

Егер қоздыру әсерінен жүйе тепе-теңдік күйінен немесе берілген қозғалу заңдылығынан ауытқыған болып, қоздыру әсері тоқтаған соң алғашқы күйіне оралмаса және жүйенің алғашқы күйден қашықтауы уақыт өткен сайын өсіп, ауытқу мүмкін болған аймақ шегінен шығатын болса, онда бұл жағдайда жүйе қозғалысы орнықсыз болады. Сызықтық жүйелердегі ауытқу орнықсыз қозғалыс кезіне шексіз өсетін болады.

Жүйені зерттеу кезінде жүйенің қоздырылған қозғалыстары қарастырылады.

Мүмкін болатын қозғалыстардың ішіндегі біреуі – тура, оны зерттеп және қамтамасыз етуге ұмтылатын қозғалысты қоздырылмаған деп атайды, ал іс жүзінде қоздырушы әсерден туындаған қозғалыстар – қоздырылған қозғалыстар деп аталады.

Орнықтылықты талдау кезінде X(t) қоздырылған қозғалыс айнымалыларының X_s(t) қоздырылмаған қозғалыс айнымалыларынан ауытқуы үшін құрастырылған теңдеулерді қарастырамыз:

.

x(t) aйнымалылары әртүрлі есептерде, әртүрлі өзіндік физикалық, химиялық немесе экономикалық (геометриялық жылжулар, электр тогы мен кернеу, температура, химиялық заттар концентрациясы, нарықтағы товарлар құны және т.б.) табиғаттары болуы мүмкін.

Жүйенің орнықтылығын зерттегенде, ол жүйенің еркін қозғалысы қарастырылады, яғни басқару u(t) = 0 және қоздыру f(t) = 0.

Сондықтан, жүйе күйінің теңдеуі келесі түрде берілген деп ұйғарайық

. (5.1)

Бұл теңдеуді бірінші ретті n теңдеулер жүйесі түрінде көрсетуге болады

(5.2)

(5.2) теңдеуінің оң жағы уақыт t және x₁, …, x_n айнымалыларына тәуелді функциялар болуы мүмкін. Бұл жағдайда теңдеудің оң жағындағы уақыт функциясы түрінде тек сыртқы қоздыру ғана емес, жүйенің кейбір параметрлері де белгіленуі мүмкін. Мұндай жағдайда жүйе стационарсыз деп аталады. Егер (5.2) теңдеуінің оң жағындағы шаманың уақыт бойынша айқын тәуелділігі тек сыртқы қоздырулармен анықталатын болса, онда жүйе станционарлық деп аталады. Теңдеудің оң жағында уақыттан айқын тәуелділік болмаса, онда автономды жүйелер туралы айтамыз.

Егер теңдеу (5.2) қоздырылған қозғалысты сипаттайтын болса, ал координаталарының алғашқы уақыт мезгілі t = t₀ үшін мәндері болса, яғни қоздырылмаған қозғалысқа, осылайша координаталарды таңдағанда тривиалдық шешім сәйкес болады. Осылай автономдық жүйе үшін болады.

Қоздырылған қозғалыстардың ішінде, алғашқы шарттар ең жоқ дегенде біреуі нольден айырықша болатын еркін қозғалысты қарастырамыз. Бұл алғашқы мәндер көп жағдайларда қоз-дырулар деп аталады. Айта кету қажет, орнықтылықты зерттеу кезінде жүйе-нің кез келген қоздырылуы алғашқы шарттардың қоздырылуына келтіріледі.

Бейсызықты стационарлық n-ші ретті басқару жүйесін қарастырайық, оның динамикасы келесі дифференциалдық теңдеумен сипатталады:

. (5.3)

Егер u(t) (басқару) кіріс айнымалысы нольге тең болса, яғни u = 0, онда жүйе еркін деп аталады. Бұл жағдай келесі дифференциалдық теңдеумен сипатталады

. (5.4)

Бұл теңдеудің шешімі алғашқы күй арқылы анықталады.

(5.3) жүйенсінің (5.4) түріндегі еркін қозғалысының теңдеуі берілсін делік. Егер X_s(t) күйі теңдеуін қанағаттандырса, онда ол күй тепе-теңдік күйі деп аталады,

Сонымен, жүйе орнықтылығы жүйенің еркін қозғалысының орнықтылығы арқылы анықталады, ал тепе-теңдік жағдайы координаталар басына сәйкес болады, яғни белгілі бір берілген жүйенің қозғалысына (5.2) немесе (5.4) координаталар басы теңдеулері сәйкес болады.