Определение кинематических параметров движения точки при координатном способе задания ее движения

КИНЕМАТИКА ПРОСТОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Некоторые положения теории

Основные понятия кинематики простого движения точки

Под простым понимают движение точки по отношению к выбранной (одной) системе отсчета. При этом для описания движения точки используют векторный, координатный и естественный способы.

При векторном способе задания движения положение точки определяется ее радиусом-вектором , проведенным из некоторой точки О, принимаемой за начало выбранной системы отсчета (рисунок 1.1). Уравнение, выражающее зависимость радиус-вектора точки от времени , называют законом движения точки в векторной форме.

Для нахождения положения точки

Рисунок 1.1

при координатном способе задания ее движения используют выражения координат как функций времени, например, x = x(t), y = y(t).

Рисунок 1.2

Естественный способ задания движения точки применяется в тех случаях, когда известна ее траектория (траекторией точки называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве). Чтобы определить положение точки в пространстве при естественном способе, задаются началом и положительным направлением отсчета дуговой координаты, как это показано на рисунке 1.2, а в качестве закона движения точки выступает закон изменения дуговой координаты .

Линейная скорость точки характеризует быстроту изменения ее положения в пространстве. Она определяется соотношением

.

Вектор линейной скорости точки направляется по касательной к траектории в сторону движения точки. Следовательно, он показывает направление движения точки в данный момент времени. Измеряется линейная скорость в метрах в секунду (м/с).

В свою очередь линейное ускорение точки характеризует быстроту изменения ее линейной скорости и равно производной по времени от вектора скорости

.

Направление вектора ускорения определяют, как правило, путем геометрического суммирования его составляющих. Измеряется линейное ускорение в м/с².

Определение кинематических параметров движения точки при координатном способе задания ее движения

При исследовании движения точки используются чаще всего декартовы координаты. В этом случае положение точки в пространстве определяется выражениями x = x(t), y = y(t), z = z(t) (при изложении теоретического материала ограничимся случаем движения в плоскости, поэтому уравнение z = z(t) в дальнейшем опустим). Используя эти уравнения, можно решить следующие задачи:

– получить уравнение траектории точки;

– определить закон движения точки по траектории;

– найти значение и направление вектора скорости;

– рассчитать значение и определить направление вектора ускорения.

С целью нахождения уравнения траектории необходимо исключить время из уравнений движения и получить зависимость y = f(x). Часто это удается сделать, выразив время из одного уравнения и подставив в другое. Например, если движение точки описывается уравнениями , , то получаем ; .

Для определения скорости точки в декартовых осях используют ее проекции на оси координат и . Они находятся путем дифференцирования выражений соответствующих координат точки по времени:

; .

Вектор скорости равен геометрической сумме векторов ее проекций

.

Поскольку составляющие и перпендикулярны друг другу, то значение скорости определяется формулой

. (1.1)

Для нахождения скорости при естественном способе задания движения следует вычислить производную от закона изменения дуговой координаты:

. (1.2)

Выражение (1.2) с учетом (1.1) дает возможность получить закон изменения пройденного точкой пути от времени:

.

Линейное ускорение точки, как и линейную скорость, можно представить в виде суммы составляющих проекций на оси декартовой системы координат .

А проекции ускорения равны первым производным от соответствующих проекций скоростей по времени:

; .

Полное ускорение точки вычисляется по формуле

.

Выражения проекций линейного ускорения на декартовы оси координат несут информацию только об изменении осевых составляющих скорости. Характер изменения вектора скорости определяют проекции вектора ускорения на естественные оси кривой, по которой движется точка: касательную и главную нормаль.

Касательное ускорение точки характеризует быстроту изменения скорости по величине и находится дифференцированием скорости по времени

.

Если точка движется с постоянной скоростью, то касательное ускорение отсутствует.

Вектор направляется по касательной к траектории. Он сонаправлен с вектором скорости при ускоренном движении точки и противоположен ему в случае замедленного движения.

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Для его расчета применяется формула

,

где r – радиус кривизны траектории.

При движении точки по прямой .

Вектор нормального ускорения всегда направляется к центру кривизны траектории, то есть по главной нормали.

Вектор полного ускорения точки равен геометрической сумме касательного и нормального ускорений

.

На рисунке 1.3 показаны направления векторов скорости и ускорений точки в случае ее ускоренного движения. Поскольку касательное и нормальное ускорения взаимно перпендикулярны, то полное ускорение точки рассчитывается по формуле

Рисунок 1.3

.

Следовательно, полное ускорение точки равно нулю только в случае одновременного отсутствия касательной и нормальной составляющих, то есть при движении точки по прямой с постоянной скоростью.