Задания для самостоятельного решения

№14.14. Продифференцировать функцию:

1) ; 2) 3)

№14.15. Найти производную функции в точке :

; .

№14.16. На кривой найти точку, в которой касательная параллельна прямой .

№14.17. Написать уравнения касательных к кривым и , проведенных через точки пересечения этих кривых.

№14.18. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ох угол ?

№14.19. Исследовать функцию на монотонность: .

№14.20. Найти экстремумы функции: .

№14.21. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке .

№14.22. Исследовать функцию и построить ее график;

1) 2)

Занятие 15. ПЛАНИМЕТРИЯ

№15.1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найти катеты треугольника.

№15.2. В прямоугольный треугольник c катетами и вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.

№15.3. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей стороне. Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

№15.4. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.

№15.5. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников.

№15.6. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4см, проведена медиана боковой стороны. Найти основание треугольника, если медиана равна 3см.

№15.7. Найти диагональ и боковую сторону равнобокой трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

№15.8. Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к ней касательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16 см, а до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5см.

№15.9. Дана точка Р, удаленная на 7см от центра окружности с радиусом 11см. Через эту точку проведена хорда длиной 18см. Какова длина отрезков, на которые делится хорда точкой Р?

№15.10. Длина параллельных сторон трапеции равна 25 и 4см, а длины непараллельных сторон 20 и 13см. Найти высоту трапеции.

№15.11. Периметр ромба равен 2см, длина его диагоналей относится как 3:4. Найти площадь ромба.

№15.12. Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.

№15.13. В параллелограмме с периметром 32см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8см. Найти длины сторон параллелограмма.

№15.14. Один из углов трапеции равен , а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длину меньшей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10см, а одно из оснований 8см.

№15.15. Стороны треугольника относятся как 5:4:3. Найти отношение отрезков сторон, на которые они делятся точкой касания вписанной окружности.

Задания для самостоятельного решения

№15.16. В треугольнике основание равно 60см, высота 12см и медиана, проведенная к основанию, 13см. Определить боковые стороны.

№15.17. Вычислить площадь трапеции, параллельные стороны которой 16 и 41см, а непараллельные 17см и 25см.

№15.18. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3см. Найти площадь треугольника.

№15.19. Определить площадь треугольника, если две стороны соответственно равны 27см и 29см, а медиана третьей стороны равна 26см.

№15.20. Определить боковые стороны равнобочной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8см, 14 см и 44см².

№15.21. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины В прямого угла опущена высота ВД на гипотенузу АС. Известно, что АВ=13, ВД=12. Найти площадь треугольника.

№15.22. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины всех сторон трапеции, если ее площадь равна 12см , а длина высоты равна 2см.

№15.23. В треугольнике АВС отрезок AD – биссектриса, угол С равен 105⁰, угол CAD равен 7⁰. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

№ 15.24. В треугольнике АВС угол С равен 90⁰, АВ = 18, cosA = 0,5. Найдите АС.

№15.25. В треугольнике АВС АВ = ВС, АС = 5, cosC = 0,8. Найдите высоту СН.

№15.26. Высоты треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что отрезок СН равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол АСВ.

Занятие 16. СТЕРЕОМЕТРИЯ

№16.1. Из вершины А прямоугольника АВСД проведён к его плоскости перпендикуляр АМ, конец которого отстоит от других вершин на расстояния 6. 7 и 9 см. Найти длину АМ.

№16.2. Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла, удалена от его вершины В на расстояние а, а от каждой стороны на расстояние в. Определите расстояние от точки М до плоскости прямого угла.

№16.3.Из точки А, отстоящей от плоскости α на расстояние а, проведены две наклонные АВ и АС под углом 30⁰, причём их проекции ОВ и ОС составляют угол 120⁰. Определите расстояние между концами наклонных.

№16.4.Стороны треугольника 15 см, 37 см и 44 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр длиной 16 см. Найти расстояния от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

№16.5.Вычислите угол между диагональю куба и плоскостью его основания.

№16.6.Ребро куба равно ℓ. Найти кратчайшее расстояние от диагонали до непересекающего её ребра.

№16.7.В прямом параллелепипеде АВСДА₁В₁С₁Д₁ АВ = 29, АД = 36, ВД = 25, боковое ребро 48. Найти площадь сечения АВ₁С₁Д.

№16.8.В правильной треугольной призме сторона основания равна а, боковое ребро 2а. Найти площадь сечения, проведённого через сторону одного и центр другого основания.

№16.9.122-миллимитровая бомба даёт при взрыве воронку диаметром в 4 м и глубиной 1,5 м. Какое количество земли (по весу) выбрасывает бомба? 1 м³ земли весит 1650 кг.

№16.10.В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка О – центр основания, S – вершина, SО = 54, АС = 144. Найдите боковое ребро SВ.

№16.11.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус и высота которого равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

№16.12.Объём цилиндра равен 1 см³. Радиус основания уменьшили в 2 раза, а высоту увеличили в 3 раза. Найдите объём получившегося цилиндра. Ответ дайте в см³.

№16.13.В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой АВ₁ и плоскостью АВС₁.

№16.14.В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, стороны основания которой равны 4, а боковые рёбра равны 3, найдите расстояние от точки В до прямой C₁D₁.