Комплексне число як точка площини
Модуль к.ч.
Модулем числа називається невід’ємне число .
Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо , то .
Приклади.
1) .
2)
3) .
4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.
Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел
4.6. Додавання і віднімання к.ч.
Приклади
1. .
2. .
Обчислити самостійно
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. .
8. . 9. . 10. .
Множення к.ч.
Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що ):
Приклади.
.
Правильна тотожність Дійсно,
Спростити самостійно
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. .
6. . 7. .
4.8. Ділення к.ч.
Ділення к.ч. виконується згідно правила ( при умові ):
Приклади.
1)
2)
3) Розв’язати рівняння
Розв’язання. Відповідь: .
Перевірка:
Спростити самостійно вирази
1. 2. 3. .
Відповіді. 1. . 2. . 3. .
Комплексне число як точка площини
У вибраній прямокутній системі координат число зображається точкою (рис.1.1). Навпаки, якщо задана точка , то їй співставляється к.ч. . Таким чином, між множиною к.ч. і множиною точок площини (з заданою прямокутною системою координат) встановлюється взаємно однозначна відповідність.
Рис.1.1.
Очевидно, що дійсні числа зображуються точками на осі , а чисто уявні - на осі ; з цієї причини називають дійсною, а – уявною віссю; площину називають комплексною площиною , а к.ч. - точками цієї площини.
Приклади. Знайти множину к.ч., що задовольняють умову:
;
.
Розв’язання.
1) Нехай . Умову перепишемо в рівносильній формі:
Відповідь: множина чисел пряма
2) Якщо , то,
, отже ,
Відповідь: множина чисел - півплощина, що розміщена нижче прямої .
Побудувати на площині ХОУ к.ч., записати їх дійсну та уявну частину. Обчислити модулі к.ч.
1. . 2. . 3.
Відповіді. 1.
2. .
3. .
4.10. Коло, круг, кільце
Нехай дано числа
Рівнянню задовольняють всі числа ( і тільки вони), що розміщені на колі радіуса з центром у точці . Дійсно, якщо , то .
Очевидно, що нерівності і задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце з центром у точці .
Звернемо увагу на вироджені випадки кільця :
(1) – круг з виключеним центром ;
(2) – зовнішність круга – круг з границею;
(3) – вся площина з виключеною точкою ;
(4) при маємо пусту множину.
Рис. 1.2
Приклад. З’ясувати, чи належить точка p до круга .
Розв’язання. Порівняємо радіус з відстанню від центра круга до точки p :
.
Відповідь: точка p розміщена поза кругом .