Д2. Тақырып: Сандарды дөңгелектеу. Есептеуіш операциялар қателіктері. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс 1.

Дәріс 1. Тақырыбы: Қателіктер теориясының негіздері. Жуық сандарының қателіктер. Мәнді және дұрыс цифрлары. Қателіктердің негізгі қайнары. Шектік салыстырмалы қателікті есептеу.

Дәріс жоспары:

1. Қателіктер теориясының негіздері. Жуық сандарының қателіктер.

2. Мәнді және дұрыс цифрлары.

3. Қателіктердің негізгі қайнары. Шектік салыстырмалы қателікті есептеу.

Дәріс тезисі:

Абсолютті және салыстырмалы қателіктер. Қателікті бағалауды мыналардың көмегімен көрсетуге болады:

• Абсолютті қателіктер;
• Салыстырмалы қателіктер;

Жуықталған а саны деп атаймыз, егер нақты А санынан біршама өзгешелеу және есептеуде оны ауыстыратын санды.

Егер a<A, онда а саны жуықталған мәнінен жетіспейтін болады. Егер a>A, онда а саны жуықталған мәнінен молдық (по избытку) болады.

А нақты және оның жуықталған а сандарының айырмашылығы қате мен қателіктерден тұрады. Практикалық қызметте қатесіз жұмыс істеу мүмкін емес, сондықтан біз абсолютті қателік үғымын енгіземіз:

(1)

Бірақ бұл жағдайда мұндай жағдайлар көрінеді :

1. А нақты мәні белгілі болсын. Бұл жағдайда абсолюттік қателік (2.1) формуласымен тез табылады.

2. А наұты мәні белгісіз болсын. Бірақ (2.1) формуласымен абсолюттік қателікті табуға болмайды. Бұл жағдайда абсолюттік қателіктердің шекарасы h деген ұғым енгізіледі. Және оны мына формуламен табамыз:

.

Кез келген да абсолютті қателіктің шекарасы бола алады, себебі . Осы абсолютті қателіктің шекарасының екеуінің кішісін аламыз, себебі жуықталған санның жақсы сипаттайды.

Мысалы: санын қарастырайық және санын орнын ауыстыратын санның қателік шекарасын табайық.

Шешімі: көре аламыз. Бұдан және шығады. Басқа жағынан дұрыс екенін көре аламыз. Және бұдан шығады. Яғни абсолюттік қателіктің бағалауы дап мына бағалауды аламыз: .

Аналогиялық түрде қарастырсақ, онда барлық нақты жуыөтауды және жақсы бағалауды табуға болады.

Абсолюттік қателік арқылы жақсы немесе жаман сапа деп өлшеуді айтуға болмайды, яғни өлшеуге бағалау беруге болмайды.

Есептеудің сапасын анықтау үшін абсолюттік қатенің (абсолюттік қателіктің шекарасын) өлшенген шамаға дейінгі қанша үлесін алып жатқанын анықтау керек.

Ол үшін жаңа ұғым – салыстырмалы қателік ұғымын енгізейік. Есептеуде немесе нақты өлшеуге сипаталады.

а жуықталған санның салыстырмалы қателігі деп абсолюттік қателіктің А нақты санның модуліне қатынасын айтамыз:

.

А нақты мәні ереже бойынша белгісіз , ал а санның , онда есептеуде мына формуланы қолданамыз:

(2.2)

Абсолюютік қателіктің шекарасының есебін қолдана отырып мынаны аламыз:

.

Салыстырмалы қателіктің шекарасының а жуықталған санның шамасы деп атаймыз: (2.3)

Салыстырмалы қателіктің шекарасын пайызбен өлшеу түрінде жазуға болады:

(2.4)

Мысалы 2.2: Алма мен қауында өлшеу кезінде (г), и (г) мынадай сәйкесінше нәтижелер берген.Бірінші және екінші жағжайжа абсолюттік қателік 2 г-ге тең. Қай өлшеу кезінде нақты болған?

Шешімі:

немесе 0,8%

немесе

Сонымен, қауында рет өлшегенде нақты болған.

Ескерту: Абсолюттік қателік (абсолюттік қателіктің шекарасы) бір қалыпты өлшеу болып табылады, яғни өлшеудің сол бірліктерінде өлшенеді және ізделінді шама да. Салыстырмалы қателік (салыста Ырмалы қателіктің шекарасы да) дерексіз сандар болып табылады, яғни өлшеудің нәтижесінің бірлігіне тәуелді емес .

Сан мәнді және дұрыс сандар.Сан мәнді сандар түрінде бөлшек сандардың ондықтар түрінде берілген барлық сандарын айтады, яғни нольден өзгеше сандардың біріншісінен бастап кіреді.

Мысалы.

а) санында төрт сан мәнді сандары бар: ;

б) санында бес сан мәнді сандары бар: ;

в) санында алты сан мәнді сандары бар: .

Нақты сандарды жазу кезінде нольдер бір жағдай да ғана оң жақта санды мәнді сан, ал басқа жағадайда сан мәнді емес сан болуы мүмкін. Аяғында орналасқан нольдер сан мәнді сан болады, егер олар разрядтардың нақталағын сақтаса.

Мысалы: 102000 саны бірліке дейін нақтылықпен берілсе , онда барлыө оң жақтағы нольдер сан мәнді болады.Егер осы сан жүздікке дейінгі нақтылықпен берлісе, онда ноль жүздік разрядта сан мәнді сан болады.

Сан мәнді сандаржды дұрыс сандар деп атайды, егер санның модулінің қателігі бірден басым болмаса, онда бұл санға сәйкес болады.

Мысал: 2.3:а = 0,03045 = 0,000003

а = 0,030450000 = 0,00000007

Асты сызылған сандар бұл жерде дұрыс сандар болады.

Кейбір жағдайдларда былай айтқан дұрыс, А нақты санның жуықталған а саны n дұрыс белгі, мысалы, А = 35,97 нақты саны үшін а = 36,00 жуықталған саны 3 дұрыс белгі болады, яғни |А-а|=0,03.

Функциялардың қателіктері

Енді абсолютті қателікті а санын деп, ал салыстырмалы қателік – белгілейтін боламыз.

1. Санды қосудағы қателік: .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

2. Санда алудағы қателік: .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

3. Санды көбейтудегі қателік: .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

4. Санды бөлудегі қателігі. .

Абсолюттік қателік:

.

Салыстырмалы қателік:

.

5. Салыстырмалы қателік бір айнымалыға тәуелді болады..

Абсолюттік қателік:

,

.

Салыстырмалы қателік:

.

Аналогиялық түрде функциялар үшін абсолюттік және салыстырмалы қателіктерді бағалау формуласын аламыз, яғни айнымалысына тәуелді болады.

Бақылау сұрақтары:

1. Сандық математика қандай әдістерді меңгереді?

2. Қателіктердің негізгі қайнарын атаңыз?

3. Мәнді цифрға анықтама беріңіз?

4. Дұрыс цифрға анықтама беріңіз?

Д2. Тақырып: Сандарды дөңгелектеу. Есептеуіш операциялар қателіктері. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс жоспары:

1. Сандарды дөңгелектеу.

2. Есептеуіш операциялар қателіктері.

3. Қателік теориясының кері есебі.

Дәріс тезисі:

Сандарды дөңгелектеу.Жақын санның дәлдiгi мәндi сандарға тәуелдi емес, ал дұрыс сандарға тәуелді болады. Көп қате сандардың бар болуы жазуларды өшіруге және есептеу уақыттың ұлғайуына алып келедi. Бұл кемшiлiктердi жою үшiн жуық санды мәндi сандардың кiшi саны бар санмен алмастыруларына жүгінеді. Бұны дөңгелектеу арқылы жүргізуге болады, мысалы, разрядтары сақтап қалу үшін мәндi сандардфң дұрыс емес бөлiгiн жай ғана лақтырып тастау арқылы немесе оларды нөлдерiмен алмастыру арқылы. Дегенмен, ең төменгi қателiктi алу үшiн дөңгелектеудiң арнайы ережелерiн қолданылады.

Дөңгелектеу ережелері:

Егер дөңгелектеу барысында соңғы сақталынған бірліктің азырақ бөлігі алынып тасталса, онда барлық сақталынатын разрядтар санын өзгермейтін етеді. Егер көрсетілген бөліктен көбірек болса – соңғы сақталынатын санды 1 – ге ұлғайтады. Егер алынып тасталған бөлік көрсетілген бөлікке теңбе – тең болса, онда оң сандар ережесі қолданылады – егер ол оң сан болса, соңғы сақталынған санды өзгеріссіз қалдырады және егер ол теріс сан болса, оны 1 – ге ұлғайтады. Мұндай дөңгелектеудің қателігі соңғы тоқтатылған санның ондық разрядты 1/2 бірлігінен аспайды.

Жуық есептеуіштерді орындау барысында мәні бар сандардың мәні аралық нәтижесі дұрыс сандардың 1 немесе 2 еседен аспауы керек. Ақырғы нәтиже дұрыс сандармен салыстырғанда тек қана 1 артық мәнді санға ие бола алады.

Келтірілген ережелер кемістіктерсіз есептеуіштер арқылы керексіз сандардың жазылуынан қашып құтылуға және есептеу уақытты үнемдеп қалуға мүмкіндік береді.

Есептеуіш операциялар қателігі.Бірнеше жуықталған сандардың алгебралық соммасының аболютті қателігі осы сандардың абсолютті қателігінің соммасынан аспайды. Егер

u = ± x₁ ± x₂ ±...± x _n болса,

онда Du = ± D x₁ ± Dx₂ ±...± Dx _n болады,

және ï Du ï£ï D x₁ï + ïDx₂ï +...+ï Dx _nï болады.

Ақырлы абсолюттік қателік

D_u =D_x1 + D_x2 +...+D_{x n} болады. (1.7)

Бұдан жеке қосылғыштар дәлдігін ұлғайту арқылы, сомманың дәлдігін өзгертуге болмайтындығын көруге болады.

Жуық сандарды қосу ережесі:

– Ондық жазбасы басқаларына қарағанда ертерек айырылатын (үзілетін) қосылғыштарды белгілеу және оны өзгеріссіз қалдыру;

– Бір немесе екі жазба белілерін сақтай отыра, белгіленген (көрсетілген) үлгі бойынша қалған қосылғыштарды дөңгелектеу;

– Барлық сақталынған белгілерді есепке ала отырып, қосуды жүргізу;

– Нәтижені бір белгіге дөңгелектеу.

Жақын жуық сандарды есептеу кезінде дәлдікті жоғалту. Екі жуық санның айырмашылығына қатысты шектi салыстырмалы қателiкті анықтау. u = x₁ – x₂ болсын. (1.7) қолдана отырып,

D_u = D_x1 + D_x2 аламыз.

Шектi салыстырмалы қателiк

d _u = D _u / A болады, (1.8)

Мұнда А – u айырымының абсолюттiк шамасынның дәл мән.

Егер қысқартулар және есептеуіштер – жуық сандар болса, онда А шектi салыстырмалы қателiкті аз және өте ауқымды ұлғайтады.

Мысалды қарастырайқ.

x₁ = 47,132 және x₂ = 47,111 бес уақытша белгімен берілген болсын. u = x₁ – x₂ = 0,021 айырымы.
D_x1 = D_x2 = 0,0005 шекті абсолютті қателіктер. (1.7) бойынша шекті абсолютті салыстырмалы қателік D_u = D_x1 + D_x2 = 0,001 тең болады.

Шектi салыстырмалы қателiктер:

d _x1 = 0,0005/47,132 » 0,00001;

d _x2 = 0,0005/47,111 » 0,00001;

d _u = 0,001/0,021 » 0,05 болады.

Айырымның шектi салыстырмалы қателiгі бұл мысалдың ағымдағы берілгендерінің шектi салыстырмалы қателiгінен жуық шамамен 5000 есеге артық.

Бұдан есептеуіштер ережелері туындайды:

– мүмкіншілік бойынша жуық сандардың есептеуінен қашқақтаған жөн;

– Мұндай есептеу қажет болған жағдайда азайғыштар мен азайтқыштарды қордағы сенiмдi таңбалардың жеткiлiктi санымен алуы керек болса.

_ Бірнеше жуық сандар өрнегінің шекті салсыстырмалы қателігін анықтайық.. Бірнеше жуық сандар өрнегінің салыстырмалы қателігі осы сандардың салыстырмалы қателігінің соммасынан аспайды:

d £ d₁ + d₂ +...+ d _n ,

Бұдан өрнектің шекті салыстырмалы қателігі келесідей болады u = x₁ x ₂...x _n :

d _u= d _x1 + d _x2 + ... + d _xn, болады, (1.9)

Ал шекті абсолюттік қателігі

D_u = ïuï d _u болады. (1.10)

Жек жағдайларда k нақты санын х жуық санына көбейту керек

u = kx,

d _u = d _x ,

D_u = ï k ïD_x болады.

Бұл жағдайда салыстырмалы шекті қателік өзгермейді, ал абсолютті салыстырмалы қателік ïkï рет өседі.

Жуық сандарды көбейту барысындағы практикалық ережелері:

–дәлдігі азырақ өзіндік көбейткіштегі дұрыс сандар мөлшеріне қарағанда, жуық сандардың әрбіреуі бір мәнді санға артығырақ болатындай етіп дөңгелектеу;

– Көбейту нәтижесінде дәлдігі азырақ өзіндік көбейткіштегі дұрыс сандар қанша болса, сонша мәнді сандарды сақтайды.

Жеке u = x/y үшін де (1.9) типінің арақатынасы дұрыс болады, яғни,

d_u = d_x + d_y болады.

Егер бөлінгіш пен бөлгіштің кем дегенде m дұрыс саны бар болса, онда шектен тыс салыстырмалы қателік үшін мына ұзындқ қабылдануы мүмкін

d _u = , (1.11)

мұнда a және b – сәйкесінше бөлінгіш пен бөлгіштің алғашқы мәнді сандары болып табылады.

Жуық санды m дәрежеге келтіретін болсақ, онда шекті салыстырмалы қателік m есеге өсетін болады. m дәрежелі түбірден құтылу кезінде жуық саннан алу, салыстырмалы қателік m есеге азайады.

Қателікті есептеудің жалпы формуласы.

Егер u = f (x₁, x₂, ... x _n) и ï Dx _i ï (i = 1, 2, ...n) аргументтің абсолютті қателігнің дифференциялдық функциясы берілген болса, онда функцияның шекті қателігі

Du = Dx_i болады, (1.12)

ал шекті салыстырмалы қателігі

du = Dx_i болады. (1.13)