Комплексне число як точка площини

Модуль к.ч.

Модулем числа Комплексне число як точка площини - student2.ru називається невід’ємне число Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо Комплексне число як точка площини - student2.ru , то Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Приклади.

1) Комплексне число як точка площини - student2.ru .

2) Комплексне число як точка площини - student2.ru

3) Комплексне число як точка площини - student2.ru .

4) Показати, що модулі спряжених чисел рівні.

Розв¢язання. Досить обчислити модулі спряжених чисел

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru

4.6. Додавання і віднімання к.ч.

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Приклади

1. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

2. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Обчислити самостійно

1. Комплексне число як точка площини - student2.ru 2.Комплексне число як точка площини - student2.ru

3. Комплексне число як точка площини - student2.ru 4. Комплексне число як точка площини - student2.ru

5. Комплексне число як точка площини - student2.ru 6. Комплексне число як точка площини - student2.ru

7. Комплексне число як точка площини - student2.ru 8. Комплексне число як точка площини - student2.ru

9. Комплексне число як точка площини - student2.ru 10.Комплексне число як точка площини - student2.ru

Відповіді. 1. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 2. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 3. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 4. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 5. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 6. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 7. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

8. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 9. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 10. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Множення к.ч.

Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що Комплексне число як точка площини - student2.ru ):

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Приклади.

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Правильна тотожність Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru Дійсно,

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Спростити самостійно

1. Комплексне число як точка площини - student2.ru 2.Комплексне число як точка площини - student2.ru

3. Комплексне число як точка площини - student2.ru 4. Комплексне число як точка площини - student2.ru

5. Комплексне число як точка площини - student2.ru 6. Комплексне число як точка площини - student2.ru

7. Комплексне число як точка площини - student2.ru

Відповіді. 1. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 2. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 3. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 4. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 5. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

6. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 7. Комплексне число як точка площини - student2.ru . Комплексне число як точка площини - student2.ru

4.8. Ділення к.ч.

Ділення к.ч. виконується згідно правила ( при умові Комплексне число як точка площини - student2.ru ):

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Приклади.

1) Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru

2) Комплексне число як точка площини - student2.ru

3) Розв’язати рівняння Комплексне число як точка площини - student2.ru

Розв’язання. Комплексне число як точка площини - student2.ru Відповідь: Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Перевірка: Комплексне число як точка площини - student2.ru

Спростити самостійно вирази

1.Комплексне число як точка площини - student2.ru 2. Комплексне число як точка площини - student2.ru 3. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Відповіді. 1. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 2. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 3. Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Комплексне число як точка площини

У вибраній прямокутній системі координат число Комплексне число як точка площини - student2.ru зображається точкою Комплексне число як точка площини - student2.ru (рис.1.1). Навпаки, якщо задана точка Комплексне число як точка площини - student2.ru , то їй співставляється к.ч. Комплексне число як точка площини - student2.ru . Таким чином, між множиною к.ч. і множиною точок площини (з заданою прямокутною системою координат) встановлюється взаємно однозначна відповідність.

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Рис.1.1.

Очевидно, що дійсні числа зображуються точками на осі Комплексне число як точка площини - student2.ru , а чисто уявні - на осі Комплексне число як точка площини - student2.ru ; з цієї причини Комплексне число як точка площини - student2.ru називають дійсною, а Комплексне число як точка площини - student2.ru – уявною віссю; площину Комплексне число як точка площини - student2.ru називають комплексною площиною , а к.ч. - точками цієї площини.

Приклади. Знайти множину к.ч., що задовольняють умову:

Комплексне число як точка площини - student2.ru ;

Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Розв’язання.

1) Нехай Комплексне число як точка площини - student2.ru . Умову перепишемо в рівносильній формі: Комплексне число як точка площини - student2.ru

Відповідь: множина чисел Комплексне число як точка площини - student2.ru пряма Комплексне число як точка площини - student2.ru

2) Якщо Комплексне число як точка площини - student2.ru , то, Комплексне число як точка площини - student2.ru

Комплексне число як точка площини - student2.ru , отже , Комплексне число як точка площини - student2.ru

Відповідь: множина чисел Комплексне число як точка площини - student2.ru - півплощина, що розміщена нижче прямої Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Побудувати на площині ХОУ к.ч., записати їх дійсну та уявну частину. Обчислити модулі к.ч.

1. Комплексне число як точка площини - student2.ru . 2.Комплексне число як точка площини - student2.ru . 3.Комплексне число як точка площини - student2.ru

Відповіді. 1. Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru

2. Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru .

3. Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru .

4.10. Коло, круг, кільце

Нехай дано числа Комплексне число як точка площини - student2.ru

Рівнянню Комплексне число як точка площини - student2.ru задовольняють всі числа ( і тільки вони), що розміщені на колі радіуса Комплексне число як точка площини - student2.ru з центром у точці Комплексне число як точка площини - student2.ru . Дійсно, якщо Комплексне число як точка площини - student2.ru , то Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Очевидно, що нерівності Комплексне число як точка площини - student2.ru і Комплексне число як точка площини - student2.ru задають відповідно круг і кільце. На рис. 1.2 зображено кільце Комплексне число як точка площини - student2.ru з центром у точці Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Звернемо увагу на вироджені випадки кільця Комплексне число як точка площини - student2.ru :

(1) Комплексне число як точка площини - student2.ru – круг з виключеним центром Комплексне число як точка площини - student2.ru ;

(2) Комплексне число як точка площини - student2.ru – зовнішність круга Комплексне число як точка площини - student2.ru – круг з границею;

(3) Комплексне число як точка площини - student2.ru – вся площина з виключеною точкою Комплексне число як точка площини - student2.ru ;

(4) при Комплексне число як точка площини - student2.ru маємо пусту множину.

Комплексне число як точка площини - student2.ru

Рис. 1.2

Приклад. З’ясувати, чи належить точка Комплексне число як точка площини - student2.ru p до круга Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Розв’язання. Порівняємо радіус Комплексне число як точка площини - student2.ru з відстанню Комплексне число як точка площини - student2.ru від центра круга Комплексне число як точка площини - student2.ru до точки Комплексне число як точка площини - student2.ru p :

Комплексне число як точка площини - student2.ru .

Відповідь: точка Комплексне число як точка площини - student2.ru p розміщена поза кругом .

Наши рекомендации