Системы функциональных уравнений

Понятие функционального уравнения

В примерах 4 и 5 (приложение 1) мы встретили особый вид уравнений, которые называют функциональными. Мы с ними знакомы по уравнениям вида f(x) = f(-x), f(-x) = =-f(x), f(x+a) = f(x), которые задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность. Сложная функция – неотъемлемый компонент таких уравнений.

Определение 5. Функциональное уравнение – это некоторое соотношение, из которого нужно найти неизвестную функцию.

Например, ,

,

.

Определение 6. Решить функциональное уравнение – значит установить, имеет ли оно решения, и найти их, если они имеются.

Отдельные функциональные уравнения можно решить методом подстановки. Этот метод достаточно трудоемкий, так как в ходе решения уравнения получаются системы уравнений, из которых путем исключения получаются алгебраические уравнения относительно искомой функции.

Проиллюстрируем метод подстановки примерами. Будем считать, что все уравнения решены для допустимых значений переменных.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение Выполним некоторые преобразования.

Пусть тогда

После подстановки значения х в исходное уравнение получаем систему двух уравнений:

Пусть тогда система примет следующий вид:

Эту систему двух линейных уравнений с двумя переменными a и b можно решить с помощью формул Крамера. Причем искать будем только а.

Вернёмся к исходным переменным:

Тогда

Ответ.

Пример 3. Решить уравнение

Решение.

Пусть

_{; ;}

Введем новые переменные получим систему уравнений с двумя переменными, которая является линейной.

Решим эту систему, используя метод Крамера. Вычислим главный определитель системы.

Теперь найдем вспомогательные определители :

Проверка:

Ответ.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Шаг 1.

1) Пусть , тогда

2) Подставим значение в уравнение, получаем:

Шаг 2.

1) Пусть ,

2) Получаем уравнение:

Шаг 3.

1) Пусть ,

2) Получаем уравнение:

Переходя во всех уравнениях к одной переменной (выполняя переобозначение), получаем систему из четырех уравнений:

После выполнения замены переменных , получаем линейную систему из четырех уравнений и четырех переменных.

Эту систему решали следующим образом: разбили ее на две системы (из первого и второго уравнений и из третьего и четвертого), затем в каждой системе выразили а через с. Получили:

В этой системе выражаем а через с способом алгебраического сложения.

Ответ.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Шаг 1

1) Пусть , тогда

2) Подставим значение в выражение для функции :

3) Получаем уравнение:

Шаг 2.

1) Пусть , тогда

2) Подставим значение в выражение для функции :

3) Получаем уравнение:

Шаг 3.

Получаем систему из трех уравнений:

Пусть . Тогда система примет следующий вид:

Решим систему трех линейных уравнений с тремя переменными с помощью метода Крамера. Достаточно найти значение t. Подсчитаем главный определитель.

Подсчитаем определитель относительно :

Так как при допустимых значениях а определитель относительно получился ненулевой, то у системы нет решений.

Замечание. Строго говоря, числитель полученной дроби может быть равен нулю, но мы не смогли найти это значение а точно. Вообще, ситуация получилась интересная! Мы предположили, что система несовместна, на основании того, что ее главный определитель равен нулю при всех допустимых значениях а, а все остальные определители – только при одном (одинаковом)! Поэтому….

Ответ: нет решений.

Системы функциональных уравнений

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение.

При решении этой (и аналогичных) системы будем использовать метод замены переменной. Но замена производится не совсем обычным образом! Выбираем более простой аргумент и…

Теперь выполним подстановку:

Для того, чтобы решать систему было легче, сведем ее к линейной с помощью простой замены.

Вернёмся к исходным переменным.

f(x)=-2. Первое уравнение необходимо дорешать.

Пусть

Ответ: f(x)=-2,

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение. Выполним замену переменной:

Тогда система примет вид:

Сведем систему к линейной и решим ее.

Ответ.f(x) = x, g(x) = x+1.

Заключение.

В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и один из способов их решения - метод подстановки. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения – это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям относятся, в том числе, уравнения вида f(x) = f(-x), f(-x) = -f(x), f(x+a) = f(x), которые задают такие свойства функций, как четность, нечетность, периодичность. Сложная функция – неотъемлемый компонент таких уравнений.

Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.

Отметим также то, что нам удавалось решить далеко не каждое функциональное уравнение, особенно из тех, что мы пробовали придумать самостоятельно. Например, уравнение мы решить методом подстановки не смогли, так как мы никак не могли получить линейную систему, появлялись все новые переменные. От чего это зависит, нет ли закономерностей, более общих, чем данный метод? Возможно, что ответы на эти вопросы мы сможем получить в ходе дальнейших исследований.

Литература.

1.Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999

2.Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с

3.Кострикина Н.П. “Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов” - М: “Просвещение”, 1991г.

4.Смышляев В.К.. Практикум по решению задач школьной математики. – М: “Просвещение”, 1978г.

5.Селиванова М.Решение уравнений и систем уравнений, содержащих сложную функцию. - Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» «Математика» , №10, 1999 г., стр. 29.

Приложение 1

Примеры сложных функций

Пример 8.

Пусть g(f(x))= и f(x)= . Найдите f(g(2)).

Решение.

Пусть f(x)=t. Тогда =t, откуда . Так как g(f(x))= , то g(t)=0,5(t+3)+(0,5(t+3) +0,1. Тогда g(2)=3 и f(g(2))=f(3)=15.

Пример 9.

Найдите f(x) и g(x), если f( , f(g(x))= .

Решение.

Пусть , тогда x= . Так как , то +1. Получаем . Так как по условию , то . Откуда

Пример 10.

Найдите , если

Решение.

Отметим, что .

Пусть , где . Откуда . Переходя в равенстве к переменной , получим, что t≠1. Обозначая t через x, найдём где x≠1, x≠0, x≠

Пример 11.

Дана функция . Найти:

Решение.

1)

2)

4)

5)

6)

Приложение 2

Пример 12.

Найти функцию если

Решение.

Шаг 1.

1) Пусть тогда

2) Подставим значение в выражение для функции

3)

4) Получаем уравнение:

Шаг 2.

1) Пусть тогда

2) Подставим значение в выражение для функции

3)

4) Получаем уравнение:

Шаг 3.

Получаем систему двух уравнений:

Умножим первое уравнение 3, а второе уравнение на 2:

Сложим два уравнения системы, получим:

,

Ответ:

Приложение 3

Пример 13. Решить систему уравнений

Решение.

1) Пусть тогда

2)

3)

Пусть тогда получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

тогда

Вернёмся к исходным переменным:

1) . Пусть тогда

Тогда

2)

Пусть тогда

Получаем

Ответ: