Нахождение неизвестных. Порядок действий в выражении. Употребление скобок.

Нахождение неизвестного слагаемого. a – слагаемое, x – слагаемое, b – сумма.

a+x=b, x = b – a; x + a = b, x = b – a.

Нахождение неизвестного уменьшаемого. x – уменьшаемое, a – вычитаемое, b – разность.

x – a = b, x = b + a.

Нахождение неизвестного вычитаемого. a – уменьшаемое, x – вычитаемое, b – разность.

a – x = b, x = a - b.

Нахождение неизвестного множителя. a – множитель, x – множитель, b – произведение.

a × x = b, x = b : a, x × a = b, x = b : a.

Нахождение неизвестного делимого. a – делитель, x – делимое, b – частное.

x : a = b, x = b × a.

Нахождение неизвестного делителя. a – делимое, x – делитель, b – частное.

a : x = b, x = a : b.

Сложение и вычитание — действия первой ступени (I). Умножение и деление — действия второй ступени (II). Возведение в степень — действие третьей ступени (III). Сначала выполняются действия высших ступеней, а затем низших ступеней (III, II, потом I). Если в выражение есть скобки, то сначала производятся действия в скобках, соблюдая ступени действий.

Степень с натуральным показателем. aⁿ

Произведение n множителей, каждый из которых равен a.

a – основание степени, n- показатель степени.

a¹ = а.

а^т ·а" = а^{т + п}.

а^т:а" = а^m-n.

(а^т)^п = а^тп.

Уравнения и системы уравнений.

Тождеством называется равенство верное при любых значениях входящих в него переменных.

Уравнением с одним неизвестным называется равенство, содержащее обозначенное буквой неизвестное число, которое требуется найти.

Корнем уравнения называется число, подстановка которого вместо буквы превращает уравнение в верное равенство.

Решить уравнение - это, значит, найти все его корни или убедится, что их нет.

Равносильными называются уравнения, у которых одни и те же корни.

ax+b=0 – линейное уравнение с одной переменной,

x – переменная, a,b- некоторые числа.

Если a≠0, то единственный корень x=

Если a=0 и b≠0, то уравнение не имеет корней,

Если a=0 и b=0, то уравнение имеет бесконечное множество корней.

Квадратный трехчлен ах² + bх + с (a≠0) и квадратное уравнение ах² +bх + с = 0 (a≠0) D — дискриминант, x_l и х₂ — корни.

D = b²-4ac.

Если коэффициент b — четный, удобно пользоваться формулами:

Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении b=0 или c = 0 или b=c=0, то уравнение называется неполным квадратным уравнением.

ах² + с = 0; ах² +bх = 0; ах² = 0.

Разложение квадратного трехчлена на множители (х₁, х₂ — корни)

Если D > О, то ах² + bх + с = а(х — х₁)(х - х₂).

Если D= О, то ах² + bх + с = а(х — х₁)² .

Теорема Виета (свойство корней квадратного уравнения)

Если х₁ и х₂ — корни квадратного уравнения ах² +bх + с = 0, то

.

Теорема, обратная теореме Виета (признак квадратного уравнения)

Если m и n таковы, что , то числа m и n – корни квадратного уравнения ах² +bх + с = 0.

Системой двух уравнений с двумя неизвестными называется два уравнения, которые рассматриваются совместно и в которых неизвестные числа одни и те же.

Решением системы называется пара чисел, которая при подстановке в каждое из уравнений системы обращает его в верное равенство.

Решить систему уравнений - это значит найти все её корни или доказать, что их нет.

Способ подстановки: выражаем одно неизвестное из одного урав-нение через другое неизвестное, подставляем в другое уравнение, решаем полученное уравнение с одним неизвестным, полученное значение неизвестного подставляем в первое и находим второе неизвестное.

Способ сложения: рассматриваем новую систему, в которой при одном из неизвестных коэффициенты равные, но разные по знаку, для этого умножаем уравнения на различные числа, складываем почленно полученные равенства, получаем уравнение с одной переменной, находим её и подставляем полученное значение в уравнения системы, получаем вторую переменную.

Графический способ: строим графики функций, задающих каждое из уравнений системы, находим координаты точек пересечения построенных графиков (если они есть), абсцисса и ордината точек пересечения – решение системы. Графический способ дает приближенные результаты.

Функции и графики функций.

y = f(x)

Функция – это зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y.

x – независимая переменная, аргумент,

y – зависимая переменная, функция.

Область определения функции – все значения аргумента,

Область значений функции – все значения зависимой переменной.

График функции – множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значению аргумента, а ординаты – значению функции.

Способы задания функции: графический, табличный, рекуррентный.

Функция называется возрастающей на промежутке, если большему значению x соответствует большее значение f(x), функция называется убывающей на промежутке, если большему значению x соответствует меньшее значение f(x).

Функция называется четной, если при изменении знака x, знак y не изменяется, т.е. f(-x) = f(x), график симметричен относительно оси ординат, функция называется нечетной, если при изменении знака x знак y меняется на противоположный, т.е. f(-x)= -f(x), график симметричен относительно начала координат.

Координатная плоскость

Две перпендикулярные координатные прямые x и y, которые пересекаются в начале отсчета, точке О называют системой координат на плоскости, O –начало координат.

Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел - её координаты, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Линейная функция (график — прямая)

y=kx+b, k,b- некоторые числа.

Область определения - все действительные числа

I. у = kx.
1) k >0 2) k = 0 3) k < 0

II. у = kx + b.

1) k > О, b > 0 2) k = 0, b > 0 3) k > 0, b < О

Квадратная функция (график — парабола)

y=x²

Область определения – все действительные числа.

Функция четная, точка (0;0) – вершина параболы.

у = ах², (а≠ 0).

1) а > 0 2) а < 0

Обратная пропорциональность (график - гипербола)

, k – действительное число.

Область определения - все действительные числа, кроме 0

1) k > 0

3) k < 0

Квадратный и арифметический корень.

Квадратный и арифметический квадратный корень.

Квадратным корнем из числа a, называется число квадрат которого равен a.

Арифметическим квадратным корнем из числа a, называется неотрицательное число квадрат которого равен a.

.

Погрешности.

Приближенные вычисления и погрешности.

Округление: => с недостатком, если отбрасываемая цифра менее 5, => с избытком, если отбрасываемая цифра больше 5. Округлить:

а) до десятых 12,34; 12,34 »12,3

б) до сотых 3,2465; 3,2465 »3,25

в) до тысячных 3,4335; 3,4335 »3,434

г) до тысяч 12375; 12375 »12000.

Абсолютная погрешность - разность между точным значением и приближённым значением числа, взятая по модулю.

Относительная погрешность а/½a½ — отношение абсолютной погрешности к величине приближённого числа (выражается в процентах).

Прогрессии.

Ряд чисел, в котором для каждого числа можно указать его порядковый номер в этом ряду, называют числовой последовательностью.

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с некоторым действительным числом – d.

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, умноженному на некоторое, не равное нулю действительное число – q.

Арифметическая прогрессия

Обозначения: (а„): а₁, а₂, ... а_n

a₁ — первый член прогрессии

а_n — п-й член прогрессии

d — разность арифметической прогрессии

S_n — сумма п первых членов прогрессии

Если, d = 0, то

Геометрическая прогрессия

Обозначения: (b_n): b₁ b₂ ... b_n, ... .

b₁ — первый член прогрессии

b_n — n-й член прогрессии

q — знаменатель геометрической прогрессии

S_n — сумма п первых членов прогрессии

Сумма S бесконечной геометрической прогрессии, у которой

ГЕОМЕТРИЯ.

Отрезок и угол.

Отрезок — часть прямой, ограниченная с двух сторон точками. Точки называются концами отрезка.

Точка отрезка, делящая его пополам, называется серединой отрезка.

Луч — прямая, выходящая из заданной точки и уходящая в бесконечность.

Два отрезка считаются равными, если при наложении они совмещаются всеми точками.

Длина отрезка— число, получаемое в результате измерения, это число показывает сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезка.

Свойства длины:

- Равные отрезки имеют равные длины,

- Меньший отрезок имеет меньшую длину,

- Если отрезок разделен точками на части, то длина всего отрезка равна сумме длин его частей.

Угол— фигура образованная двумя лучами или отрезками (стороны угла), выходящими из одной точки (вершина угла).

Два угла называются равными, если при наложении они совпадают.

Развёрнутый угол — угол, одна сторона которого является продолжением другой.

Смежными углами называются два прилежащих угла, не­ совпадающие стороны которых образуют прямую.

Сумма смежных углов равна 180°

Если два смежных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым.

Вертикальные углы — у которых стороны являются продол­жением сторон другого. Они образуются при пересечении двух прямых.

Вертикальные углы равны.

1° — единица измерения угла в градусной системе — это угол, составляющий 1/360 часть полного угла. Дуга центрального угла в 1°составляет 1/360 часть дуги окружности.

1’ — 1/60 часть градуса, (одна минута). 1" — 1/3600 часть градуса (одна секунда). 1 рад — это такой центральный угол, дуга которого равна радиусу окружности.

360° эквивалентно 2p рад. Следовательно:

Развёрнутый угол — 180°, прямой угол — 90°, острый угол — угол содержащий < 90°, тупой угол — угол содержащий > 90°, но <180°

Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает сколько раз градус и его части укладываются в данный угол.

Свойства градусной меры угла:

- Равные углы имеют равные градусные меры,

- Меньший угол имеет меньшую градусную меру,

- Если угол делится лучами на части, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер его частей.

Треугольник и его свойства.

Треугольник – фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и попарно соединенных отрезками.

Точки – вершины, отрезки – стороны треугольника.

Остроугольный D — если все углы острые. Тупоугольный D — если один из его углов тупой. Прямоугольный D — если один из углов прямой. Стороны образующие прямой угол — катеты. Третья сторона — гипотенуза. Равнобедренный D — две стороны равны. Равносторонний D все три стороны равны. Теорема:Во всяком D сумма углов равна 180° или p радиан.

Высота треугольника -это перпендикуляр, опущенный из любой вершины D на противолежащую сторону или на её продолжение. Три высоты D всегда пересекаются в одной точке, которая называете
ортоцентром.Ортоцентрв: тупоугольном D — вне D; остроугольном D — внутри D; прямоугольном D — вершина прямой угла.

Медиана треугольника -отрезок, соединяющий произ­вольную его вершину с серединой противолежащей стороны. Три медианы D пересекаются в одной точке, эта точка всегданаходится внутриD, являясь его центром тяжести. Свойство: Точка пересечения медиан делит каждую медиану в соотношении 2:1 (считая от вершин).

В прямоугольном D медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

Биссектриса треугольника -называется отрезок биссектрисы любого угла этого D от вершины до пересечения с противопо-ложной стороной. Все три биссектрисы D пересекаются в одной точке, лежащей всегда внутри D и являющейся центром вписанной окружности.

Средняя линия треугольника – это отрезок, который соединяет середины двух сторон этого треугольника.

Свойства средней линии D:

· средняя линия D параллельна его основанию,

· средняя линия D равна половине его основания.

Внешний угол треугольника – смежный с любым внутренним углом.

Всякий внешний угол D равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Если два угла одного D соответственно равны двум углам другого D, то третьи углы равны. Сумма острых углов в прямоугольном D равна 90°. В равнобе­дренном прямоугольном D каждый острый угол равен 45°.

Теорема: если в прямоугольном D один из острых углов равен 30", то лежащий против этого угла катет составляет половину гипотенузы.

Признаки равенства двух треугольников.

Два D равны, если у них соответственно равны:

I. — Две стороны и угол между ними.

II. — Два угла и прилежащая к ним сторона.

III. — Три стороны.

IV. — Два угла и сторона, противолежащая одному из них.

V. — Две стороны и угол, лежащий против большей из них.)

Два прямоугольных D равны в следующих четырёх случаях

(частные случаи I — V признаков):

1) Если катеты одного D соответственно равны катетам другого D

2) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного D соответ-ственно равен катету и прилежащему к нему острому углу другого D

3) Если гипотенуза и острый угол одного D соот­ветственно равны гипотенузе и острому углу другого D.

4) Если гипотенуза и катет одного D соответственно равны гипотенузе и катету другого D.

Косинусом острого угла прямоугольного D называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

Синусомострого угла прямоугольного D называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного D называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла прямоугольного D называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

Теорема Пифагора:В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, c²= a² + b²

Обратная теорема: Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Признаки равнобедренного треугольника:

· если равны углы при основании, то D равнобедренный,

· если в D биссектриса и высота, высота и медиана, медиана и биссектриса, проведенные из вершины равны, то D равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника:

· если D равнобедренный, то углы при основании равны,

· если D равнобедренный, то биссектриса и высота, высота и медиана, медиана и биссектриса, проведенные из вершины равны.

Подобие треугольников.

Если углы одного из двух данных D соответственно равны углам другого, то те их стороны, которые лежат против равных углов, называются сходственными сторонами.Два треугольника называются подобными, если их соответствен­ные углы равны и стороны одного пропорциональны сходствен­ным сторонам другого.

Признаки подобия D. Два треугольника подобны если:

1. Два угла одного D соответственно равны двум углам другого D.

2. Две стороны одного D соответственно пропорциональны двум сторонам другого D и углы, заключённые между этими сторонами равны.

3. Три стороны одного D соответственно пропорциональны трём сторонам другого D.

Теорема: В любом D против большей стороны лежит больший угол, обратно - против большего угла лежит большая сторона.

В прямоугольном D гипотенуза больше катета.

Неравенство треугольника: каждая сторона D меньше суммы двух других сторон.

Теорема косинусов: Квадрат стороны D равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. a² = b² + c² – 2bc cosa

Теорема синусов: стороны D пропорциональны синусам противолежащих углов.

Площадь треугольника:

Для вычисления площади треугольника можно воспользоваться одной из следующих формул:

1. S = (l/2)bh_b (b — основание D, h_b —соответствующая высота)

2. S = (l/2)absinC, где а и b — стороны, С — угол между ними.

3. S = рг, где р = (а + b + с)/2 полупериметр, г — радиус вписанной
окружности.

4. S = abc/4R, где а, Ь, с —стороны, R — радиус описанной
окружности.

5. (формула Герона), где а, b, с —
стороны, р — полупериметр.

Площади подобных треугольников относятся как квадраты их сходс-твенных линейных элементов: сторон, высот, медиан, биссектрис и т. д.

Четырехугольники: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма:

· Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пресечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

· Если противолежащие стороны попарно равны, то четырехугольник параллелограмм,

· Если две противолежащие стороны равны и параллельны, то четырехугольник параллелограмм,

· Если противолежащие углы равны.

Свойства параллелограмма:

· Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам,

· Противолежащие стороны равны,

· Противолежащие углы раны.

Площадь параллелограмма.

S = a × h_a (a –сторона, h_a – высота параллелограмма).

S = a × b × sin g (a, b – стороны, g- угол между ними).

S = (d₁ × d₂ ×sin j)/2 (d₁, d₂ – диагонали параллелограмма, j- угол между ними).

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника:

· Диагонали прямоугольника равны,

Площадь прямоугольника:

S = a × b (a, b –стороны прямоугольника).

S = (d² ×sin a)/2 (d – длина диагонали прямоугольника, a - угол между диагоналями).

Ромб– это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

· Диагонали ромба пересекаются под прямым углом,

· Диагонали являются биссектрисами углов.

Площадь ромба:

S = a × h_a (a –сторона, h_a – высота ромба).

S = a² × sin g (a – сторона, g- угол ромба).

S = (d₁ × d₂)/2 (d₁, d₂ – диагонали ромба).

Квадрат – это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.

Свойства квадрата:

· Диагонали равны,

· Диагонали пересекаются под прямым углом,

· Диагонали являются биссектрисами углов.

Площадь квадрата:

S = a² (a –сторона квадрата).

S = d²/2 (d– диагональ квадрата).

Трапеция - четырёхугольник, две противоположные стороны кото­рого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные сто­роны — основания, не параллельные — боковые стороны, h — высота; MN — средняя линия трапеции. Средняя линия - соединяет середины боковых сторон. Средняя линия равна полусумме оснований и параллельна им: m = (а + b)/2. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Трапеция, у которой хотя бы один угол прямой, называется прямоугольной.

Площадь трапеции:

S = l/2(a+b)h (a,b- основания, h – высота трапеции).

S=mh. (m – средняя линия, h - высота трапеции).