Граничные условия. Предположим, что для одномерной задачи ряд узловых точек, показанных на рисунке, является выбранным

Предположим, что для одномерной задачи ряд узловых точек, показанных на рисунке, является выбранным.

Контрольные объемы для внутренних и граничных точек;

1 — типичный контрольный объем; 2 — половинный контрольные объем.

На каждую из двух границ приходится по одной узловой точке. Остальные узловые точки назовем внутренними, вокруг каждой из них размещается контрольный объем. Дискретный аналог можно записать для каждого такого контрольного объема. Если (5.1) рассматривать как уравнение для определения T_P, то имеем необходимые уравнения для всех неизвестных температур во внутренних узловых точках. Однако два из этих уравнений включают значения температур в граничных узловых точках. Именно через эти температуры на границе осуществляется учет заданных граничных условий в схеме численного решения.

Рассмотрим расположенную слева граничную точку В (boundary - граница, межа), которая примыкает к первой внутренней точке I (internal - внутренний). Обычно в теории теплопроводности на границе могут быть заданы:

1) Температура (Г.У. 1-ого рода)

2) Тепловой поток (Г.У. 2-ого рода)

3) Тепловой поток, определенный через коэффициент теплоотдачи и температуру окружающей жидкости (a и Т_Ж - Г.У. 3-его рода).

Если задана температура на границе (т. е. значение Т_В известно), то не возникает особенных трудностей и не требуются дополнительные уравнения. Когда температура на границе неизвестна, необходимо дополнительное уравнение для определения Т_В. Это уравнение можно получить с помощью интегрирования дифференциального уравнения по половинному контрольному объему, который, как это показано на рисунке, примыкает к границе (этот объем лежит только с одной стороны узловой точки В, поэтому к нему относится половина контрольного объема).

Интегрируя уравнение теплопроводности по половинному контрольному объему и определяя тепловой поток , получаем , где источниковый член линеаризован обычным образом. Тепловой поток на поверхности контрольного объема можно записать по типу (5.5). В результате имеем

Половинный контрольный объем вблизи границы.

Дальнейшее преобразование этого уравнения зависит от того, как задан тепловой поток на границе.

1) Если задано само значение , уравнение для Т_В записывается следующим образом:

,

где , , .

2) Если тепловой поток определен через коэффициент теплоотдачи a и температуру окружающей жидкости Т_Ж , такую, что

,

то уравнение для Т_В записывается следующим образом:

,

где , , .

Таким же образом можно получить необходимое число уравнений для неизвестных температур.