Алгебраїчний матеріал в курсі математики 3-го класу.

Програмою з математики передбачається ,що учні початкової школи повинні отримати початкові уявлення про математичні вирази, числові рівності та нерівності, познайомитися з буквеною символікою, із змінною, навчитися розв’язувати нескладні рівняння та нерівності, набути вмінь розв’язувати деякі прості та складені задачі за допомогою рівнянь.

Мета вивчення алгебраїчного матеріалу полягає в більш глибокому розкритті арифметичних понять, в доведенні узагальнень учнів до високого рівня, а також у підготовці до подальшого засвоєння курсу алгебри.

Таким чином ,вивчення елементів алгебри в початковому навчанні математиці тісно пов’язано з вивченням арифметичного матеріалу. Це виявляється, наприклад, у тому що рівняння і нерівності розв’язуються без застосування алгебраїчного апарату (теорем про рівносильність рівнянь), а використовуючи властивості арифметичних дій, на підставі взаємозв’язку між компонентами та результатами арифметичних дій.

Основними алгебраїчними поняттями є “рівність”, ”нерівність”, ”вираз”, ”рівняння”. Означень цих понять в курсі математики початкової школи не дається. Учні засвоюють їх на рівні уявлень в процесі виконання спеціальних вправ.

		Зміст алгебраїчного матеріалу

Математичні вирази: числові .

Основними задачами при вивченні математичних виразів є:

- навчити читати та записувати математичні вирази;

- навчити знаходити значення математичних виразів;

- навчити виконувати тотожні перетворення;

- навчити порівнювати математичні вирази;

- навчити складати вираз за текстом будь-якої простої або складеної задачі.

Математичний вираз – це запис, який складається із чисел та букв, які з’єднані знаками арифметичних дій та дужками. Наприклад :

3*2+24:6 а + 5*12 в:( 11-6 )

Якщо запис складається лише тільки із чисел, які з’єднані знаками арифметичній дій та дужками – це числовий вираз.

В 3-му класі учні уперше зустрічаються з математичними виразами, які містять три арифметичні дії. Наприклад:

32 – 24 + 64 : 8

8 * 9 – ( 42 – 7 )

56 : 8 + 64 : 8

24 – 18 : 3 + 7

8 * 2 – 6 : 2,

між тим, як у другому класі вивчалися вирази, які містили не більше двох арифметичних дій.

Знаходження значень математичних виразів.

В 2-му класі учня познайомилися з математичними виразами, які містили дві арифметичні дії різних ступенів , а також виразами, в яких числа поєднані знаками арифметичних дій множення та ділення; знаходили значення виразів з дужками. Але правила порядку дій не були введені.

З правилами порядку виконання дій у виразах учні знайомляться в 3-му класі. Звичайно це відбувалося під час вивчення теми „Таблиці множення та ділення”.

1. Якщо у виразі без дужок є тільки додавання та віднімання, тоді їх виконують в тому порядку ,в якому вони записані: 40-12+8=36 57-9-20=28

2. Якщо у виразі без дужок є тільки множення та ділення, тоді їх виконують в тому порядку, в якому вони записані: 24:4:3=2 12:3*2=8 2*2*7=28

3. Якщо у виразі немає дужок, тоді спочатку виконують по порядку множення та ділення, а потім додавання та віднімання: 24-8:4=22 4*3+2*6=24 20+4*7=48

4. Якщо у виразі є дужки ,тоді спочатку виконують дії в дужках: 35-(41-24) 36 :(13-9)

Вчитель звертає увагу учнів на важливість притримування цих правил при обчисленнях, інакше можна одержати невірну відповідь: 20 – 15:5,

- за правилами порядку дії ,отримаємо: 1)15:5=3, 2)20-3=17,тому 20-15:5=17;

- якщо не притримуватися правил: 1)20-15=5, 2)5:5=1, 20-15:5=1 – невірно.

Для закріплення правил порядку дій учням пропонуються завдання :

1. Розв’язок прикладів з поясненням порядку дій.

1. Пояснення помилок у порядку виконання дій (завдання на критику помилок).

1. Використовуючи дужки змінити порядок дій:

5+4*3 ( (5+4)*3 )

1. Вправи на прикладання всіх правил порядку дій.

1. Знайти значення виразів, у яких остання дія віднімання ( додавання й тощо):

8 – 8 : 2 32 + ( 17 – 8 ) 64 : 8 – 8

( 70 – 7 ) : 7 32 – ( 17 + 8 ) ( 64 – 8 ) : 8

1. В кожному виразі поставити дужки так, щоб його значення збільшилося:

1 + 8 * 4 24 – 18 : 2 + 7 24 : 8 – 2

32 : 8 – 4 42 – 24 : 3 + 3 7 * 3 + 6

При розв’язанні цього завдання учні повинні міркувати так:

1) Яка остання арифметична дія в даному виразі? (1 + 8 * 4 – остання дія додавання.)

2) Яка арифметична дія повинна бути останньою, якщо змінити за допомогою дужок порядок дій? ( 1 + 8 * 4 – остання дія повинна бути множенням.)

3) Як повинен змінитися один з компонентів, щоб значення збільшилося? ( Добуток збільшується, якщо один з доданків збільшується.)

4) Як за допомогою дужок змінити цей компонент? ( Можна збільшити перший множник, якщо взяти у дужки суму 1 та 8. (1 + 8 ) * 4.)

Так можна міркувати при розв’язанні 1-го та 3-го стовпчиків завдань:

(1 + 8) * 4 24 : (8 – 2)

32 : (8 – 4) 7 * (3 + 6)

Міркування при виконанні завдань 2-го стовпчика можуть бути такими:

1) Яка арифметична дія остання в даному виразі? (18 : 2 + 7– остання дія додавання.)

2) Які дії можуть бути останніми при змінені порядку дій? ( Або віднімання, або ділення.)

3) При якій арифметичній дії з двох визначених, отримуємо більший результат? ( При відніманні отримуємо більший результат, ніж при діленні.)

4) Отже, яка дія повинна бути останньою? ( Віднімання.)

5) Як треба змінити один з компонентів дії, щоб результат збільшився? ( Щоб різниця збільшилася, треба щоб або зменшуване збільшилося, або від’ємник зменшився.)

6) Який компонент можна змінити? ( Можна змінити від’ємник. Від’ємник повинен зменшитися.)

7) Як можна цього досягти? ( Щоб від’ємник 18 : 2 + 7 зменшився, треба щоб останньою дією було ділення і щоб значення частки було меншим. Значення частки буде меншим, якщо дільник збільшиться. Маємо: 18 : (2 + 7). )

8) Запиши відповідь. (24 – 18 : (2 + 7) )

1. Замість точок поставити такі знаки арифметичних дій, щоб отримати вірні рівності:

3...6...2= 9 25...5...4...2 = 22

9...3...9 = 36 9...3...6...2 = 6

При розв’язанні прикладів першого стовпчика треба:

1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку ( частки, суми або різниці). (3...6...2= 9 , 9 = 3 * 3.)

2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? ( Так, е перший множник 3.)

3) Подумай, за допомогою якої арифметичної дії , яку треба виконати між двома іншими числами, щоб отримати інший компонент дії? ( Треба 6 : 2 = 3.)

4) Запиши відповідь. (3 * (6:2 )= 9 або 3 * 6 : 2 = 9)

Аналогічними міркуваннями дістаємо відповідь на друге завдання першого стовпчика:

1) 36 = 9 * 4 = 9 * 3 + 9

2) Є множник 9.

3) За допомогою чисел 3 та 9 або 9 та 3 не можна отримати другий множник 4. Тому користуємося поданням числа 36 у вигляді суми: 9 * 3 + 9.)

Бачимо перший доданок можна отримати, якщо 9 помножити на 3, а другий доданок – це число 9.

4) 9 * 3 + 9 = 36

Розглянемо міркування при розв’язанні прикладів другого стовпчика:

1) Число, яке записано після знаку „=” подати у вигляді добутку ( частки, суми або різниці). (25...5...4...2 = 22, 22 = 20 + 2.)

2) Чи є серед чисел, що записані ліворуч від знака „=” один з компонентів? ( так, є другий доданок 2.)

3) Подумай, як отримати інший компонент дії? ( 25 ... 5...4 = 20. 25 : 5 * 4 = 20)

4) 25 : 5 * 4 + 2 = 22

Аналогічно: 9...3...6...2 = 6

1) 6 = 3 * 2 , 6 = 3 + 3

2) Є множник 2.

3) Треба з чисел 9 ... 3 ... 6 = 3 – немає можливостей. Тому розглянемо суму: 6 = 3 + 3. Як отримати з чисел 9... 3 число 3 ? Дією ділення. Як отримати з чисел 6 та 2 число 3? Дією ділення.

4) 9 : 3 + 6 : 2 = 6.

1. Розставити дужки так, щоб рівності були вірними:

12 : 2 + 2 * 2 = 6 32 : 8 – 2 * 2 = 4 72-24:6+2=66 (72-(24:6+2)=66)

12 : 2 + 2 * 2 = 2 32 : 8 – 2 * 2 = 8

Розглянемо першу рівність:

1) Число 6 можна подати у вигляді : 6 = 3 * 2, 6 = 4 + 2.

2) У вигляді суми подавати число 6 не можна, тому що 12 : 2 не дорівнює 4. Отже будемо виходити з добутку: 6 = 3 * 2. Другий множник, число 2 ми маємо.

3) Подумаємо, як дістати перший множник 3? 12 : 2 + 2 – треба розставити дужки так, щоб отримати число 3: 12 : ( 2 + 2 ).

4) 12 : ( 2 + 2 ) * 2 = 6.

Аналогічно міркуємо при розв’язанні другого завдання:

1) 2 = 1 * 2 ( Ми не дістанемо 1 – 12 : 2 + 2.) 2 = 12 : 6

2) Є ділене 12.

3) Треба подумати, як з решти чисел і знаків дій отримати число 6: 2 + 2 * 2 = 6.

4) 12 : ( 2 + 2 * 2 ) = 2

Аналогічно:

32 : 8 – 2 * 2 = 4 (32 : 8 – 2) * 2 = 4

32 : 8 – 2 * 2 = 8 32 : ( 8 – 2 * 2 ) = 8

72-24:6+2=66 72-(24:6+2)=66

Порівняння числових виразів.

Вирази порівнюються декількома способами:

1. Знаходимо значення кожного виразу і порівнюємо отримані числа. Більше той вираз, значення якого більше. І навпаки.

2. Порівнюємо вирази, аналізуючи їх: 3+5 …3+4 - обидва вирази – суми; в обох сумах однакові перші доданки, значить більший той вираз у якого другий доданок більший: 5 більш ніж 4,тому 3+5 більше 3+4.

3. Перетворення виразу й порівняння виразів 2-им способом: 3*2 + 3 … 3*4

В 3-му класі учням пропонується порівняти вирази і число, при чому вирази містять кілька арифметичних дій. Наприклад:

56 : 7 – 7 ... 5

Зрозуміло, що порівняння даного виразу і числа відбувається першим способом: обчислюється значення виразу: 56 : 7 – 7 = 1. Порівнюється отри мане число з даним: 1 < 5. Робимо висновок: 56 : 7 – 7 < 5

Цікавим є завдання: підібрати такі числа, щоб нерівності були вірними:

5 * 8 > 5 * … 4 * 7 < … * 8

При розв’язанні цього завдання треба застосувати другий спосіб порівняння виразів:

5 * 8 > 5 * …

1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? ( Обидва вирази добутки.)

2) Порівняйте компоненти цих виразів? ( В них однакові перші множники. В них повинні бути різними другі множники , тому що значення першого виразу більше.)

3) Як треба змінити один з компонентів, щоб значення виразу зменшилося ( збільшилося)? ( Щоб добуток зменшився, треба щоб і другий множник зменшився. Отже другим множником буде число, яке менше за 8 – це 7 або 6 або 5 або 4 або 3 або 2 або 1 або 0.

4 * 7 < … * 8

1) Порівняйте вирази, записані зліва та справа. Що в них спільного? ( Обидва вирази добутки.)

2) Порівняйте компоненти цих виразів? ( В них різні другі множники . При чому більше число містить вираз, значення якого більше. Тому якщо ці вирази містимуть однакові перші множники, то значення другого виразу буде все одно більшим! Отже : 4 * 7 < 4 * 8)

Тотожні перетворення виразів

Тотожні перетворення виразів – це заміна даного виразу іншим, значення котрого рівно значенню даного (зазначимо, що це означення вірно лише для чисел, які вивчаються в курсі початкової школи).

Тотожні перетворення в 3-му класі здійснюються на підставі властивостей арифметичних дій та їх наслідків:

1) переставної властивості множення та додавання;

2) сполучної властивості додавання та множення;

3) правил:

- віднімання суми від числа, числа від суми;

- множення числа на суму, суми на число;

	а * ( в + с) = а * в + а * с		( а + в ) * с = а * с + в * с

- ділення суми на число; ділення числа на добуток й тощо.

	( а + в ) : с = а : с + в : с

Вивчаючи властивості арифметичних дій діти впевнюються, що в деяких виразах можна виконувати дії по-різному, але значення їх при цьому не змінюється. Далі знання цих властивостей арифметичних дій учні застосовують для перетворення виразів у тотожні.

52 : 4 = ( 40 + 12 ) : 4 = 40 : 4 + 12 : 4 = 10 + 3 = 13

Важливо, щоб учні не тільки пояснювали на підставі чого вони отримають наступний вираз, але й розуміли, що всі ці вирази поєднує знак “=” тому ,що вони мають однакові значення.

Учні 3-го класу також виконують тотожні перетворення не тільки на підставі властивостей арифметичних дій, але й на підставі їх конкретного змісту дії множення:

3*4 = 3+3+3+3

В 3-му класі учні роблять висновок: якщо у виразі з дужками, дужки не впливають на порядок дій, тоді їх можна не ставити:

18+(8:2) = 18+8:2

Цей висновок роблять при розв’язанні задач за допомогою складання виразу та знаходження значення виразу по діях з поясненням.

Буквені вирази.

Якщо вираз складається також ще й з букв – це буквений вираз.

У процесі виконання завдань на знаходження значень виразів із змінною формується розуміння змінної як букви у виразі ,що може набувати деякої множини значень. В учнів має створитися чітке уявлення про те, що у виразу із змінною – буквою не має певного значення, воно залежить від того яке значення приймає буква.

В 3-му класі продовжується робота над виразами з однією змінною , а також вводяться вирази, які містять дві букви.

Спочатку учні знайомляться з буквеними виразами, які утримують дві однакові букви ,та вчаться знаходити їх числове значення при заданому значенні букви :

1. а + ( а +25 ) ,якщо а=12

2. Обчислити значення виразу ,якщо а=8: а+6*а

Обчислити значення цього виразу можливо декількома способами:

1 спосіб: підставити значення букви та обчислити значення виразу: а + 6*а ,якщо а=8,отримаємо

8 + 6*8 = 8 + 48 = 56

Цей спосіб передбачено підручником. Тому що, даний приклад пропонується після складання таблиці множення числа 6.Але в подальшому навчанні можна використовувати ще й інший спосіб обчислення значення буквеного виразу:

2 спосіб: виконати тотожні перетворення виразу:

1) переставимо місцями доданки: 6*а +а

2) переставимо місцями множники: а*6 + а

3) використаємо конкретний зміст дії множення: а * 7

4) підставимо значення букви та обчислимо значення виразу: 8*7=56.

Зазначимо ,що цей спосіб можна запропонувати дітям під час вивчення таблиці множення числа 8.Тобто можна ще раз повернутися до вже розв’язаного прикладу й показати інший засіб розв’язання.

3.Знайти значення виразу: а + а + а + а = а *4, якщо а=7

Тобто тут учні уперше зустрічаються з тим, що буква може бути однаковим доданком, суму однакових доданків можна замінити добутком. Таким чином виконано тотожнє перетворення буквеного виразу, а потім пропонується знайти значення отриманого буквеного виразу. Це означає, що у подальших прикладах на знаходження значень буквених виразів якщо можливо виконувати спочатку тотожні перетворення, які спрощують вираз, а тільки потім знаходити числове значення буквеного виразу при заданому значенні букви.

Далі пропонуються завдання на знаходження значення буквеного виразу, який містить дві різні букви.

При вивченні множення та ділення у межах 1000 букви широко застосовують для узагальнення правил множення та ділення з 1 та 0: пропонується знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви ,використовуючи попередні правила, тобто виконуючи тотожні перетворення буквених виразів:

1 * а ,якщо а=8 отримаємо 1 * а = а = 8

Взагалі, в 3-му класі новим є використання різних букв латинського алфавіту для позначення змінної; розгляд виразів , у яких змінна повторюється та виразів із двома буквами.

Також учні знайомляться з задачами, які містять буквене дане , та вчаться складати буквений вираз до задачі. У початкових класах вміння розв’язувати ці задачі не входить в обов’язковий мінімум, тому в контрольні роботи вони не включаються. У підручниках задачі з буквеними даними за математичним змістом для учнів не нові. Такі задачі вони вже розв’язували, але з числовими даними. Однією з особливостей в оформленні розв’язку задач з буквеними даними є те, що короткий запис варто поєднувати з розв’язанням задачі.

Наприклад: Від першої корови доярка надоїла а л молока, а від другої – на 3 л більше. Скільки літрів молока доярка надоїла від обох корів?

2.Прочитайте задачу та уявіть про що в ній говориться. Про що говориться в задачі?

3. Запишімо задачу коротко. Які ключові слова можна виділити?

1 корова – а л ? – це звичайний короткий запис.

2 корова - ?,на 3 л більше

4.За коротким записом (або текстом задачі) поясніть числа задачі. Яке запитання?

5.Скільки літрів молока надоїли від 1-ї корови? 1 корова - а л

6.Скільки літрів молока надоїли від 2-ї корови? 2 корова - (а + 3) л

(Ми не знаємо скільки літрів молока дала 2-га корова, але ми знаємо, що на 3 літри більше ніж 1-ша корова, на 3 л більше – це означає стільки ж скільки 1-ша корова а л, та ще 3 л, тому 2-га корова дала ( а + 3) л молока.

7.Яке запитання задачі? Що потрібно знати, щоб відповісти на запитання задачі? Якою дією відповімо на запитання задачі?

.. а + (а + 3) л надоїла доярка від двох корів.

Роботу над задачами, які містять буквене дане можна проводити і за звичайним порядком – за пам’яткою № 3:

Задача. З одного рядка зібрали 6 гарбузів , а з другого а гарбузів. Усі гарбузи розклали в 2 ящики, порівну у кожний. Скільки гарбузів клали в один ящик?

- Що треба знати, щоб відповісти на запитання задачі? ( Треба знати два числові значення: 1 – скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків, не відомо, та П – скільки було ящиків, відомо, 2.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання задачі? ( Дією ділення, тому що розклали порівну.)

- Чи можна відразу відповісти на запитання задачі? ( Ні, ми не знаємо, скільки всього гарбузів зібрали з двох рядків.)

- Що треба знати, щоб про це дізнатися? ( Треба знати два числові значення: 1 – скільки зібрали з 1 –го рядка, відомо, 6, та П – скільки зібрали з другого, відомо, а.)

- Якою арифметичною дією відповімо на запитання? ( Дією додавання.)

- Чи можна відразу відповісти на це запитання? ( Так, відомі обидва числові значення.) Ми від запитання задачі перейшли до числових даних. Аналіз закінчено.

?

? : 2

6 + а

- Запишіть розв’язання задачі ви разом.

( 6 + а ) : 2

	Якщо умова задачі містить буквене дане, то відповідь записують у вигляді виразу.

Відповідь: ( 6 + а ) : 2 л.

Рівняння.

В 3-му класі вводяться поняття: «рівняння», «розв'язати рівняння»; діти вчаться розв'язувати найпростіші рівняння на знаходження невідомого компонента дій додавання і віднімання, множення і ділення двома способами: підбором та на основі взаємозв'язку між результатом і компонентами цієї дії; вчаться доводити, що дане число є розв’язком рівняння.

Ознайомлення з поняттям «Рівняння».

- Знайдіть значення буквеного виразу при х = 4: х + 2.

(Учні вирішують це завдання усно, а вчитель оформляє рішення на дошці)

Рішення.

При х = 4, х + 2 = 4 + 2 = 6

- А тепер змінимо завдання: при якому значенні букви х, буквений вираз має значення 6?

- Виходячи з попереднього завдання, багато хто з вас уже відповіли на це питання. Але нас цікавить, насамперед, як варто міркувати при рішенні цього завдання?

- Звичайно, можна підбирати числа і підставляти замість ікса у вираз і потім знаходити його значення; а потім порівняти отримане число з числом 10. Якщо одержимо вірну рівність, то це шукане значення букви, тобто – рішення завдання.

- Однак, такі міркування дуже довгі. Як відразу одержати рішення?

- Запишемо:

.х + 2 = 6

- Що ми записали?

- Чим відрізняється ця рівність від числових рівностей?

- Чим відрізняється цей запис від буквеного виразу?

- Що в них спільного?

- Отже, рівність, що містить букву – змінну, називається рівнянням.

- Розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви – змінної, при якому рівність буде вірною.

- При розв’язанні рівняння будемо міркувати так:

Прочитайте рівність.

Що невідомо?

Як знайти невідомий доданок?

Виконайте дії.( х = 6 – 2 , х = 4.)

- Перевіримо, чи буде рівність вірною при х=4. Для цього в буквений вираз замість букви підставляємо знайдене числове значення букви ікс: 4 + 2; значення цього вирази повинне дорівнювати числу 6: 4 + 2 = 6 . Обчислюємо значення буквеного виразу при х = 4: 4 + 2 = 6 – значення буквеного виразу при х = 4. Порівняємо знайдене значення з числом, що стоїть праворуч від знака рівності: 6 = 6 – одержали вірну рівність.

- Робимо висновок: число 4 є розв’язком даного рівняння, тому що при підстановці даного значення букви, ми одержуємо вірну рівність.

- Отже, ми розв’язали рівняння.

- Розв’язок рівняння треба оформляти так: х + 2 = 6

х = 6 - 2

х = 4……

4 + 2 = 6

6 = 6

Відповідь: 4.

- Поясніть, чому число 4 є розв’язком рівняння.

- Чим відрізняється це завдання від попереднього? (У попередньому завданні потрібно було знайти значення виразу при даному значенні букви, а в даному – ми знаходили значення букви при даному значенні виразу.)

- Скільки може мати розв’язків буквений вираз? (Багато , для кожного значення букви.) Скільки розв’язків може мати рівняння? (Тільки одне, тому що тільки при єдиному значенні букви , рівність буде вірним.)

- Таким чином, розв'язати рівняння – це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірним.

- Отже, рівняння – це рівність з буквою – змінною. Розв'язати рівняння це значить знайти числове значення букви, при якому рівність буде вірною.

- Поняття „рівняння” має дві істотні ознаки:

1) це рівність;

2) містить змінну.

- Наведіть приклади числових виразів. Як знайти їхнє значення.

- Наведіть приклади числових рівностей. Що можна про них сказати? Вони вірні чи невірні?

- Наведіть приклади буквених виразів. Що потрібно задати, щоб обчислити їхнє значення? Як обчислити значення буквених виразів.

- Наведіть приклади рівностей, що містять букву. Як вони називаються?

- Що значить розв'язати рівняння?

Перші рівняння з якими знайомляться діти носять назву найпростіших. До найпростіших рівнянь відносяться рівняння на знаходження невідомих доданка ,зменшуваного, від’ємника, множника, діленого та дільника ,наприклад :

. х – 7 = 3 6 – х = 4 х * 3 = 15 х : 3 = 6 18 : х = 9

х = 3+7 х = 6-4 х = 15:3 х = 6*3 х = 18:9

х = 10 х = 2 х = 5…..х = 18 х = 2

10 – 7= 3 6 – 2 = 4 5 * 3 = 15 18 : 3= 6 18 : 2 = 9

3= 3 4 = 4 15= 15 6= 6 9 = 9

Відповідь:10. Відповідь:2. Відповідь:5. Відповідь:18. Відповідь: 2.

Всі ці рівняння розв’язуються способомна підставі зв’язку між результатами та компонентами дій за допомогою пам’ятки:

	Пам’ятка Розв’язання рівнянь 1. Читаю рівняння. 2. Визначаю, що невідомо. 3. Згадую, як знайти невідомий компонент. 4. Виконую дії. 5. Роблю перевірку: підставляю знайдене значення замість букви, визначаю чи буде при цьому рівність вірним. 6. Роблю висновок про рішення даного рівняння. 7. Записую відповідь.

Але деякі рівняння пропонується учням розв’язати й способом підбору: почергово підставляються у рівняння замість змінної запропоновані значення; значення, при якому отримаємо вірну числову рівність і є розв’язанням рівняння.

Додатково можна познайомити учнів з способом розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності. Розглянемо кілька прикладів.

1) х – 7 = 3 х – 7 = 10 – 3 х = 10 Відповідь: 10.

1. Лівій частині записана різниця з від’ємником 7.

2. Подамо праву частину у вигляді різниці з від’ємником 7. (З якого числа треба відняти 7, щоб отримати 3? Це 10.)

3.Порівняємо дві різниці:

- Чим вони схожі? ( В них однакові від’ємними.);

- Чим вони відрізняються? ( Зменшуваними.);

- Зроби узагальнюючий висновок. ( Дві різниці з однаковими від’ємниками рівні тоді і тільки тоді, коли й зменшувані рівні.)

4. Запиши відповідь.

На підставі розв’язання аналогічних завдань і їх аналізу учні узагальнюють спосіб розв’язування рівнянь на підставі властивостей рівності:

- Коли його можна застосовувати цей спосіб? ( Якщо і праворуч і ліворуч записані однакові математичні вирази, які містять однаковий компонент.)

- В чому він полягає? ( Треба порівняти математичні вирази: якщо між однаковими математичними виразами, які містять спільний компонент , стоїть знак рівності, то й другий компонент в них так само, однаковий.)

Розглянемо ще один приклад рівняння, яке так само можна розв’язати зазначеним способом: 40 + х = 44

-

2) 40 + х = 44 40 + х = 40+4 х= 4 Відповідь: 4.

Прочитайте ліву частину рівняння.

- Прочитайте праву частину рівняння.

- Що записано в лівій частині? ( Сума чисел 40 та х).

- Що записано в лівій частині? ( Число 44).

- Для того, щоб розв’язати це рівняння способом на підставі властивостей рівності, що потрібно бути в правій частині? ( Потрібно, щоб справа була сума.)

- Чи будь-яка сума нас задовольнить? ( Ні потрібно, щоб була сума, що міститиме доданок – 40.)

- Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. Замініть число 44 такою сумою. ( 44 = 40 + 4.)

- Таким чином, отримаємо рівняння: 40 + х = 40 + 4.

- Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. ( Справа та зліва записані суми, які містять спільний доданок – число 40; між цими сумами стоїть знак рівності, тому інший доданок також однаковий. Отже х = 4.)

- Запиши відповідь.

Узагальнюємо міркування і формулюємо пам’ятку:

		Пам’ятка Розв’язування рівнянь Спосіб на підставі властивостей рівності. 1. Що записано в лівій частині? 2. Що записано в правій частині? 3. Заміни праву частину таким самим виразом з даним числовим компонентом. 4. Порівняй вирази, записані ліворуч та праворуч. Зроби узагальнюючий висновок. 5. Запиши відповідь.
	3) 6 – а = 4 6 – а = 6 - 2 а= 2 Відповідь: 2.		4) в * 3 = 15 в * 3 = 5 * 3 в= 5 Відповідь: 5.		5) к : 3 = 6 к : 3 = 18 : 3 кв= 18 Відповідь: 18.		5) 18 : р = 9 18 : р= 18 : 2 р = 2 Відповідь: 2.

Отже, в 3-му класі рівняння розв’язуються трьома способами:

1. Способом підбору:

знайдіть серед чисел те, при якому рівність буде вірною: 6,9,11 а – 2 = 7

2.Спосібом на підставі взаємозв’язку між результатом та компонентами арифметичних дій.

3. Способом на підставі властивостей рівності.

Наприклад:

Розв’язування задач способом складання рівняння.

Мета: формувати уміння розв'язувати найпростіші рівняння. Познайомити учнів з розв’язанням простих задач на знаходження невідомого доданка, зменшуваного і від’ємного , способом складання рівнянь навчити складати рівняння по тексту простої задачі.

Задача.Невідоме число збільшили на 12 і отримали 36. Знайди невідоме число.” За цією умовою склади рівняння і розв’яжи його.

- Про що йде мова в задачі? (В задачі говориться про невідоме число, яке збільшили на 12 й отримали 36)

- Що означає ,що число збільшили на 12? (Це означає ,що до цього числа додали 12)

- Скільки отримали в результаті додавання? (36)

- Що є шуканим в задачі? (Шуканим є число, яке невідоме.)

- Позначимо невідоме число буквою, наприклад х. Нагадайте ,що відбулося з цим числом? (До числа х додали 12 і отримали 36.)

- Запишіть рівність. ( х + 12 = 36)

- Що ми отримали? (Рівняння.) Розв’яжемо рівняння і дізнаємося про шукане число.

- Прочитайте рівняння. Що невідомо? (Невідомий перший доданок.)

- Як знайти перший доданок? (Щоб знайти перший доданок, треба від суми відняти другий доданок.)

- Виконайте дії. ( х = 36 – 12

х = 24)

- Зробіть перевірку. ( до 24 додати 12 повинно бути 36: 24+12 = 36; додаємо до 24 число 12, буде 36, таким чином отримали вірну рівність : 36=36 , тому х = 24 , є розв’язком рівняння, а значить і шуканим числом.)

- Запишіть відповідь.(Відповідь: 24 – невідоме число.)

- Як можна було по-іншому розв'язати цю задачу? Іншим способом? (Можна було міркувати так: два числа в сумі складають 36, причому друге число – 12; потрібно знайти перше число. Отже сума - 36 складається з двох доданків, другий з яких 12. Невідомо перший доданок. Для того, щоб відповісти на запитання задачі досить знати два числових значення: 1 – суму, відомо – 36, і П – другий доданок , відомо – 12. Відповімо на запитання дією віднімання, тому що, якщо із суми двох чисел відняти один доданок, то залишиться другий доданок. Розв’язання . 36 – 12 = 24. Відповідь: 24 – невідоме число.)

- Чим відрізняється цей спосіб розв’язання від попереднього? ( Тут ми розв’язували задачу виконанням арифметичної дії – віднімання між двома даними числами. А в попередньої – ми складали і розв’язували рівняння.)

-

Пам'ятка Розв’язування задач способом складання рівняння 1. Прочитай задачу і уяви те, про що в ній говориться. 2. Поясни, що позначають числа задачі. 3. Поясни ,що є шуканим - невідомим у задачі. 4. Познач невідоме буквою, наприклад – х. 5. Виділи зв'язки невідомого з іншими числовими даними задачі. Склади рівняння. 6. Розв’яжи рівняння і зроби перевірку. 7. Дай відповідь на питання задачі.

Таким чином, задачі можна розв'язувати не тільки виконанням арифметичних дій, але і способом складання рівнянь. Міркувати при цьому потрібно так:

Нерівності із змінною.

Ознайомлення з нерівностями із змінною відбувається в 3-му класі .

Під час введення поняття про нерівності із змінною пропонується бесіда:

- Як називаються записи: 37 – 29 , 14 : 2 + 4 ? ( Це вирази.)

- Як називаються записи: а + 25 , 12 : в + 7? ( Це буквені вирази, вираз із змінною.)

- Чим відрізняється перша група виразів від другої? ( Перша група виразів – це числові вирази – вони містять лише числа, які з’єднані знаками арифметичних дій; а друга група – це вирази із змінною – вони містять крім чисел ще й букву.)

- Як називаються записи: 12 < 16 ; 25 – 6 > 17? ( Це нерівності.) Два числа або два вирази, які поєднані знаками : >, < , = - називаються нерівностями.)

- Як би ви назвали запис: 25 – с > 17? ( Це нерівність, яка містить букву – нерівність із змінною.)

- Буквена нерівність, або нерівність із змінною, є правильною ,якщо с набуває значень 1 або 2 або 3 або 4 або 5 або 6 або 7. Буквені нерівності ми будемо розв’язувати добором і випробуванням обраних чисел: кожне з даних чисел підставляється у нерівність замість букви; якщо отримуємо вірну числову нерівність, то дане число є розв’язком; якщо отримуємо невірну числову нерівність, то це число не є розв’язком нерівності із змінною..

1. Із даних чисел 6,7,8,9,10 виписати ті, для котрих вірна нерівність:

k + 2 > 10.

Працювати над цією вправою ми будемо за пам’яткою:

Пам’ятка.

1)Знайти значення буквеного виразу при заданому значенні букви.

2)Порівняти ці числа.

3)Якщо числова нерівність є вірною, тоді це значення букви є розв’язком.

Розв’язання

k + 2 > 10.

1) При к = 6, 6 + 2 > 10

2) 8 > 10 – невірна нерівність

3) Число 6 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 7, 7 + 2 > 10

2) 9 > 10 – невірна нерівність

3) Число 7 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 8 , 8 + 2 > 10

2) 10 > 10 – невірна нерівність

3) Число 8 не є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 9 , 9 + 2 > 10

2) 11 > 10 – вірна нерівність

3) Число 9 є розв’язком нерівності к + 2 > 10

1) При к = 10 , 10 + 2 > 10

2) 12 > 10 – вірна нерівність

3) Число 10 є розв’язком нерівності к + 2 > 10

З цього випливає, що при к >8нерівність k + 2 > 10 буде вірною.

Відповідь: 9, 10.

На перших етапах засвоєння розв’язування нерівностей із змінною слід запропонувати учням для розв’язання певну кількість завдань, при чому, кожний етап розв’язання ,згідно пам’ятці, записуємо у зошит; далі міркуємо усно, записуючи лише відповідь.

2. Знайди два таких значення к , щоб нерівність к * 7>40 була вірною.

Розв’язуючи це завдання учні самі повинні підібрати числа, які слід випробувати за пам’яткою. Підбор значень змінної к здійснюється на підставі знання таблиці множення числа 7. Учням пропонується назвати добутки із таблиці множення числа 7, які більше числа 40 ( це 42, 49, 56, 63, 70) ; встановити множенням яких чисел на 7 вони отримані ( 6, 7, 8, 9, 10) ; перевірити і довести, що ці числа є розв’язками даної нерівності ( за пам’яткою № 1 ).

При к>5, нерівність к * 7>40 буде вірною.

Відповідь: 6; 7; 8; 9...

3. Для кожної нерівності добери два значення букви а , щоб нерівність була вірною: 20 – а > 15 а * 4 < 36 а : 8 > 4

При розв’язанні цих нерівностей можна запропонувати учням раціональний прийом підбору змінної у нерівності:

Пам’ятка № 2:

1) Навожу до рівняння. Визначаю при якому значенні букви отримаємо вірну рівність.

2) Записую отримане число, підкреслюю його і записую його сусідів.

3) Підставляю число , до знайденого і встановлюю чи є воно розв’язком нерівності.

4) Роблю висновок: якщо так, то виписую декілька чисел ,які при рахунку називаються знайденого числа.

Цей спосіб розв’язання нерівностей із змінною називається наведенням до рівняння.

Розв’язання

20 – а > 15

1) 20 – а = 15

а = 20 – 15

а = 5

2) … 5 …; … 4, 5 , 6 …

3) 20 – 4 > 15

16 >15 –вірна нерівність, тому число 4 є розв’язком нерівності

4) 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: 4, 3, 2 , 1, 0.

а * 4 < 36

1) а * 4 = 36

а = 36 : 4

а = 9

2) … 9 …; … 8, 9 , 10 …

3) 8 * 4 < 36

32< 36 – вірна нерівність, тому число 8 є розв’язком нерівності

4) 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Відповідь: 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

а : 8 > 4

1) а : 8 = 4

а = 4 * 8

а = 32

2) … 32 …; записуємо із таблиці ділення на 8 ділені, що менше за 32 та більше за 32:

… 24, 32, 40 …

3) 40 : 8 > 4

5> 4 – вірна нерівність, тому число 40 є розв’язком нерівності

4) виписую із таблиці ділення на 8 всі ділені, починаючи з 40: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Відповідь: 40, 48, 56, 64, 72, 80.

Третій спосіб розв’язання нерівностей із змінною полягає на залежності між результатами і компонентами арифметичних дій.

25 – в > 20

- Прочитайте ліву частину нерівності.

- Прочитайте праву частину нерівності.

- Подайте праву частину у вигляді різниці.

- Що істотного повинно бути в цій різниці? ( Зменшуване – число 25).

- Замінюємо праву частину нерівності різницею з зменшуваним 25 (20 = 25–5), таким чином отримаємо: 25 – в > 25 – 5.

- Порівняйте дві різниці з однаковими зменшуваними. ( В цих різницях однакові зменшувані, а відрізняються вони від’ємниками. Різниця в лівій частині більша за різницю в правій частині.)

- Згадайте в яких випадках різниця збільшується при зміні від’ємника. ( Різниця збільшується, якщо від’ємник, навпаки зменшується.)

- Який висновок можна зробити? ( Із двох різниць з однаковими зменшуваними більша та, в якій від’ємник менший.)

- Якщо від’ємник повинен бути меншим, то які значення набуває змінна в? ( в<5. Відповідь: 0;1;2;3;4.)

x * 70 < 280 . Подамо праву частину нерівності , число 280, добутком двох чисел з другим множником 70: 280 = 4 * 70. Отримаємо нерівність x * 70 < 4 * 70. Порівнюємо добутки, записані в правій та лівій частині. Згадуємо взаємозв’язок між добутком і множниками: добуток зменшується, коли множник зменшується. З двох добутків з однаковим другим множником менше той, у якого перший множник менше. Робимо висновок: x < 4 Відповідь: 0;1;2;3.

Зразок запису в зошиті:

x * 70 < 280

x * 70 < 4 * 70

x < 4

Відповідь: 0;1;2;3.

x + 40 < 45. Алгоритм розв’язання:

1) Подаю праву частину , 45, сумою з другим доданком 40. 45 = 5 + 40.	x + 40 < 5 + 40
2) Порівнюю суми. Згадую зв’язок суми і доданка: сума зменшується, якщо доданок зменшується. Отже, із двох сум з однаковими другими доданками менша та, в якій перший доданок менше.
3) Робимо висновок.	x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4.

120 : x > 24

1) Подаю праву частину, 24, у вигляді частки з діленим 120. 24 = 120 : 5	120 : x > 120 : 5
2) Порівнюю частки. Згадую залежність між часткою та діленим. Частка збільшується, якщо дільник зменшується. З двох часток з однаковими діленими більше та, в якій дільник менше.
3) Роблю висновок.	x < 5 Відповідь: 0;1;2;3;4.

Таким чином, нерівності із змінною розв’язуються трьома способами:

1. Способом підбору.

2. Способом наведення до рівняння.

3. Способом на підставі взаємозв’язку між результатами і компонентами арифметичних дій.

Наприклад:

Геометричний матеріал в курсі математики 3-го класу.

Геометрична фігура – це множина точок площини. В 3-му класі не вивчаються нові геометричні фігури, а розглядаються лише ті, що були введені у попередніх класах: точка, пряма та крива лінії, відрізок, ламана, многокутники: трикутник, чотирикутник, п’ятикутник ..., з чотирикутників – прямокутник і квадрат, коло і круг. Але, завдяки введенню латинського алфавіту, коли кожна точка отримує ім’я у вигляді великої літери латинського алфавіту відбувається систематизація, узагальнення і поглиблення раніш отриманих знань.

Згідно нової програми в 3-му класі учні креслять і вимріють довжину відрізків, ламаної лінії; визначають периметр многокутника, в тому числі прямокутника і квадрата, знаходять сторони квадрата за його периметром; будують прямокутники і квадрати на папері в клітинку за даними сторін.

Засвоєння геометричного матеріалу відбувається головним чином під час практичних робіт ( вимірювання, викреслювання та моделювання) і розв’язування задач, а не в результаті вивчення теорії. Тому ми пропонуємо класифікацію задач з геометричним змістом і наводимо приклади задач кожної групи.

1 група задач – задачі на повторення усіх вивчених геометричних фігур.

Завдання 1. За малюнком назвати геометричні фігури і розповісти про кожну фігуру.

Завдання 2.

1) Назви кожну фігуру, яка не є многокутником.

2) Скільки многокутників, назви кожний.

Завдання 3.

1) Назви геометричні фігури

2) Чим відрізняються квадрати, які

зображено ліворуч від квадратів праворуч?

П група. Позначення геометричних фігур літерами латинського алфавіту і правильне їх читання.

Завдання 1. Назви, які фігури зображено.

А В – відрізок АВ. А кут АОВ або кут О

N О В АОВ , О

Трикутник М N О М N прямокутник МNОК. Не можна

читати МNКО або МКNО. Букви

М N О читають послідовно!

M O

К О

Завдання 2.

А В К М А К А В А 1) Перевір, чи вірно записані

назви усіх прямокутників і

М О квадратів:

D C M K

M P

P O

Прямокутники: АВС D; КМРО; АВКМ; МАОР.

Квадрати: АВС D; МАОР.

2) Який прямокутник називається квадратом?

Ш група . Задачі на належність точок та відрізків даній фігурі.

Завдання 1. О

А С В

К

Р

1) Назви точки, які належать прямій ( А; В; С).

2) Назви точки, які не належать прямій. ( К; О; Р).

Завдання 2.

К 1) Назви точки, які належать кругу. ( А;О;Е; N).

N 2) Назви точки, які не належать кругу. ( С;В;К).

Е

О В

А

С

Завдання 3. Назви трикутники з спільною стороною ВС. ( АВС та ВСК)

В

А С К

Завдання 4. Назви фігури, яким належить точка О. ( АВСD, АВFK)

B F C

O

A K D

Завдання 5. Назви фігури, які містять кут А. ( АВК; АВ D; чотирикутник АВС D)

В С

А К D

1У група. Задачі на побудову відрізків та порівняння їх довжин.

Завдання 1. Накресли такі самі відрізки, виміряй їх довжину і порівняй довжини цих відрізків.

А В

С D

( АВ = 2 см, С D= 6 см; 6 : 2 = 3. Відрізок С D довше відрізка АВ в 3 рази. Відрізок АВ коротше відрізка С D в 3 рази.)

Завдання 2. Виміряй відстань між точками С та D; А та В і порівняй довжини відрізків С D та АВ.

С

В

А

D

Завдання 3. Накресли пряму лінію, відклади на ній відрізок, який дорівнює сумі відрізків АВ та М N.

А В

С N

Розв’язання

Р С К

Завдання 4. Накресли такий самий прямокутник АВСД, накресли довільну пряму і від точки О відклади послідовно усі сторони прямокутника. Виміряй довжину отриманого відрізку.

В С

А Д

Розв’язання

О К

У група. Задачі на ділення фігур на частини і назву фігур.

Завдання 1. Накресли довільний відрізок АВ. На цьому відрізку познач дві точки С і Д. Назви і запиши усі утворені відрізки.

Розв’язання

А С Д В

АС; АД; АВ; СД; СВ; ДВ.

Щоб не загубити відрізки або не назвати один й той самий відрізок двічі запам’ятай:

1) Назви усі відрізки з початком в точці А ( їх три: АС; АД; АВ;);

2) Назви усі відрізки з початком в точці С ( їх два: СД; СВ);

3) Назви відрізок з початком в точці Д ( один: ДВ).

Завдання 2. Накресли довільний кут АОВ. Проведи в ньому два променя ОС та ОД. Назви і запиши утворені кути.

Розв’язання

А С

Д

О В

АОС ; АОД ; АОВ; СОД; СОВ; ДОВ.