Входное сопротивление цепи относительно ветви

Входное сопротивление цепи относительно ветви k определяется как отношение э.д.с. E_k, действующей в этой ветви, к току I_k в этой же ветви при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

rkk=EkIk.rkk=EkIk. (28)

Входная проводимость ветви k – величина обратная входному сопротивлению этой ветви

gkk=1rkk.gkk=1rkk. (29)

Взаимное сопротивление (передаточное сопротивление) ветвей k и l – отношение э.д.с. E_k, действующей в ветви k, к току I_l, проходящему по ветви l при э.д.с. в остальных ветвях равных нулю

rkl=EkIl.rkl=EkIl. (30)

Взаимная проводимость ветвей k и l – величина обратная взаимному сопротивлению тех же ветвей

gkl=1rkl.gkl=1rkl. (31)

Пример. Для схемы рис. 8 входные сопротивления цепи относительно ветвей 1, 2 и 3 соответственно равны

r11=Dr2+r3,    r22=Dr1+r3,     r33=Dr1+r2,r11=Dr2+r3,    r22=Dr1+r3,     r33=Dr1+r2,

а взаимные сопротивления ветвей 1 и 2, 2 и 3, 3 и 1 соответственно равны

r12=r21=Dr3,    r23=r32=Dr1,     r13=r31=Dr2,r12=r21=Dr3,    r23=r32=Dr1,     r13=r31=Dr2,

где D = r₁·r₂ + r₁·r₃ + r₂·r₃.

Баланс мощностей

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей, развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей, расходуемых в приемниках энергии

ΣP_ист = ΣP_потреб, или ΣEI = ΣI²r (32)

где ΣEI – алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. E и соответствующего тока I совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно (при выборе положительных направлений токов в ветвях с э.д.с. выбираем направление тока совпадающим с действием соответствующей э.д.с.); ΣI²r – арифметическая сумма; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

Упражнения и задачи

Задача 1. Для цепи (рис. 9) найти эквивалентные сопротивления между зажимами a и b, c и d, d и f, если r₁ = 6 Ом, r₂ = 5 Ом. r₃ = 15 Ом, r₄ = 30 Ом, r₅ = 6 Ом.

Решение

Расчет сопротивления r_ab.

Эквивалентное сопротивление соединенных параллельно сопротивлений r₄ и r₅ найдем по формуле (14)

r45=r4⋅r5r4+r5=30⋅630+6=5   Ом;r45=r4⋅r5r4+r5=30⋅630+6=5   Ом;

оно соединено последовательно с r₂; их общее сопротивление

r' = r₂ + r₄₅ = 5 + 5 = 10 Ом.

Сопротивление цепи состоит из сопротивления r₁, последовательно с которым соединены два параллельных сопротивления r' и r₃

rab=r1+r′⋅r3r′+r3=6+10⋅1510+15=12   Ом.rab=r1+r′⋅r3r′+r3=6+10⋅1510+15=12   Ом.

Расчет сопротивления r_cd.

Сопротивления r₄ и r₅ теперь соединены параллельно друг другу; сопротивление r₃ к ним включено последовательно

r′′=r3+r4⋅r5r4+r5=15+30⋅630+6=20   Ом.r″=r3+r4⋅r5r4+r5=15+30⋅630+6=20   Ом.

Сопротивление r_cd состоит из двух параллельно соединенных сопротивлений r₂ и r» и равно

rcd=r2⋅r′′r2+r′′=5⋅205+20=4   Ом.rcd=r2⋅r″r2+r″=5⋅205+20=4   Ом.

Расчет сопротивления r_df.

Эквивалентное сопротивление цепи между точками d и f состоит из трех параллельно соединенных сопротивлений: r₅, r₄ и r₂ + r₃ и может быть определено по формуле (13)

1rdf=1r5+1r4+1r2+r3=16+130+120=14,1rdf=1r5+1r4+1r2+r3=16+130+120=14,

откуда r_df. = 4 ом.

Задача 2. Для цепи (рис. 10) начертить кривую зависимости эквивалентного сопротивления между точками a и b как функцию от k (0 ≤ k ≤ 10).

Ответ: при k = 0 и k = 1 r_ab = 0; при k = 0,5 r_abмакс = 250 Ом.

Задача 3. Цепь, схема которой изображена на рис. 11, а, состоит из пяти одинаковых сопротивлений r₁ =r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = 10 кОм.

Чему равно сопротивление цепи между зажимами a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К?

Решение

Ключ разомкнут.

Сопротивления r₃, r₄ и r₅ соединены между собой последовательно; заменяющее их эквивалентное сопротивление является параллельным к сопротивлению r₁; величина сопротивления, заменяющего r₃,r₄, r₅ и r₁, равна

r′=r1⋅(r3+r4+r5)r1+(r3+r4+r5)=10⋅3040=7,5   кОм.r′=r1⋅(r3+r4+r5)r1+(r3+r4+r5)=10⋅3040=7,5   кОм.

Искомое сопротивление цепи

r_ab = r' + r₂ = 7,5 + 10 = 17,5 кОм.

Ключ замкнут.

В этом случае сопротивления r₁ и r₃ соединены параллельно друг другу, а сопротивления r₄ и r₅закорочены (рис. 11, б). Искомое сопротивление цепи будет

rab=r1⋅r3r1+r3+r2=10⋅1020+10=15   кОм.rab=r1⋅r3r1+r3+r2=10⋅1020+10=15   кОм.

Задача 4. Вычислить эквивалентное сопротивление цепи (рис. 12) между зажимами a и b, если все семь ее сопротивлений одинаковы:

Указание. Обратить внимание на закорачивающие проводники mn и np.

Ответ: 10 Ом.

Задача 5. Определить эквивалентное сопротивление цепи между точками a и b при разомкнутом и замкнутом ключе К (рис. 13, а): r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = r₅ = r₆ = r₇ = 10 Ом.

Решение

При разомкнутом ключе заданная схема может быть изображена согласно рис. 13, б.

Искомое сопротивление

rab=r1⋅r3r1+r3=(r5+r6+r4⋅r7r4+r7)⋅r2r5+r6+r4⋅r7r4+r7+r2=5+25⋅1035=12,1   Ом.rab=r1⋅r3r1+r3=(r5+r6+r4⋅r7r4+r7)⋅r2r5+r6+r4⋅r7r4+r7+r2=5+25⋅1035=12,1   Ом.

При замкнутом ключе заданная схема имеет вид, изображенный на рис. 13, в.

Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений

r′=r1⋅r3r1+r310⋅1020=5   Ом,r′=r1⋅r3r1+r310⋅1020=5   Ом,

и r'', определяемого из формулы

1r′′=1r4+1r7+1r2,1r″=1r4+1r7+1r2,

откуда r' = 3,33 Ом. Таким образом,

rab=r′+r′′=5+3,33=8,33   Ом.rab=r′+r″=5+3,33=8,33   Ом.