Статистическое определение вероятности

Почти всегда существуют ситуации, когда те или иные эксперименты или наблюдения могут быть произведены большое число раз в одинаковых условиях. Теорию вероятностей интересуют те эксперименты, результат которых может меняться от опыта к опыту.

Рассмотрим эксперимент, состоящий в подбрасывании монеты. Этот опыт имеет два исхода — выпадение герба или решки. До проведения эксперимента нельзя сказать, какой результат будет иметь место. Невозможно учесть все факторы, влияющие на положение монеты в момент падения. Точно так же невозможно, наблюдая за работой какого-то сложного механизма, определить заранее срок службы этого механизма. В этих ситуациях результаты отдельных экспериментов не обнаруживают какие-либо закономерности.

Однако если обратить внимание на последовательность таких испытаний, то наблюдается интересное явление — «средние» результаты обнаруживают устойчивость.

Введем понятие относительной частоты появления события, которая, наряду с вероятностью, принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Определение 4.1. Относительной частотой (или просто частотой) появления события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события определяется формулой

, (4.1)

где — число появлений события , — общее число испытаний.

Определение относительной частоты лежит в основе определения статистической вероятности.

Пример 4.1. По цели произвели 32 выстрела, причем было зарегистрировано 20 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цель.

Решение. Обозначим – попадание в цель. Согласно формуле (4.1), относительная частота поражения цели

.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производятся опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота появления события обнаруживает свойство устойчивости, т.е. при достаточно больших частоты устойчиво приближаются к некоторой постоянной величине. Эту постоянную величину и принимают за вероятность события. В этом суть статистического определения вероятности.

Определение 4.2. Вероятностью события в статистическом смысле называется число, относительно которого стабилизируется относительная частота появления события при неограниченном увеличении числа опытов, т.е. , при .

Сопоставляя определение вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту — после опыта.

Пример 4.2.Многократно производились опыты с подбрасыванием правильной монеты, в которых подсчитывали появление герба. Результаты эксперимента приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1.

Экспериментатор	Число бросаний	Число появлений герба	Относительная частота
Бюффон			0,5069
Пирсон			0,5016
Пирсон			0,5005

Здесь относительные частоты незначительно отклоняются от числа 0,5, причем чем больше число испытаний, тем меньше отклонение относительной частоты. Например, при 4040 испытаниях отклонение равно 0, 0069, а при 24000 — лишь 0,0005

Приняв во внимание, что вероятность выпадения герба при бросании монеты равна 0,5, мы убеждаемся, что относительна частота колеблется около вероятности.

Статистическое определение вероятности связывают с именем Мизеса. Однако следует отметить недостатки такого определения вероятности. Прежде всего, последовательность частот будет меняться при разных сериях экспериментов. Определить в этом случае строгий предельный переход затруднительно. Кроме того, в нашем распоряжении имеется не вся последовательность, а лишь конечное число ее элементов. Получить всю последовательность невозможно.