Волновое уравнение; границы его применимости

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по координатам и времени от функции , описывающей плоскую волну. Продифференцировав дважды по каждой из переменных, получим:

Сложим вместе уравнения:

Сопоставляя уравнения находим, что:

Наконец, учитывая, что согласно получаем окончательно:

(80.4)

Уравнение и есть искомое волновое уравнение.

Волновому уравнению удовлетворяет любая функция вида

Обозначая выражение, стоящее в скобках в правой части , через ξ, имеем:

Аналогично

Подстановкой выражений в уравнение легко убедиться в том, что функция удовлетворяет волновому уравнению, если положить

Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (80.4), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при дает фазовую скорость этой волны. В зависимости от дополнительных условий, которые накладываются на решение уравнения (80.4), получается та либо иная волна.