Формулы грина, стокса, остроградского-гаусса

Эти формулы связывают интеграл по фигуре с некоторым интегралом по границе данной фигуры.

Пусть функции формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru непрерывны в области DÌOxy и на ее границе Г; область D – связная; Г – кусочно-гладкая кривая. Тогда верна формула Грина:

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru ; (2.22)

здесь слева стоит криволинейный интеграл I рода, справа – двойной интеграл; контур Г обходится против часовой стрелки.

Пусть Т – кусочно-гладкая ограниченная двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г. Если функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производные I порядка непрерывны в точках поверхности Т и границы Г, то имеет место формула Стокса:

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru (2.23)

слева стоит криволинейный интеграл II рода; справа – поверхностный интеграл II рода, взятый по той стороне поверхности Т, которая остается слева при обходе кривой Г.

Если связная область WÌOxyz ограничена кусочно-гладкой, замкнутой поверхностью Т, а функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) и их частные производные первого порядка непрерывны в точках из W и Т, то имеет место формула Остроградского-Гаусса:

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru (2.24)

слева – поверхностный интеграл II рода по внешней стороне поверхности Т; справа – тройной интеграл по области W.

Пример 1. Вычислить работу силы формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru при обходе точки ее приложения окружности Г: формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru , начиная от оси Ox, по часовой стрелке (рис. 2.18).

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Решение. Работа равна формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru . Применим формулу Грина (2.22), ставя знак “-” справа перед интегралом (так как обход контура – по часовой стрелке) и учитывая, что P(x,y)=x-y, Q(x,y)=x+y. Имеем:
формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru ,
где SD – площадь круга D: формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru , равная формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru . В итоге: формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru – искомая работа силы.

Пример 2.Вычислить интеграл формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru , если Г есть окружность формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru в плоскости z=2, обходимая против часовой стрелки.

Решение.По формуле Стокса (2.23) исходный интеграл сведем к поверхностному интегралу по кругу Т:
T : формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Итак, учитывая, что формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru , имеем:
формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Последний интеграл есть двойной интеграл по кругу DÌOxy, на который проектировался круг Т; D: формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru . Перейдем к полярным координатам: x=rcosj, y=rsinj, jÎ[0;2p], rÎ[0;1]. В итоге:
формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru .

Пример 3.Найти поток П векторного поля формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru через полную поверхность Т пирамиды W: формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru (рис. 2.19) в направлении внешней нормали к поверхности.

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Решение.Поток равен формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru . Применяя формулу Остроградского-Гаусса (2.24), сводим задачу к вычислению тройного интеграла по фигуре W -пирамиде:

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Пример 4.Найти поток П векторного поля формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru через полную поверхность T пирамиды W: формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru ; формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru (рис. 2.20), в направлении внешней нормали к поверхности.

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Рис. 2.20

Решение.Применим формулу Остроградского-Гаусса (2.24) формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru , где V – объем пирамиды. Сравним с решением непосредственного вычисления потока ( формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru – грани пирамиды).

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru ,
так как проекция граней формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru на плоскость Oxy имеет нулевую площадь (рис. 2.21),

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

формулы грина, стокса, остроградского-гаусса - student2.ru

Рис. 2.21

ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Наши рекомендации