Аналитический метод (метод замкнутого векторного контура)

Определяем степень подвижности механизма.

На рисунке 1 представлена схема рычажного механизма на котором показаны подвижные звенья :

1 – кривошип (ведущее звено);

2 – шатун ;

3 – кривошип

4 - шатун

5 – ползун,

значит n = 5– число подвижных звеньев механизма.

Кинематические пары : А16 ,В12, С24, С23 ,D36 ,Е45 –вращательное движение;

Е56-поступательное движение

значит Р5 = 7,

Р4 = 0.

Степень подвижности плоского механизма определяется по формуле Чебышева: W = 3n – 2P5 – P4 где (1)

Р5 – число пар 5-го класса;

Р4 – число пар 4-го класса,

Тогда:

W = 3*5 – 2*7 – 0 = 1

W=1 означает ,что для обеспечения требуемого движения звеньев достаточно одного ведущего звена.

1.2 Определяем класс, порядок механизма и записываем формулу строения:

Данный механизм II класса. Все группы II класса являются группами II порядка.

Формула строения механизма имеет вид:

I ( 1; 6) II (2; 3) II (4;5)

2. Кинематический анализ механизма графо-аналитическим методом планов:

Определение угловых и линейных скоростей для двенадцати положений механизма.

Линейная и угловая скорости звена 1:

с^-1, (2)

м/с. (3)

Определяем линейную скорость V_В

(4)

Определяем линейную скорость V_С

(5)

(6)

Определяем линейную скорость V_E

(7)

Зная направления действий скоростей точек, строим план скоростей.

Предварительно выбираем длину отрезка соответствующая скорости V_В,

которая откладывается от полюса плана скоростей в направлении V_В

(8)

масштаб скорости.

Построив планы скоростей получим:

Таблица 1.- Линейные скорости

	VВ	VCВ	VСD	VEC	VE
	1,256	2,44		0.075
	1,256	1,86	0.78	0.17	0.8
	1,256	0.78	0.55	0.17	0.60
	1,256	0.1	1.36	0.17	1.4
	1,256	0.6	1.5	0.25	1.46
	1,256	0.93	1.4	0.5	1.1
	1,256	1,13		0.55	0.75
	1,256	1.4	0.68	0.38	0.4
	1,256	1.33	0.12	0.075	0.1
	1,256	0.9	0.45	0.3	0.3
	1,256	0.17	1.2	0.63	0.88
	1,256	1.3		0.75	1.7

Найдем угловые скорости

(9)

Таблица 2.- Угловые скорости:

	12,56	5.3		0.07
	12,56		2.4	0.15
	12,56	1.7	1.6	0.07
	12,56	0.2	4.1	0.15
	12,56	1.3	4.54	0.23
	12,56		4.24	0.45
	12,56	2.50		0.5
	12,56			0.35
	12,56	2.9	0.36	0.07
	12,56	1.9	1.36	0.27
	12,56	0.37	3.6	0.57
	12,56	2.9		0.68

2.2 Определим линейные скорости центров тяжести шатуна 2 и 4:

(10)

(11)

(12)

Таблица 3.- Линейные скорости центров тяжести шатуна 2 и 4.

VS2	1.2	0.50	0.2	1.3	1.4	1.25	0.9	0.75	0.6	0.55	1.25	1.7
VS4	1.60	0.60	0.88	0.89	0.74	0.49	0.21	0.11	0.51	0.98	1.30	0.89

Таблица 4.- Угловые скорости центров тяжести шатуна 2 и 4.

	5.2			5.6	6.1	5.4		3.2	2.6	2.4	5.4	7.4
	3.6	1.4		2.7	2.7	2.2	1.6	0.9	0.2	0.33	1.8	3.5

Определение угловых и линейных ускорений для двенадцати положений механизма.

Определим ускорение точки B

(13)

Определим ускорение точки C

(14)

(15)

(16)

(17)

Определим ускорение точки E

(18)

(19)

(20)

Для решения системы векторных ускорений строим план ускорений.

Определяем масштаб плана ускорений

(21)

Построив планы ускорений получим:

Таблица 5- Линейные ускорения

			16.3	14.5	10.3	6.2	7.8	0.6	3.7	11.5		19.3
			18.8		1.5		6.8		14.6
	12.56	6.28	2.5	6.3	7.2		2.5		13.4	8.4		3.11
		42.7	18.8	11.3	6.5	8.8	6.8	1.24		13.6	18.6	4.6
		45.8	18.8			6.5	4.3	7.7			8.7

Найдем угловые ускорения

(22)

Таблица 6- Угловые ускорения

						13.5		1.3
					4.5
	11.5	5.7	2.3	5.7	6.5	5.4	2.3	4.5	12.5	7.4		2.8

Определим линейные ускорения центров тяжести шатуна 2 и 4.

Используя свойство подобия можно определить скорость любой точки механизма.

Из свойства подобия:

(23) (24)

(25)

Таблица 7.- Линейные ускорения центров тяжести шатуна 2 и 4.

aS2			15.7		10.5		10.2			12.4	10.9
aS4					3.1	7.5	5.2	9.9	9.3	9.3	12.4

Найдем угловые ускорения

(24)

Таблица 8.- Угловые ускорения центров тяжести шатуна 2 и 4.

				7.5	1.5		2.5	4.4	4.3	4.6		1.4

Аналитический метод (метод замкнутого векторного контура)

Условие замкнутости векторов:

l₁+ l₂ +l₃= l₀ (20)

l₃+ l₄= l₅+ l₆ (21)

Уравнение (20) проецируются на координатные оси:

l₁ cos j₁+ l₂ cos j₂+ l₃ cos j₃= l0 cos j₀ (22)

l₁ sin j₁ + l₂ sin j₂+ l₃ sin j₃ = l₀ sin j₀

Уравнение (21) проецируются на координатные оси:

l₃ cos j₃+ l₄ cos j₄= l6 (23)

l₃ sin j₃+ l₄ sin j₄= l₅

l₃ sin j₃= l₅- l₄ sin j₄

Определение скоростей заданных точек и угловых скоростей звеньев.

Скорость точки В любой момент времени определяется из выражения:

u_В= w₁∙ l₁ (24)

w₁ = (2 p n) / 30 (25)

w₁ = (2∙ 3,14 ∙120) / 30= 12.56 с^-1

u_в = 12,56∙ 0,1 = 1.256 м/с

Скорость точки С и угловая скорость звена АВ определяются из выражения : u_В = (dl₃ /dj₁ ) w₁ (26)

w₂ = (dj₂ /dj₁ ) w₁,где (27)

dl₂/dj₁ – аналог скорости точки В ;

dj₂/dj₁ – безразмерный аналог угловой скорости звена АВ.

Аналоги скоростей точек и звеньев получают при дифференцировании выражений (22) и (23).

Продифференцируем эти системы по dj₁ :

- l₁ sinj₁- l₂ sinj₂(dj₂ /dj₁)- l₃ sinj₃(dj₃ /dj₁)= -dl₀ sinj₀/dj₁ (28)

l₁ cosj₁ + l₂ cosj₂(dj₂ /dj₁)+ l₃ cosj₃(dj₃/dj₁)= dl₀ cosj₀/dj₁

_{И для второго контура:}

- l₃ sinj₃(dj₃ /dj₁)- l₄ sinj₄= -dl₆ /dj_{1 (29)}

l₃ cosj₃(dj₃ /dj₁)+ l₄ cosj₄= 0

Из обоих равенств находим dj₃ /dj₁- аналог w₃ и d l₆ /dj₁ – аналог Ve

d l₆ /dj₁ =l₃sinj₃(dj₂ /dj₁)+ l₄ sinj₄(dj₂ /dj₁) (30)

dj₃ /dj₁ =l₄ cosj₄ / l₃ cosj₃

Подставляя (численные) необходимые данные находятся численные значения аналогов.

Для положения 60 градусов имеем:

j₁₌ 60° , j₂₌ 35°, j₀₌ 14°,j₃₌75°°,j₄₌21°

dj₂ /dj₁= 1,89

d l₆ /dj₁ = 0,634

Координаты центра масс для второго звена механизма определяются из формул :

X_S2 = l₁ cos j₁ + l₂/2cos j₂ (31)

Y_S2 = l₁ sin j₁ + l₂/2 sin j₂

Аналоги dX_S2/dj₁ и dY_S2/dj₁ определяются из выражений (31) путем их дифференцирования :

dX_S2/dj₁ = - l₁sin j₁ + l₂/2 sin j₁(dj₂/dj₁) (32)

dY_S2/dj₁ = l₁ cos j₁ + l₂/2 cos j₂ (dj₂/dj₁)

Скорости по координатам X и Y центра масс находятся из соотношений :

u_XS2 = (dX_S2/dj₁) w₁ (33)

u_YS2 = (dY_S2/dj₂) w₁

Полная скорость точки S₂ находятся из соотношения :

u_S2 = (u_XS2)² + (u_YS2)² (34)

u_S2 = 0.97 м/с

Угол между направлением оси Х и вектором скорости u_S2 определяется из формулы :

cоs a_x = u_XS2/u_S2 (35)

a = arccos ( u_XS2/u_S2 )

Координаты центра масс для четвертого звена механизма определяются из формул :

X_S4 = l₃ cos j₃ + l₄/2cos j₄ (36)

Y_S4 = l₃ sin j₃ + l₄/2 sin j₄

Аналоги dX_S4/dj₁ и dY_S4/dj₁ определяются из выражений (31) путем их дифференцирования :

dX_S4/dj₁ = - l₃sin j₃(dj₃/dj₁)+ l₄/2 sin j₄ (37)

dY_S4/dj₁ = l₃ cos j₃(dj₃/dj₁) + l₄/2 cos j₄

Скорости по координатам X и Y центра масс находятся из соотношений :

u_XS4 = (dX_S4/dj₁) w₁ (38)

u_YS4= (dY_S4/dj₁) w₁

Полная скорость точки S₂ находятся из соотношения :

u_S4 = (u_XS2)² + (u_YS2)² (39)

u_S4 = 0.63 м/с

Определение ускорений заданных точек и угловых ускорений звеньев

В уравнениях (28) и (29) произведем подстановку

dj₂ /dj₁= U21 = w₂ /w₁ – передаточное число;

d l₅ /dj₁= Ve

- l₁ sinj₁- l₂ sinj₂U21- l₃ sinj₃U31= Vс (40)

l₁ cosj₁ + l₂ cosj₂ U21+ l₃ cosj₃U31= Vс

- l₃ sinj₃ U31- l₄ sinj₄= Vе (41)

L₃ cosj₃ U31 + l₄ cosj₄ = 0

Продифференцируем уравнения (44) и ( 45) по dj_1:

- l₁ cos j₁- l₂ cos j₂U²21 – l₃(dU31/ dj₁)= Vс/ dj₁ (42)

- l₁ sin j₁ + l₂ U²21 sin j₂+ l₃(dU31/ dj₁) cosj₃ =0

- l₃ cos j₃ U²31- l₄ cos j₄ = Vе/ dj₁ (43)

l ₃ sin j₃ U²31 + l₄ sin j₄ = 0

dU31/ dj₁ =1.023

Ve/ dj₁ = 1.0507

ae =( Ve/ dj₁ ) w₁ =15м/с²

e₃= (dU31/ dj ₁) w²₁=12 рад/ c^-1

^{Таблица 9.}

j1
j2
j3
j0
dj2 dj1	5.09	0.4	1.89	0.32	1.24	2.09	2.78	3.21	3.56	0.46	2.05	4.03
dj3 dj1	3.79	3.56	1.96	4.03	3.15	3.96	2.03	1.42	0.54	3.68	5.6	5.88
dj4 dj1	0.05	1.43	0.14	0.35	0.23	0.43	0.45	0.67	0.15	0.47	0.35	0.1
XS2	0.134	0,153	0,198	0,316	0,362	0,407	0,446	0,477	0,496	0,503	0,446	0,316
YS2	0.07	0.06	0,062	0.054	0.06	0.053	0.042	0.058	0.067	0.083	0.84	0.93
dl6 dj1	1.25	1.13	0.67	1.24	1.18	0.87	0.64	0.34	0.58	1.05	1.47	1.96
uXS2	0.25	1,943	1,94	1,806	1,529	1,058	0,552	0.78	1,53	1,94	1,27	1.35
uYS2	0.68	1,012	0,817	0,253	0,001	0,28	0,55	0,79	0,94	1,01	0,55	0,253
uS2	1.1	0.3	0.2	1.3	1.6	1.3	0.9	0.73	0.5	0.7		1.5
uS4	1.8	0.7	0.5	1.2	1.3		0.8	0.2	0.1	0.3	1.3	1.8

3. Динамический синтез рычажного механизма по заданному коэффициенту неравномерности движения:

3.1 Определение приведённого момента сил сопротивления:

Для каждого из двенадцати положений механизма по данным кинематического анализа берем значения uS2 , uE , G2 , G5 , cos(G4^uS2) , cos(G5^uE), uS4, G4, cos(G4^uS2)

G2 = m2∙g =18∙9,8= 176,4Н. (45)

G4 = m4∙g = 90∙9,8= 882Н. (46)

G5 = m5∙g =350∙9,8= 3430Н. (47)

Уравнение для приведенного момента сил сопротивления в общем случае имеет вид:

M_пр^с.с. = å F_i (u_Si/w₁) cos (F_i^u_Si) , (48)

где М_пр^с.с – приведенный момент сил сопротивления;

uSi – скорость точки Si;

Fi – сила сопротивления, приложенная в i-ой точке;

Fi^uSi – угол между векторами Fi и uSi.

При построении графика приведенного момента сил сопротивления М_пр = =М_пр(j₁), учитываются силы полезного сопротивления и силы тяжести. Силы трения и инерции не учитываются.

В данном случае уравнение для М_пр будет иметь следующий вид:

М_пр(j₁) = (G_S2∙u_S2∙cos(G_S2^u_S2) + G_S4∙u_S4∙cos(G_S4^u_S4) + G₅∙u_E∙cos(G₅^u_E)+ +F_ПС∙u_E∙cos(F_ПС^u_E)) /w₁ (49)

Вторая составляющая М_пр(j₁) будет всегда отрицательной, поскольку сила F действует на отрезке j₁ (90°…180°), когда вектор u_В направлен противоположно вектору F (т.е. cos(F^u_B) = -1).

Третья составляющая М_пр(j₁) упрощается, так как cos(G₅^u_E) = 0.

Тогда для положений 0, 1, 8, 9,10,11,12:

М_пр(j₁) = (G_S2∙u_S2∙cos(G_S2^u_S2) + G_S4∙u_S4∙cos(G_S4^u_S4) + G₅∙u_E∙cos(G₅^u_E)) /w₁ (50)

Для всех остальных положений (2, 3, 4, 5, 6,7):

М_пр(j₁) = (G_S2∙u_S2∙cos(G_S2^u_S2) + G_S4∙u_S4∙cos(G_S4^u_S4) + G₅∙u_E∙cos(G₅^u_E)) /w₁ - F_ПС∙u_E∙cos (51)

М_пр(j₁) рассчитывается для двенадцати положений механизма (таблица 14).

µм= М max/y m =0,56 H м/мм

Таблица 10. – Момент сил сопротивления

Мпр		-21	-13	-27	-55	-56	-30	-32,5	-9,8	0,16

3.2 Определение и построение графика работы сил сопротивления и движущих сил :

А_п.с.(j₁) = ò М_пр(j₁)dj₁ (52)

Для нахождения работы производственных сил используется графическое интегрирование приведенного к ведущему звену момента сил сопротивления:

А_п.с.1 = Dj_1-0∙(М_пр0 + М_пр1)/2 (53)

А_п.с.2 = Dj_2-1(М_пр1 + М_пр2)/2 + А_п.с.1 (54)

Известно, что работа движущих сил за цикл установившегося движения равна работе сил сопротивления, следовательно, конечная точка графика работы движущих сил за цикл тоже известна (точка 12). В данном курсовом проекте принято, что момент движущих сил М_д постоянен, поэтому его интегральная функция

А_д = ò М_д(j₁)dj есть наклонная прямая, соединяющая начало и конец графика А_п.с.(j₁):

А_д = А_п.с.кон·Δφ/2π (55)

3.3 Построение графика изменения кинетической энергии:

График кинетической энергии Т(j₁) представляет собой разность графиков работы движущих сил и сил сопротивления:

Т = А_д – А_п.с. (56)

Зная коэффициент неравномерности хода, получается:

Т₁ = Т – J_прw_max²/2 (57)

Т₂ = Т – J_прw_min²/2 (58)

где w_max = w₁ ( 1 + d/2) (59)

w_min = w₁ ( 1 - d/2) (60)

3.4 Определение приведённого момента инерции:

Для каждого из двенадцати положений механизма по данным кинематического анализа берутся значения u_S2 , u_S4 , w_2, w_4, u_E .

Уравнение для приведенного момента инерции в общем случае имеет вид:

J_пр = å m_i (u_Si/w₁)² + å J_Si (w_i/w₁)², (61)

где u_Si – скорость масс i-го звена;

m_i – масса i-го звена;

J_Si – момент инерции i-го звена;

w_i - угловая скорость i-го звена;

w₁ – угловая скорость ведущего звена 1.

Для данного механизма, уравнение для J_пр (приведенного момента инерции) будет иметь вид:

J_пр(j₁) = (m₂∙u_S2²)/w₁² +(m₄∙u_S4²)/w₁² + (J_S2∙w₂²)/w₁² +(J_S4∙w₄²)/w₁² +(m₂∙u_E²)/w₁² (62)

На основании уравнения (62) рассчитываются значения J_пр для двенадцати положений входного звена (таблица 13).

µJ =Jmax/ yJ=0.114 (кг*м² /мм)

Таблица 11. - Момент инерции

Jпр	11,4	1,8		5,8	5,94	3,792	1,86	0,595	0,086	0,278	2,5	8,85

3.5 Построение диаграммы Виттенбауэра и определение параметров маховика.

Момент инерции маховика , обеспечивающий требуемую равномерность хода машины , определяется также по диаграмме «энергия – масса».

DТ = DТ(J_пр). Для ее построения используются уже имеющиеся графики DТ = DТ(j) и J_пр = J_пр(j₁). Нужно только исключить координату j₁ путем переноса координат с этих графиков на поле искомой диаграммы.

К диаграмме проводятся касательные под углами:

tg£max=(µm/2µT ) ∙w₁² (1+d) (63)

tg£min=(µm/2µT ) ∙w₁² (1-d) (64)

Определяется момент инерции маховика:

h=76 мм

J_м =h∙ µT /d∙w₁² (65)

J_м =30 кг∙м²

m=4∙ J_м/ (4∙ l1) ² (66)

Масса маховика: m=1000 кu