Перечень основных вопросов коллоквиума в третьем семестре

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН.Ф.03. Высшая математика

Базовый поток

Направление 010600 – Прикладные математика и физика,

Направление 010700 – Физика,

Направление 010800 – радиофизика

Правила проведения коллоквиумов и экзаменов. Правила

Выставления итоговой семестровой оценки.

Отчетность по курсу в каждом семестре состоит из отчетности по упражнениям, по коллоквиуму и итоговой семестровой оценки (финальной оценки). Финальная оценка определяется результатами работы на упражнениях, коллоквиуме и экзамене и формируется как сумма с соответствующими весами болонских оценок по контрольным занятиям, коллоквиуму и собственно экзамену. Учет контрольных в итоговой семестровой оценке обязателен для учета качества усвоения материала за семестр.

Работа на практических занятиях по результатам контрольных оценивается болонской оценкой. Удовлетворительное освоение материала практических занятий оформляется в конце семестра "зачетом". Студенты, не получившие зачета, к экзамену не допускаются.

Для студентов, набравших на практике 2 болонских балла и выше переписывания контрольных не устраиваются. Для остальных студентов преподаватель устраивает переписывания по распоряжению деканата. В случае успешного переписывания студент получает ровно 2 болонских балла и зачет. В исключительных случаях допускаются переписывания, если студент пропустил контрольную по уважительной причине; в этом случае переписывание проводится на базе материала пропущенной контрольной.

Коллоквиум и экзамен проводятся в письменной форме. И экзамен, и коллоквиум состоят из двух частей: основной и дополнительной. Цель основной части экзамена (коллоквиума) - контроль умения решать стандартные задачи и знание основных теоретических результатов. Дополнительная часть экзамена (коллоквиума) служит для проверки способности студентов доказывать теоретические результаты и решать нестандартные задачи.

В основную часть коллоквиума входят 2 практические задачи и 2 кратких теоретических вопроса. В основную часть экзамена входят 4 практические задачи и 4 кратких теоретических вопроса.

Без ответов на вопросы дополнительной части экзамена (коллоквиума), максимальная болонская оценка за экзамен (коллоквиум) — 7 болонских баллов.

Ответы на вопросы второй (дополнительной) части экзамена (коллоквиума) проверяются и дают дополнительный вклад в оценку за коллоквиум только при условии успешной сдачи первой (основной) части экзамена (коллоквиума).

На дополнительной части коллоквиума предлагается доказать один из теоретических результатов курса и решить одну задачу повышенной сложности. На дополнительной части экзамена предлагается доказать два из теоретических результатов курса и решить две задачи повышенной сложности.

Материал коллоквиума не выносится на экзамен (за исключением переэкзаменовок).

Финальная оценка - это итоговая оценка, выставляемая в зачетку и в ведомость. Финальная болонская оценка вычисляется по сумме баллов, полученных за работу на семинарах, за коллоквиум и за экзамен. Пересчёт суммарно набранных баллов в финальную болонскую оценку производится по формуле

финальная оценка = 4/13 оценки за семинары+3/13 оценки за коллоквиум +6/13 оценки за экзамен.

Содержание дисциплины

3.1. Темы лекций по дисциплине:

5-й семестр (всего 45 часов, в середине семестра коллоквиум, в конце семестра экзамен)

1. Мотивировка определения двойного интеграла: задача о вычислении массы пластины. Определение двойного интеграла, его свойства, сведение двойного интеграла к повторному.
2. Определение тройного интеграла, его свойства, сведение тройного интеграла к повторному. Геометрический и физический смысл кратных интегралов.
3. Понятие непрерывно дифференцируемого отображения. Матрица Якоби, невырожденные отображения. Коэффициент искажения объема, якобиан.
4. Теорема о замене переменных в кратном интеграле. Основные криволинейные координатные системы (полярные, цилиндрические и сферические координаты) и соответствующие случаи замены переменных.
5. Несобственный интеграл от функции, неограниченной в точке. Несобственный интеграл по неограниченному множеству. Достаточные условия сходимости несобственных интегралов в двумерном и трехмерном случаях.
6. Некоторые приложения несобственных интегралов. Интегралы Пуассона и Гаусса. Гамма- и бета- функции Эйлера.
7. Способы задания кривых на плоскости и в пространстве. Понятие гладкой кривой, касательный вектор. Задача о нахождении длины гладкой кривой. Определение криволинейного интеграла первого рода, его свойства. Сведение криволинейного интеграла первого рода к определенному интегралу.
8. Способы задания поверхностей в пространстве. Понятие гладкой поверхности, касательная плоскость, нормаль. Задача о нахождении площади гладкой поверхности.
9. Определение поверхностного интеграла первого рода, его свойства. Сведение поверхностного интеграла первого рода к двойному интегралу. Физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода.
10. Задача о вычислении работы векторного поля. Ориентация кривой. Параметризация кривой, согласованная с ориентацией. Определение криволинейного интеграла второго рода, его свойства. Сведение криволинейного интеграла второго рода к определенному интегралу. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.
11. Вычисление площади плоской области с помощью криволинейного интеграла второго рода по границе. Положительная ориентация границы плоской области. Формула Грина. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути. Восстановление функции двух переменных по ее дифференциалу.
12. Задача о вычислении потока жидкости через заданную поверхность. Ориентация поверхности. Примеры ориентируемых и неориентируемых поверхностей. Определение поверхностного интеграла второго рода, его свойства. Параметризация поверхности, согласованная с ориентацией. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу. Связь поверхностных интегралов первого и второго рода.
13. Вычисление объема тела с помощью поверхностных интегралов второго рода по границе. Положительная ориентация границы трехмерной области. Формула Остроградского-Гаусса. Интеграл Гаусса.
14. Согласованная ориентация поверхности и ее края. Формула Стокса. Независимость криволинейного интеграла второго рода от пути. Восстановление функции трех переменных по ее дифференциалу.
15. Элементы векторного анализа. Градиент, дивергенция и ротор. Оператор Лапласа. Операции векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах. Коэффициенты Ламе.
16. Дифференциальные формы. Линейные операции над дифференциальными формами. Внешнее произведение.
17. Внешнее дифференцирование форм. Точные и замкнутые дифференциальные формы. Общая формула Стокса (без доказательства). Классические случаи формулы Стокса (формулы Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского).
18. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Их решение. Постановка задачи Коши. Интегральные кривые. Общий и частный интегралы. Обобщения на случай нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения высокого порядка. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (без доказательства).
19. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и их общее решение. Общее решение неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Нахождение частного решения неоднородного уравнения. Символический метод. Метод неопределенных коэффициентов. Резонанс.
20. Общие однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского и его свойства. Теорема Лиувилля. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.
21. Общие однородные линейные дифференциальные уравнения высокого порядка. Структура общего решения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского и его свойства. Теорема Лиувилля. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения высокого порядка. Структура общего решения. Метод вариации постоянных. Резонанс.
22. Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Матричная запись такой системы. Матричные решения. Матричная экспонента. Общее решение однородной системы. Структура общего решения неоднородной системы. Метод вариации для нахождения частного решения неоднородной системы.
23. Основные классы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах) и методы их решения. Дифференциальные уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной. Общий интеграл и особое решение таких уравнений. Уравнение Клеро и его особое решение.

6-й семестр (всего 60 часов, в середине семестра коллоквиум и в сессию экзамен)

1. Абсолютно сходящиеся тригонометрические ряды. Сумма ряда, нахождение коэффициентов ряда по сумме.
2. Тригонометрические ряды Фурье. Минимизирующее свойство отрезка ряда Фурье. Неравенство Бесселя.
3. Обобщенный ряд Фурье в абстрактном евклидовом пространстве. Замкнутость ортонормированной системы функций. Равенство Парсеваля, его связь со сходимостью обобщенного ряда Фурье в среднеквадратичном смысле.
4. Свертка периодических функций, ее свойства. Ряд Фурье свертки. Приближение непрерывных и интегрируемых функций гладкими. Лемма Римана-Лебега.
5. Теоремы Дирихле о равномерной и поточечной сходимости тригонометрических рядов Фурье для непрерывно дифференцируемых функций.
6. Сходимость тригонометрических рядов Фурье в среднеквадратичном. Равенство Парсеваля. Дифференцирование и интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье и сдвиг.
7. Приложения рядов Фурье для решения дифференциальных, разностных и интегральных уравнений.
8. Симметричная форма записи линейного дифференциального уравнения второго порядка. Виды краевых условий. Краевые задачи. Постановка задачи Штурма-Лиувилля.
9. Свойства собственных функций и собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля. Замкнутость полной системы собственных функций.
10. Преобразование Фурье. Его простейшие свойства. Теорема Фурье об обращении.
11. Унитарность преобразования Фурье. Функции класса Шварца. Равенство Парсеваля. Теоремы подобия и сдвига для преобразования Фурье.
12. Свертка функций на оси. Ее свойства. Преобразование Фурье свертки.
13. Преобразование Фурье производной. Связь гладкости со скоростью убывания при преобразовании Фурье. Преобразование Фурье гауссовой плотности.
14. Приложения преобразования Фурье для решения дифференциальных, разностных и интегральных уравнений.
15. Простейшая задача вариационного исчисления. Интегральный функционал. Его вариация. Примеры вариационных задач.
16. Основная лемма вариационного исчисления. Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа. Первые интегралы уравнения Эйлера-Лагранжа.
17. Основные примеры. Задача о брахистохроне, задача о минимальной поверхности вращения, геодезические на сфере.
18. Обобщения. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Функционалы с высшими производными. Кратные интегралы и уравнения Эйлера-Остроградского. Волновое уравнение как уравнение Эйлера.
19. Условные вариационные задачи. Изопериметрическая задача. Метод множителей Лагранжа. Задача Дидоны.
20. Задача Лагранжа. Голономные и неголономные связи. Метод множителей Лагранжа. Приложения к нахождению геодезических.
21. Задачи со свободными концами и естественные граничные условия. Условия трансверсальности.
22. Условие Вейерштрасса-Эрдмана на изломе. Приложения к функционалам Ферма геометрической оптики.
23. Функция Гамильтона. Система уравнений Эйлера-Лагранжа в канонической форме.
24. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных. Метод характеристик. Представление о методе характеристик для нелинейного уравнения в частных производных первого порядка. Уравнение эйконала.
25. Понятие поля экстремалей. Инвариантный интеграл Гильберта. Функция поля. Уравнение Гамильтона-Якоби.
26. Теорема Якоби о построении решения канонических уравнений. Метод разделения переменных для решения уравнения Гамильтона-Якоби.
27. Прямые методы в вариационном исчислении. Вариационный подход к задаче Штурма-Лиувилля. Минимаксный принцип в задачах на собственные значения.
28. Теорема Куранта о сравнении собственных чисел. Доказательство стремления собственных значений задачи Штурма-Лиувилля к бесконечности.
29. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости. Фазовые траектории, фазовый портрет. Фазовые портреты простых линейных систем.
30. Теорема о линеаризации. Понятие о предельном цикле. Достаточное условие отсутствия предельных циклов. Примеры фазовых портретов.

Примерный план практических занятий

5-й семестр(60 часов)

1) занятие: двойной интеграл

2) занятие: тройной интеграл

3) занятие: 1-я контрольная работа (1 час), замена переменных в двойном интеграле

4) занятие: замена переменных в двойном интеграле (продолжение)

5) занятие: замена переменных в тройном интеграле

6) занятие: замена переменных в тройном интеграле (продолжение)

7) занятие: приложения двойных и тройных интегралов

8) занятие: приложения двойных и тройных интегралов (продолжение), 2-я контрольная работа (1 час)

9) занятие: криволинейный интеграл 1 рода, поверхностный интеграл 1-го рода

10) занятие: поверхностный интеграл 1 рода (продолжение)

11) занятие: 3-я контрольная работа (1 час), криволинейный интеграл 2 рода

12) занятие: формула Грина

13) занятие: 4-я контрольная работа (1 час), поверхностный интеграл 2 рода

14) занятие: поверхностный интеграл 2 рода (продолжение)

15) занятие: формула Стокса

16) занятие: формула Остроградского–Гаусса

17) занятие: векторный анализ

18) занятие: векторный анализ (продолжение)

19) занятие: 5-я контрольная работа (2 часа) – 8 баллов

20) занятие: линейные дифференциальные уравнения 1 порядка

21) занятие: 6-я контрольная работа (1 час), линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

22) занятие: линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

23) занятие: линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (продолжение)

24) занятие: линейные дифференциальные уравнения 2 порядка

25) занятие: системы линейных дифференциальных уравнений

26) занятие: системы линейных дифференциальных уравнений (продолжение)

27) занятие: 7-я контрольная работа (2 часа) – 8 баллов

28) занятие: нелинейные дифференциальные уравнения

29) занятие: нелинейные дифференциальные уравнения (продолжение)

30) занятие: нелинейные дифференциальные уравнения, 8-я контрольная работа (1 час)

6-семестр(45 часов)

1) неделя: тригонометрические ряды Фурье

2) неделя: разложение четных и нечетных функций, интегрирование рядов Фурье

3) неделя: 1-я контрольная (1 час), свертка периодических функций

4) неделя: приложения рядов Фурье

5) неделя: 2-я контрольная работа (1 час), задача Штурма–Лиувилля

6) неделя: задача Штурма–Лиувилля (продолжение), преобразование Фурье

7) неделя: приложения интеграла Фурье

8) неделя: 3-я контрольная работа (2 часа)

9) неделя: коллоквиум

10) неделя: простейшая задача вариационного исчисления

11) неделя: 4-я контрольная работа (1 час), экстремали двойных и тройных интегралов

12) неделя: задачи на условный экстремум

13) неделя: задачи со свободными концами и условия трансверсальности

14) неделя: 5-я контрольная работа, канонические уравнения

15) неделя: 6-я контрольная работа, уравнение Гамильтона–Якоби

Вопросы к экзамену

Перечень основных вопросов коллоквиума в третьем семестре

1. Что такое двойной интеграл? Перечислите его основные свойства.

2. Что такое тройной интеграл ? Перечислите его основные свойства.

3. Как свести двукратный интеграл к повторному?

4. Что такое якобиан отображения? Его геометрический смысл.

5. Опишите формулу замены переменных в кратном интеграле.

6. Как выглядит двукратный интеграл в полярных координатах? Дайте пример.

7. Как выглядит трехкратный интеграл в цилиндрических координатах? Дайте пример.

8. Как выглядит трехкратный интеграл в сферических координатах? Дайте пример.

9. Что такое несобственный интеграл от функции: неограниченной в точке? Приведите

пример?

10. Что такое несобственный интеграл по неограниченному множеству? Приведите пример?

11. Сформулируйте признаки абсолютной сходимости двойного интеграла в точке и на

бесконечности.

12. Сформулируйте признаки абсолютной сходимости трехкратного интеграла в точке и на бесконечности.

13. Что такое гладкая кривая на плоскости, в пространстве? Касательный вектор.

14. Что такое ориентация кривой? Параметризация, согласованная с ориентацией.

15. Определение и физический смысл криволинейного интеграла 1-ого рода.

16. Что такое гладкая поверхность? Как вычислить площадь гладкой поверхности?

17. Определение и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.