Теорема Лиувилля

Равновесный газ описывается стационарным, то есть не зависящим от времени, гамильтонианом и постоянными термодинамическими параметрами. Макросостояние реализуется фазовым ансамблем микросостояний. Это множество точек с течением времени движется по фазовому пространству. Закон их перемещения описывает теорема Лиувилля – при движении точек фазового ансамбля плотность микросостояний вдоль траектории остается постоянной и зависит от гамильтониана

, . (2.5)

Аналогично течет несжимаемая жидкость, сохраняя свою плотность. Теорему доказал французский математик Лиувилль в 1838 г. Теорема используется для получения явного вида функции распределения состояний по фазовому пространству.

Жозеф Лиувилль (1809–1882)

Доказательство теоремы

Рассмотрим бесконечно малый объем фазового пространства в форме цилиндра с осью вдоль одной из обобщенных координат . Основания цилиндра перпендикулярны оси, длина образующей . Микросостояния с плотностью входят в объем и выходят из него.

Для нахождения числа вошедших за 1с микросостояний представим микросостояние в виде точки на рисунке. Число точек в единице объема равно w. Если все точки двигаются со скоростью , то за 1с через сечение пройдут состояния, которые первоначально заполняли цилиндр с образующей, равной скорости. Умножаем объем цилиндра на плотность состояний, получаем число вошедших состояний

.

От точки к точке оси меняется плотность микросостояний и их скорость, тогда число состояний, выходящих через сечение равно

,

где использовано

.

Если плотность изменяется с течением времени, тогда в объеме появляются и исчезают состояния. За 1с в объеме появляется число состояний

.

Каждое состояние описывает реальную систему, поэтому число состояний сохраняется и выполняется уравнение баланса

«число появившихся состояний» =

= «число вошедших состояний» – «число вышедших состояний»:

.

Сокращаем подобные и получаем

.

Результат обобщаем на случай изменения всех координат фазового пространства

.

Раскрываем круглые скобки

.

Последняя скобка равна нулю согласно уравнениям Гамильтона (2.1)

, .

Получаем уравнение Лиувилля

(2.5а)

Используем выражение для полной производной

,

получаем теорему Лиувилля

(2.5б)

– полная производная по времени от плотности микросостояний равна нулю. Следовательно, плотность микросостояний фазового ансамбля не изменяется при его движении.

Пример

Для одномерного движения свободной частицы запишем уравнение Лиувилля и найдем его решение. Сравним результат с решением уравнений Гамильтона.

Уравнение Лиувилля (2.5а)

для одномерного движения частицы с имеет вид

. (П.2.2)

Для получения и используем гамильтониан свободной частицы

.

Из уравнений Гамильтона (2.1)

,

находим

, .

Задаем начальные условия , . Решаем уравнения и получаем известные формулы равномерного движения

, , . (П.2.3)

Подставляем (П.2.3) в (П.2.2)

и получаем уравнение Лиувилля

.

Уравнению удовлетворяет

,

где – распределение плотности вероятности обнаружения частицы в начальный момент времени.

Плотность вероятности обнаружения координаты и импульса частицы определяет траекторию и закон движения частицы в фазовом пространстве, как и уравнения Гамильтона. Если при для частицы заданы не начальные условия, а их распределение в фазовом пространстве , то динамика частицы описывается не уравнениями Гамильтона, а эволюционным уравнением Лиувилля (2.5а).