Править]Гиперболические функции

Основная статья: список интегралов от гиперболических функций

также

также

Интегрирование методом замены переменной

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g −1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du.   6. Метод подстановки (замена переменной интегрирования) Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) где – монотонная, дифференцируемая функция; б) – новая переменная. В первом случае формула замены переменной имеет вид: . (6.1) Во втором случае: . (6.2) В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 1

Вычислить . Решение. Сделаем замену . Тогда . Следовательно, интеграл принимает вид

Интегрирование по частям

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

Доказательство

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

§

§

§ Иногда этот метод применяется несколько раз:

§ Данный метод также используется для нахождения интегралов от элементарных функций:

§ В некоторых случаях интегрирование по частям не даёт прямого ответа:

Таким образом один интеграл выражается через другой:

3. Интегрирование рациональных функций.

Функция называется рациональной, если ее можно представить в виде отношения двух многочленов. Например, если R(x) — рациональная функция одной переменной x, то

R(x) = am xm + am − 1 xm − 1 + … + a1 x + a0 bn xn + bn − 1 xn − 1 + … + b1 x + b0 ≡ Pm(x) Qn(x) .

Здесь, как обычно, индексы у P_m(x) и Q_n(x) указывают степени этих многочленов .

Многочлены являются рациональными функциями (у них знаменатели тождественно равны единице). Если рациональная функция не является многочленом, то она называется дробной .

Рациональная функция называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе и неправильной, если степень многочлена в числителе больше либо равна степени многочлена в знаменателе .

Правильную рациональную функцию одной переменной x можно единственным образом представить в виде суммы элементарных дробей

A (x − a)k , Mx + N (x2 + 2px + q)k (p2 − q < 0),

где A , M , N , a , p , q — действительные числа и k — натуральные числа.

В этой сумме каждому действительному нулю a кратности k знаменателя Q_n(x) соответствуют k слагаемых

A1 x − a + A2 (x − a)2 + … + Ak (x − a)k .

Каждой паре комплексно сопряженных нулей кратности k знаменателя Q_n(x) (являющихся нулями квадратного трехчлена x² + 2px + q ) соответствуют k слагаемых

M1x + N1 x2 + 2px + q + M2x + N2 (x2 + 2px + q)2 + … + Mlx + Nl (x2 + 2px + q)l .

Представление правильной рациональной функции в виде суммы элементарных дробей называется разложением на элементарные дроби.

Коэффициенты элементарных дробей, фигурирующих в разложении, однозначно определяются условием тождественности правильной рациональной функции и ее разложения.

Дробная рациональная функция

Рациональная дробь

3. Интегрирование простейших рациональных дробей.

4. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

5. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

6. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

7. Вычислить интегралы от простейших дробей.

8. Теорема 6. Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором ее знаменатель не равен нулю, существует и выражается через элементарные функции, а именно рациональные дроби, логарифмы и арктангенсы.

9. Доказательство.

10. Представим рациональную дробь в виде: . При этом последнее слагаемое является правильной дробью, и по теореме 5 ее можно представить в виде линейной комбинации простейших дробей. Таким образом, интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена S(x) и простейших дробей, первообразные которых, как было показано, имеют вид, указанный в теореме.

11.

12. Замечание. Основную трудность при этом составляет разложение знаменателя на множители, то есть поиск всех его корней.

13. Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степени Q(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.

14. Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,

15. где

16. P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

17.

18. a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).

19. Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.

20.

21. Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:

22. 1) , 2) , 3) , 4) .

23.

24. Выясним, каким образом они интегрируются.

25. 1)

26. 2)

27. 3) (изучен ранее).

28.

29. Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).

30.

31. Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:

32.

33.

34. Пример 1.

35.

36. Следствие 2. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го и 2-го типов:

37.

38.

39.

40.

41. Пример 2.

42.

43. Следствие 3. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го типа:

44.

45.

46. Пример 3.

47.

48.

49. Следствие 4. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только кратные комплексно - сопряженные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 3-го и 4-го типов:

50.

51.

52.

Разложение рациональных функций в сумму простейших дробей.

Интегрирование иррациональных функций,

Теорема Чебышева для интегрирования дифференциальных биномов