Интегрирование по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) – две дифференцируемые функции. Найдём дифференциал от произведения этих функций.

duv= udv + vdu

Отсюда, интегрируя, получаем

∫ duv = ∫ udv + ∫ vdu

uv = ∫ udv + ∫ vdu

Формула интегрирования по частям:

(9)

С помощью формулы интегрирования по частям вычисление интеграла ∫udv сводится к вычислению интеграла ∫vdu, если последний окажется проще исходного.

Полезно запомнить следующие типы интегралов, вычислять которые удобно интегрированием по частям:

а) ; ;

u=P(x)

; ;

б) ; ;

; ;

dv=P(x)dx

в) ;

u=e^x

;

Примеры:Используя формулу интегрирования по частям (9), найти интегралы:

	u=lnx dv=dx du=1/x dx v=x
		=

1.

=

		=

2.

6. Варианты для самостоятельной работы

Вариант 1 Найдите следующие интегралы

Вариант 2 Найдите следующие интегралы

Вариант 3 Найдите следующие интегралы

Вариант 4 Найдите следующие интегралы   10) 11) 12)

Вариант 5 Найдите следующие интегралы

Вариант 6 Найдите следующие интегралы

7. Образец решения варианта 1

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.	формула
12.	формула

8. Тесты

1. Неопределенный интеграл равен

А.

Б.

В.

Г.

2. Первообразная для функции

y = x³ – 2 имеет вид

А. 3x² + C

Б. 3x⁴ – 2 x + C

В. 6x⁴ - 2 + C

Г. x⁴/4 - 2x + C

3. 3 равен

А. 3 arctgx + C

Г.

В.

Г. -3 arctgx + C

4. ò7^х dx равен

А. 7^xln7 + C

Б.

В. x×7^x-1 + C

Г. 7^x-1 + x + C

5. Первообразная для функции y = 2x + e^x имеет вид

А. хе^x + С

Б. х²е^x-1 + С

В. x² + е^x +С

Г. 2xe^x+1 + C

6. ò5sinx dx равен

А. -5сosx + C

Б. 5cosx + C

В. cos5x + C

Г. – cos5x + C

7. равен

А. ctg3x + C

Б.

В. 3ctg3x + C

Г.