Гиперболический параболоид
Определение. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнением:
(10)
где p > 0, q > 0 – параметры гиперболического параболоида.
Уравнение (10) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Данная поверхность представлена на рисунке (5).
Рис. 5 Гиперболический параболоид
Как и в предыдущих случаях, исследовать данную поверхность можно с помощью метода параллельных сечений.
Цилиндрические поверхности
Определение. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) (рис.6) называется поверхность, описываемая прямой l (образующей), движущейся вдоль некоторой линии L (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению.
l
L
Рис. 6. Цилиндрическая поверхность
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Можно доказать, что F(x,y) = 0 (нет z) есть уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Oz. Аналогично F(x,z) = 0 (нет у) – уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Оу, а F(y,z) = 0 (нет х) – уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси Ох.
Определение. Цилиндром второго порядка называется цилиндрическая поверхность, направляющей которой является эллипс (окружность), гипербола или парабола.
Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс
в плоскости хОу, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис.7).
Рис. 7. Эллиптический цилиндр
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение
Уравнение
определяет в пространстве гиперболический цилиндр (рис. 8).
Уравнение x2 = 2рy определяет в пространстве параболический цилиндр (рис.9).
Рис. 8. Гиперболический цилиндр Рис. 9. Параболический цилиндр
В зависимости от того, в какой координатной плоскости лежит направляющая и какой оси координат параллельны образующие возможны другие варианты расположения цилиндров.
Коническая поверхность
Определение. Поверхность, образованная прямыми линиями (образующими), проходящими через данную точку Р (вершину) и пересекающими данную плоскую линию L (направляющую), P Ï L, называется конической поверхностью (рис.10).
L – направляющая конической поверхности; l – образующая конической поверхности; Р – вершина конической поверхности.
z
l
P
0 y
x L
Рис. 10
Определение. Конусом второго порядка (конусом) называется поверхность, определяемая в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением:
(11)
Уравнение (11) называется каноническим уравнением конуса. Данная поверхность изображена на рисунке (11).
Рис. 11. Конус
Если a = b в уравнении (11), то оно примет вид:
(12)
И определяет конус вращения вокруг оси Оz.