X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий

1.На дошці написані X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ненульових чисел. За один крок дозволяється вибрати з написаних два числа X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru і X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та записати замість них числа X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Чи можна після декількох кроків повернутися до початкового набору чисел?

Відповідь: не можна.

Розв’язання.Оскільки

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Тобто після першого кроку сума квадратів усіх записаних чисел збільшується, а далі вже не зменшується.

2.Знайдіть усі натуральні X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , для яких справджується рівність:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: таких чисел не існує.

Розв’язання.Очевидно, що права частина не кратна X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Покажемо, що ліва частина ділиться на X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

Далі просто перебором варіантів X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru переконуємось, що це число завжди кратне X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru 3.Заданий квадрат X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru зі стороною 1. На його діагоналі та стороні побудовано рівносторонні трикутники X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , як це показане на рис. 1. Знайдіть довжину відрізку X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

Розв’язання. Розглянемо трикутники X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Вони мають однакові пари сторін: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (рис. 1). Крім того X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тобто у цих трикутників рівний кут між рівними сторонами, тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідси X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru 4.На медіані X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru трикутника X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru позначили такі точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru і X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru и X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Доведіть, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

Розв’язання. На промені X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru позначимо точку X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru так, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (рис. 3). Тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Звідси X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Крім того, X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

5.Знайдіть усі трійки простих чисел X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (не обов’язково різних), які задовольняють рівність:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – довільне просте число.

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Розв’язання.Якщо два з них рівні, то очевидно, що й третє дорівнює першим двом. Таким чином вони попарно різні. Без обмеження загальності можемо вважати, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідси жодне з цих чисел не може бути рівним X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , бо з умови X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru випливає, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – парне. Розкладемо на множники ліву частину заданого рівняння: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .Дільниками правої частини є числа X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Неважко показати, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – парний та менший дільник при розкладі X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru на два множники. Єдиний варіант – це X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru звідки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тобто одне з чисел X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – парне, що неможливо.

6.Правильний трикутник зі стороною X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru розрізаний на X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru трикутників зі стороною 1. Скільки існує паралелограмів зі сторонами, що паралельні сторонам великого трикутника?

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Очевидно, що паралелограми діляться за трьома напрямами, і кожного напряму з них – рівна кількість. Тому достатньо порахувати кількість одного напряму. Домалюємо ще рядок трикутників, як це показано знизу. Тоді можна вибрати будь-які 4 точки, що розташовані на нижньому добудованому відрізку і їм буде відповідати рівно 1 паралелограм заданого напряму і навпаки (рис. 4). Таким чином є бієкція. Кількість варіантів вибрати 4 вершини на нижньому відрізку – це X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому усього шуканих паралелограмів рівно X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

7.Нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru -- деякі набори дійсних чисел з однаковою сумою. Чи завжди можна побудувати таку таблицю X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , у якої сума чисел у X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru -му рядку дорівнює X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а сума чисел у X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru -му стовпчику дорівнює X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ?

Відповідь: так, завжди.


Розв’язання. Заповнимо табличку, наприклад, таким чином, як на малюнку справа, де X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Неважко переконатись, що умови виконуються.

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ,

8.Знайдіть усі трійки послідовних натуральних чисел, для яких сума їх трьох попарних добутків дорівнює X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – деяке натуральне число.

Відповідь: таких чисел не існує.

Розв’язання. Позначимо ці послідовні натуральні числа через X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді шукана сума трьох попарних добутків дорівнює:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Легко зрозуміти, що це число ніколи не ділиться на X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а тому не може дорівнювати числу, що кратне X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

9.Знайдіть усі натуральні числа X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , які задовольняють рівність: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: таких чисел не існує

Розв’язання. Якщо X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – найменше з цих трьох чисел, то X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а тому весь вираз завжди більший від X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

10.Точка X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru лежить на відрізку X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Відомо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . На прямій X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru вкажіть усі точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , для яких X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: точка може знаходитись на відстані X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru по обидва боки від точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Розв’язання. Нехай на числовій прямій точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru мають координати X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru відповідно. Нехай координата точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru дорівнює X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Оскільки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , то приходимо до рівняння: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . З нього знаходимо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

11.У трикутнику X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru з гострим кутом при вершині X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru проведені бісектриса X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та висота X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Відомо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Знайдіть величину X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Нехай точка X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – симетрична точці X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru відносно бісектриси X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (рис. 5). Тоді точка X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru попадає на відрізок X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – вписаний, при цьому відрізки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому дуги описаного навколо X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru кола також рівні, тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому вони рівні по X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідси X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

12.Знайдіть три останні цифри числа X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання.Зрозуміло, що роль грають тільки останні три цифри числа. Тому задане число можна переписати такому вигляді:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

У першій групі 1000 чисел з однаковими останніми трьома цифрами, у другій також, і т.д., у передостанній так само. а у останній усі останні цифри X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Таким чином це число ділиться на X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а тому має останні цифри X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

13.Нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru -- деяка перестановка чисел X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , при цьому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru і X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Доведіть, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Спочатку побачимо, що для кожного X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ніколи не може бути одночасно X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , або X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Якщо припустити, наприклад, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тобто X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru елемент не перевищує X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що очевидно є суперечністю. Таким чином у кожній різниці X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru завжди є модуль різниці елемента з множини X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та множини X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тому

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

14.Доведіть, що для усіх натуральних X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru справджується рівність:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Шляхом піднесення до квадрату легко перевірити для усіх натуральних X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru має місце нерівність: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому для X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru маємо:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Покажемо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Оскільки для X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ,

то звідси випливає, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тому

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Оскільки між числами X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru не лежить жоден точний квадрат цілого числа, то твердження доведене.

15.Для довільних додатних чисел X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru розв’яжіть систему рівнянь:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Бачимо, що це рівняння лінійне відносно параметрів X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , то ми можемо їх знайти будь-яким методом. Тоді одержимо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Далі просто X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а далі знаходимо шукані невідомі: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

16.У трикутнику X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru сторони X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru задовольняють умову X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Позначимо через X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – півпериметр та через X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – площу X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Доведіть, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – прямокутний тоді і тільки тоді, коли X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Запишемо такі рівносильні перетворення:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Якщо трикутник прямокутний, то з останньої умови маємо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru і X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Якщо X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , оскільки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru при X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – спадає, то єдиним шуканим значенням є X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru 17. З точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru до кола X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru проведені дві дотичні X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – діаметр кола, точка X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – основа перпендикуляра, проведеного з точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru на діаметр X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Доведіть, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ділить навпіл відрізок X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. На прямій X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru будуємо таку точку X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru і на прямій X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru лежить середня лінія X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ділить навпіл X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (рис. 6). Тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru -- паралелограм, звідки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru також ділиться навпіл прямою X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а далі з міркувань подібності й X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru також ділиться навпіл, що й треба було довести.

18.Коефіцієнти квадратного рівняння X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru є степенями двійки. Доведіть, що якщо його корені цілі числа, то вони співпадають.

Розв’язання.З теореми Вієта значення X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – цілі числа. Тому можна скоротити на X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru і розглянути зведене квадратне рівняння X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Його коефіцієнти невід’ємні степені X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Оскільки добуток коренів – степінь X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , то кожен з них або додатна степінь X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru або X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – корінь, тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Поділимо цю рівність на найменшу степінь X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тоді одержимо рівність X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де принаймні одне з чисел X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а інші – невід’ємні степені X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Це можливо лише за умови, якщо X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Звідси X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що й треба було довести.

19.Доведіть, що існує нескінченно багато натуральних чисел вигляду X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , які мають пару дільників, різниця між якими дорівнює X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Покажемо, що існує нескінченно багато таких натуральних X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що рівняння X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru має розв’язок для деякого натурального X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Перепишемо це рівняння у такому вигляді: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Звідси

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Таким чином число X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru повинно бути повним квадратом, тоді шукане X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru буде натуральним. Побудуємо нескінченну послідовність таких значень для X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Бачимо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Нехай тепер натуральні X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru такі, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді зрозуміло, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та ці числа однієї парності. Тоді натуральне число X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru при цьому

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Зрозуміло, що число X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru -- натуральне, а тому ми починаючи з X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru будується шукана послідовність чисел.

20.Розглядаємо усі підмножини множини X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , які не містять послідовних натуральних чисел, та обчислюємо для них добуток усіх елементів. Чому дорівнює сума квадратів цих добутків? Вважаємо за означенням, що порожня множина має добуток елементів, що дорівнює 1.

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Позначимо відповідну суму квадратів добутків елементів через X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Для X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (узагальнимо на цей приклад задачу також) маємо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , бо тут тільки порожня множина існує. Для X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru маємо дві множини, для яких X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Так само не важко пересвідчитись, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Припустимо, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Доведемо це ММІ. База вже перевірена. Значення X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru одержується таким чином: беруться умі множини з попереднього кроку, що не містять елемент X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , а також усі множини з кроку X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru з додаванням елементу X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідки одержимо таку рекурентну формулу:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ,

з якої за припущенням індукції маємо шукане значення:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ,

що й треба було довести.

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru 21.Дві команди грають у хокей доки одна з команд не заб’є 10 голів. У протокол вносять записи після кожного забитого гола, наприклад, 0-0, 0-1, 0-2, 1-2, ..., 5-10. Скільки усього різних протоколів може вийти?

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Допишемо протокол до рахунку 10-10. Зрозуміло, що між такими протоколами та справжніми є бієкція, тобто їх кількість однакова. Залишається зрозуміти, що усього таких є X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

22.У опуклому чотирикутнику X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru точка X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – середина X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Доведіть, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Нехай точка X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – центрально симетрична точці X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru відносно точки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru (рис. 7). Тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тепер запишемо:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

З іншого боку, X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідки випливає, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тому X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що й треба було довести.

23.Маємо рівняння X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Знайдіть суму X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru – дійсні корені цього рівняння.

Відповідь: X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Розв’язання базується на формулі

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Якщо її узагальнити, то можна одержати таку формулу:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Залишається переконатись, що рівняння має 4 корені X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , та виконується мова X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , де X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Оскільки X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , то маємо 4 зміни знаку неперервної функції, що відповідає наявності рівно 4-х корнів.

24.Для дійсних чисел X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru доведіть нерівність:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання. Позначимо через X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тоді зі відомої нерівності X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru маємо:

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru ,

що й треба було довести.

25.Нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru - просте , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru - цілі числа такі, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Доведіть, що

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Розв’язання.Доведення: Якщо обидва числа кратні X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , то твердження очевидне. Тому надалі можемо вважати, що вони обидва взаємно прості з X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді, існує X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru Позначимо X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , тоді X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Також, подільність X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru рівносильна подільності X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , бо X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Доведемо, що існує многочлен X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru з цілими коефіцієнтами, що

X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru .

Маємо, всі коефіцієнти X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru діляться на X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , бо рівні X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тому достатньо довести, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Нехай X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru - корінь рівняння X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Тоді достатньо довести, що X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru - корінь X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru . Маємо, X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru тоді, враховуючи X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru та X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru

Таким чином, X Київський відкритий турнір математичних боїв Тур четвертий - student2.ru , звідки і випливає твердження задачі.

Наши рекомендации