График – не только картинка

В физике часто используется представление тех или иных зависимостей в виде графиков. Графики не только наглядно отображают какую-то конкретную зависимость, но и содержат немало другой информации. Чтобы графики не оказались «только картинками», нужно уметь их строить и читать.

Задача 11. 1. На рисунке 15 изображен график зависимости проекции скорости частицы от времени. Построить графики зависимости от времени соответствующих проекций ускорения и перемещения.

Из Анализа условия видно, что речь идет о движении частицы. О траектории ничего не говорится. Для наглядности можно ограничиться рассмотрением прямолинейной траектории.

Имеет ли какое-либо отношение заданный график к «главным формулам» (4.6) – (4.8)? Формула (4.7) описывает линейную зависимость v_X = v_X (t). График такой зависимости – прямая линия. В данном случае можно выделить четыре прямолинейных участка графика. Чем же отличаются движения, соответствующие этим участкам? Они отличаются значениями ускорения, то есть константами a_X. Какую информацию об этих константах можно получить из заданного в условии графика? При t₁ £ t £ t₂ и
t ³ t₄ величина a_X = 0. На интервале 0 < t < t₁ она положительна, а при t₂ < t < t₄ – отрицательна, причем модуль ее больше, чем для промежутка 0 < t < t₁. Это позволяет построить график зависимости a_X(t), изображенный на рисунке 16.

Как построить график зависимости S_X(t)? Нельзя ли снова использовать формулы (4.6) – (4.8)? Можно, так как для отдельных участков a_X = const. Какой же вид имеют графики S_X(t) на этих участках? Формула (4.8) для участков t₁ £ t £ t₂ и t ³ t₄ дает прямые линии, так как a_X = 0, а для 0 < t < t₁ и

t₂ < t < t₄ – параболы. Там, где a_X < 0, ветви параболы направлены вниз. Участки прямых и парабол должны плавно переходить друг в друга, без разрывов и резких изменений наклона, так как и перемещение, и скорость в каждый момент времени имеют определенные значения.

Наклон второго прямолинейного участка графика должен быть больше, чем наклон первого, так как модуль проекции скорости на этом этапе движения больше. Вершине параболы должен соответствовать момент времени t = t₃, для которого v_X = 0. Все эти обстоятельства приняты во внимание при построении графика, изображенного на рисунке 17.

В качестве Анализа результата в данном случае можно дать словесное описание движения для рассматриваемой прямолинейной траектории. Из состояния покоя частица вначале двигалась ускоренно, затем в промежутке времени t₁ £ t £ t₂ – равномерно. Потом появилось ускорение, направленное навстречу скорости, вследствие чего в момент времени t₃ она изменила направление движения. Начиная с t = t₄, частица двигалась равномерно и вернулась в исходную точку при t = t₅.

В копилку опыта

· При построении графиков следует использовать «главные формулы» (4.6) – (4.8) для отдельных участков. Так можно поступать и в тех случаях, когда ускорение на этих участках можно считать постоянным лишь в грубом приближении; разумеется, тогда график характеризует движение лишь приближенно.

Задача 11. 2*. На рисунке 18 приведен график зависимости проекции скорости частицы, движущейся вдоль оси x, от координаты частицы x. Найти проекцию ускорения в точке с координатой x = 3 м. Найти также максимальное по модулю ускорение.

В Условии задан график с конкретными численными значениями. Из него можно почерпнуть не только качественную, но и необходимую количественную информацию. Так что краткая запись условия оказывается излишней.

Что нужно найти в задаче? Нужно найти проекцию ускорения. Можно ли использовать соотношения (4.6) – (4.8)? Эти соотношения справедливы для движения с = сonst, а здесь речь идет о нахождении максимального ускорения, что предполагает его изменение. На какой же «генерал-закон» можно опереться? Всегда можно пользоваться определением искомой величины. В данном случае это соотношение (3.2):

a_X = Dv_X / Dt . (11.1)

Можно ли найти Dv_X / Dt непосредственно из заданного графика? Если бы это был график v_X = v_X(t), то искомая величина определялась бы его наклоном. Как же быть в данном случае, когда задана зависимость v_X = v_X(x)? Следует привлечь определение скорости (3.1):

v_X = DS_X / Dt = Dx / Dt . (11.2)

Исключая Dt из (11.1) и (11.2), получим

a_X = v_X Dv_X / Dx . (11.3)

Какую информацию о величинах, входящих в правую часть формулы (11.3), можно почерпнуть непосредственно из графика? v_X можно отсчитать по оси ординат, а Dv_X / Dx = k – по наклону графика. На участках 0 £ x £ 1м и x > 5м коэффициент k = 0, а в остальной области изменения x он равен

k = = = – 1 с^-1.

Итак,

0, если 0 £ x £ 1м,

aX =

– k v_X, если 1м £ x £ 4м,

0, если x ³ 4м.

Отсюда находим ответы:

1) искомая проекция ускорения a_X = – k×v_X(x=3м) = –1 c^-1×2 м/с = – 2 м/с²;

2) максимальной по модулю проекции ускорения a_XM соответствует максимальная по модулю проекция скорости, то есть a_XM = – k×v_X(x=1м) =
– 1 c^-1×4 м/с = – 4 м/с².

В копилку опыта

· Разглядывая картинки графиков, обращайте внимание на то, какие величины откладываются по осям координат, и вдумывайтесь в смысл этих величин.

Задача 11. 3*. Муравей бежит от муравейника так, что скорость его обратно пропорциональна расстоянию от центра муравейника. В тот момент, когда муравей находится на расстоянии 1 м от центра, его скорость равна 2 см/с. За какое время он удалится от этой точки еще на 1 м?

Муравей l1 = 1 м v = k / x v1 = 2 см/с l2 = 2 м t – ?

При записи Условия вводим координату x, отсчитываемую от центра муравейника (рисунок 19) и коэффициент k, характеризующий обратно пропорциональную зависимость. Введем также расстояние l₂ от центра, на которое удалится муравей к моменту времени t (рис. 19).

Анализ содержания задачи приводит к заключению, что соотношения (4.6) – (4.8) здесь не применимы, так что приходится опираться на определение скорости (3.1), поскольку о ней идет речь в условии:

v = DS / Dt = Dx / Dt . (11.4)

Какой смысл имеют входящие в эту формулу величины? v – скорость в произвольной точке с координатой x (рис. 19); Dx – расстояние, на которое удалится муравей за малый промежуток времени Dt. Какое отношение имеет этот промежуток к искомому в задаче времени t? Время t складывается из множества таких малых промежутков времени, то есть t = S Dt. Как найти эти промежутки и как их сложить?

Величину Dt можно найти из (11.4), используя заданную в задаче зависимость скорости v от расстояния x:

Dt = = . (11.5)

Осталось вычислить сумму

t = . (11.6)

Как это сделать? Встречалась ли вам похожая задача о вычислении суммы большого числа малых величин? Каким методом она решалась? При выводе формулы для перемещения (4.6) суммировались перемещения за малые промежутки времени. Слагаемые рассматривались как площади узких полосок под графиком скорости, а сумма – как вся площадь под этим графиком. Попытаемся и здесь действовать аналогичным образом. Слагаемые в выражении (11.6) можно тоже рассматривать как площади полосок шириной Dx и высотой x / k = 1 / v. Каким же графиком ограничены эти полоски? Они ограничены графиком зависимости величины 1 / v от координаты x. Этот график и полоска, соответствующая одному из слагаемых в формуле (11.6), показаны на рисунке 20.

Итак, подсчет по формуле (11.6) сводится к нахождению площади трапеции, основания которой проходят через точки l₁ и l₂ (рис.20):

t = (l₂ – l₁) . (11.7)

Согласно условию задачи скорости v₁ и v₂ обратно пропорциональны соответствующим расстояниям:

v₁ / v₂ = l₂ / l₁ . (11.8)

Подставляя (11.8) в (11.7), получим ответ

t = » 75 c .

При вычислении не забудьте выразить скорость в м / с.

В копилку опыта

· Полезно вспомнить ранее решенные задачи, чем-то похожие на данную.

· Вычисление сумм бесконечного числа бесконечно малых слагаемых можно заменить вычислением площадей под некоторыми графиками. Ученики 11 класса могут находить соответствующие интегралы.

§ 12. Хочешь научиться решать задачи по кинематике –

Решай их

12. 1. От вертолета, поднимающегося вертикально вверх со скоростью v₀, с высоты h над землей отделился груз. Через какой промежуток времени t и с какой скоростью v он упадет на землю?

Ответы: t = ; v = .

12. 2. Снаряд вылетает из пушки с начальной скоростью v₀ = 1000 м/c под углом a = 30⁰ к горизонту. Сколько времени t снаряд находился в воздухе? На какую высоту H он поднялся? На каком расстоянии S от пушки упал на землю?

Ответы: t = = 102 с;

H = = 12,7 км; S = = 88,4 км.

12. 3. Какую минимальную скорость v должен иметь мотоциклист при отрыве от края трамплина с углом наклона a к горизонту, чтобы перепрыгнуть ров шириной S, если высота края трамплина равна h?

Ответ: v = .

12. 4. Мяч бросают горизонтально со скоростью v = 14 м/с с горы, составляющей угол a = 45⁰ с горизонтом. На каком наибольшем расстоянии l от поверхности горы окажется мяч во время полета? Каково его перемещение S до точки падения?

Ответы: l = v² » 7,1 м; s = » 57 м.

12. 5. Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом a = 45⁰ к горизонту струя воды с начальной скоростью v = 10 м/с. Площадь сечения отверстия шланга s = 5 см². Определить массу m струи, находящейся в воздухе. Плотность воды равна r = 100 кг/м³.

Ответ: m = 2 r s v² g^–1 sin a = 7,1 кг.

12. 6. Тело начинает падать с высоты h. В тот же момент времени другое тело бросают с высоты H (H > h) вертикально вниз. Определить его начальную скорость, если оба тела упали на землю одновременно.

Ответ: v = (H – h) .

12. 7. Колесо радиуса R равномерно катится по горизонтальной поверхности. От точки на конце его горизонтального диаметра отрывается комок грязи. С какой скоростью v движется колесо, если комок, побывав в воздухе, снова опускается на то же место?

Ответ: v = .

12. 8. Докажите аналитически и геометрически (с помощью графика скорости), что пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки времени при движении с постоянным ускорением, пропорциональны последовательным нечетным числам.

12. 9. На рисунке 21 изображены графики прямолинейного движения двух частиц. В начальный момент времени обе частицы находились в одной точке. Где и когда произойдет новая встреча этих частиц? Решить задачу аналитически и графически.

Ответы: Встреча произойдет через 12 с на расстоянии 24 м от начального положения.

12. 10. С башни высотой H в горизонтальном направлении бросают тело со скоростью v₁ . Одновременно с поверхности земли под углом a к горизонту бросают другое тело со скоростью v₂ навстречу первому. На каком расстоянии L от башни находилась точка бросания второго тела, если тела столкнулись в воздухе?

Ответ: L = H .

12. 11*. Маленький шарик катится со скоростью v = 10 м/с по горизонтальной плоскости перпендикулярно щели, образованной двумя отвесными параллельными стенками, находящимися на расстоянии d = 5,0 см друг от друга. Глубина щели H = 1,0 м. Сколько раз n ударится шарик о стенки щели, прежде чем достигнет ее дна? Удары считать абсолютно упругими.

Ответ: n = = 90.

12. 12*. Одновременно из одной точки брошены два тела с одинаковой по модулю скоростью v: первое вертикально вверх, второе – под углом a к горизонту. Определить скорость v₂₁ второго тела относительно первого в момент времени, когда второе тело, движущееся криволинейно, достигнет половины максимальной высоты полета.

Ответ: v₂₁ = v .

12. 13*. Стержень длиной L упирается своими концами в стороны прямого угла. Верхний конец равномерно поднимается со скоростью v. Как меняется с течением времени скорость u нижнего конца? В начальный момент времени стержень расположен горизонтально.

Ответ: u = .

12. 14*. Частица движется по дуге окружности радиуса R = 100 см. Скорость ее меняется по закону v = v₀ / cos a, где v₀ = 100 см/с, а a – угол поворота радиуса, соединяющего эту частицу с центром окружности. Найти ускорение частицы в тот момент, когда угол a = 60⁰.

Ответ: a = = 8,0 м/с².

12. 15*. Мальчик бросил камень под некоторым углом a к горизонту. Пренебрегая сопротивление воздуха, определите, при каких значениях a камень все время будет удаляться от мальчика.

Ответ: sin a < » 0,94, или a < 70,5⁰.

12. 16*. Частица брошена вертикально вверх. Нарисуйте графики временной зависимости высоты подъема x(t) и пройденного пути s(t). При какой начальной скорости v₁ частица за время t₁ = 6 с пройдет путь
s₁ = 100 м, 200 м?

Ответы:

Если s₁ = 200 м, то v₁ = s / t + g t /2 ≈ 63 м/с; если s₁ = 100 м, то

40 м/с,

20 м/с.

III ДИНАМИКА

Генерал-законы» динамики

При решении задач динамики следует применять перечисленные ниже основные положения и законы.

« Динамика – раздел механики, отвечающий на вопрос «Почему тела движутся так, а не иначе?».

« В основе классической механики лежат три постулируемых закона Ньютона. Классическая механика правильно описывает нерелятивистские движения (скорости много меньше скорости света) макроскопических тел. Макроскопическими называют тела, размеры которых значительно превышают размеры атома. Для элементарных частиц классическая механика в некоторых случаях также дает приблизительно правильные результаты.

« Первый закон Ньютона. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), то есть такие системы, в которых любая частица сохраняет свою скорость неизменной, если она бесконечно далеко удалена от других частиц. Термин «удалена бесконечно далеко», с точки зрения механики, означает, что еще большее удаление никак не отражается на движении частицы.

« Второй закон Ньютона. В инерциальной системе отсчета ускорение частицы определяется формулой

m = , (13.1)

где m – скалярная физическая величина, характеризующая эту частицу, и называемая массой, а – векторная физическая величина, описывающая действие на данную частицу другой частицы, и называемая силой.

« Третий закон Ньютона. Силы ₁ и ₂, с которыми две частицы действуют друг на друга, равны по модулю, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны:

₁ = – ₂ . (13.2)

« Законы Ньютона непосредственно применимы к частицам (материальным точкам). Они содержат в себе аксиоматические определения динамических величин силы и массы.

« Законы Ньютона дополняются принципом суперпозиции, или законом сложения сил. Согласно этому закону, ускорение частицы, обусловленное несколькими силами, определяется той же формулой (13.1), только в правой части под символом следует подразумевать сумму всех сил, приложенных к частице. При решении задач всегда используется второй закон Ньютона, дополненный принципом суперпозиции.

« Система отсчета, в которой выполняется соотношение (13.1), является инерциальной. Благодаря этому положению, инерциальность системы отсчета может быть установлена экспериментально и, следовательно, лишь приближенно. При решении многих задач инерциальной можно считать систему отсчета «Земля». Исключение составляют задачи, в которых анализируются явления, обусловленные вращением земного шара.

« Системы отсчета, движущиеся поступательно с постоянной скоростью относительно инерциальной системы отсчета, являются инерциальными.

« Закон Гука утверждает, что при небольших деформациях сила упругости пропорциональна величине деформации:

F = k S . (13.3)

Здесь F – модуль силы упругости, а S – модуль перемещения при деформации точки приложения силы упругости, k – коэффициент упругости, или коэффициент жесткости.

« Модуль сил тяготения (сил гравитационного взаимодействия) частиц массами m₁ и m₂, удаленных друг от друга на расстояние r, определяется формулой

F = G . (13.4)

Та же формула справедлива и для тел сферически симметричной формы, если r – расстояние между их центрами, и оно не меньше суммы радиусов этих тел.

« Силой тяжести называют силу _Т, под действием которой частица движется с ускорением свободного падения :

_Т = m . (13.5)

Эта сила приблизительно равна силе тяготения со стороны Земли. Небольшое отличие обусловлено вращением земного шара.

« Сила сопротивления среды – сила, действующая со стороны жидкой или газообразной среды, на движущееся в ней тело. Эта сила _С зависит от формы и размеров тела, а также от скорости его движения :

_С = – k , (13.6)

где k – коэффициент сопротивления.

« Сила трения скольжения (или качения), приложенная к телу, движущемуся по твердой поверхности, направлена в сторону, противоположную скорости движения. Ее модуль F_ТР пропорционален силе нормальной реакции N поверхности, по которой происходит скольжение (или качение):

F_ТР = m N. (13.7)

m – коэффициент трения. Точка приложения силы трения скольжения принадлежит трущейся поверхности. Местом приложения силы трения качения является ось катка.

« Сила трения покоя _ТП направлена вдоль поверхности соприкосновения тел. Она препятствует возможному перемещению одного тела по поверхности другого. Модуль этой силы может меняться от нуля до максимального значения, приблизительно равного силе трения скольжения:

0 £ F_ТП £ m N. (13.8)

« Массу системы тел (или одного тела) можно считать сосредоточенной в одной точке, называемой центром масс, и применять к полученной таким образом частице законы Ньютона. Движение этой частицы под действием приложенных к системе тел совпадает с движением центра масс.

« Абсолютно твердое тело – модель реального тела, размеры и форма которого считаются неизменными.

« Если сумма моментов всех внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу, относительно центра масс равна нулю, то тело движется поступательно. В этом случае достаточно описать движение центра масс.

« Если размеры тела малы по сравнению с размерами Земли, то равнодействующая всех сил тяжести тела приложена в его центре масс. В этом случае центр масс называют так же центром тяжести.

« Абсолютно твердое тело находится в равновесии, если сумма всех сил, приложенных к нему, равна нулю и сумма моментов этих сил относительно произвольной оси также равна нулю.

« Под «весом тела» чаще всего понимают силу, с которой это тело, действует на неподвижные относительно него подвес или горизонтальную опору, вследствие притяжения к Земле, Иногда термин «вес» употребляется и в несколько ином смысле (просто как сила, действующая на подвес или опору). В сомнительных случаях лучше просто указать, действие какого тела и на какое характеризует рассматриваемая сила, не используя термит «вес».