Понятие интервальных оценок

Предположим, что по результатам выборки получена оценка неизвестного параметра θ. Очевидно, что эта оценка тем точнее будет определять значение параметра, чем меньше величина . Если указать некоторое положительное число δ, для которого выполнено неравенство

, (7.1)

то это число будет характеризовать точность оценки . Чем меньше значение δ, тем точнее оценка . Однако нельзя категорически утверждать, что для какой-нибудь оценки будет выполнено неравенство (7.1). Так как оценка – величина случайная, то можно говорить только о вероятности, с которой это неравенство будет выполнено.

Доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью γ оценки параметра θ называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство (7.1), т.е.

. (7.2)

В практических задачах доверительную вероятность задают в самом начале решения и, естественно, в качестве ее значения берут число, близкое к единице, например, 0,95; 0,99; 0,999 и т.п.

Достаточно часто используется другой вид формулы для доверительной вероятности, а именно

(7.3)

Формула (7.3) получается из формулы (7.2) в результате простых преобразований неравенства в скобках (раскрытием модуля и прибавлением ко всем частям неравенства величины ). Если в последней формуле обозначить через и , то формула (7.3) примет вид:

(7.4)

Интервальной оценкой или доверительным интервалом параметра θ называют числовой интервал , который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ.

Границы доверительного интервала называются доверительными границами.

Необходимо отметить, что слова «накрывает неизвестное значение параметра» в определении интервальной оценки не совсем верно заменять словами «неизвестное значение параметра попадет в заданный интервал». Это связано с тем, что границы доверительного интервала являются случайными величинами (принимают свое значение в зависимости от выборки и доверительной вероятности), а сам неизвестный параметр – величина постоянная.

И, наконец, очень часто границы доверительного интервала расположены симметрично относительно точечной оценки параметра, как при вышеописанном построении. Однако не всегда и не для всех задач можно построить доверительный интервал с таким свойством.

Построение интервальных оценок связано с формулами вероятности попадания значений случайной величины (значения признака Х) на заданный интервал. Формулы, в свою очередь, связаны с конкретным законом распределения соответствующей случайной величины, например с функцией распределения. Построим интервальную оценку для генеральной средней наиболее часто встречающегося закона – нормального закона распределения.

2.3. Доверительный интервал для генеральной средней

Предположим, что признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону, при этом неизвестен параметр этого распределения – генеральная средняя. Как известно, нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием (генеральной средней) и дисперсией или средним квадратическим отклонением. Доверительный интервал для генеральной средней будем строить для двух случаев, когда известно и неизвестно среднее квадратическое отклонение признака Х генеральной совокупности.

Доверительный интервал для генеральной средней при известном среднеквадратическом отклонении .

Из генеральной совокупности произведем различные выборки объема n. Для каждой выборки может быть найдена своя выборочная средняя. Эти выборочные средние будем рассматривать как значения некоторой случайной величины . Примем без доказательства тот факт, что если случайная величина (признак) Х распределена по нормальному закону, то случайная величина , значения которой определяются по независимым наблюдениям как выборочные средние, также распределена нормально. Этот факт непосредственно следует из теоремы Ляпунова.

По результатам наблюдений найдем точечную оценку неизвестного параметра - выборочную среднюю . Зададим доверительную вероятность γ и найдем такое число δ > 0, чтобы выполнялось условие (см. формулу (7.2))

.

Как известно, для нормально распределенной величины Х вероятность попадания на некоторый интервал определяется с помощью функции Лапласа Ф(u). С учетом равенства (6.4) в наших обозначениях формула для определения вероятности примет вид:

.

Последнее равенство следует из формулы (6.6): .

Пусть . Отсюда и формула для определения соответствующей вероятности примет вид:

(7.5)

Запишем равенство (7.5) для конкретного значения случайной величины - выборочной средней, получим

(7.6)

Вспомнив о том, что это вероятность равна γ, равенство (7.6) можно интерпретировать следующим образом: с вероятностью γ можно утверждать, что доверительный интервал

(7.7)

покрывает значение генерального среднего; точность полученной оценки

(7.8)

Исследуя формулу (7.8) для нахождения точности оценки, можно сделать следующие выводы:

1. При возрастании объема выборки n точность оценки увеличивается, так как чем меньше значение δ, тем выше точность.

2. Увеличение надежности оценки приводит к уменьшению ее точности. Это следует из того, что функция Лапласа является возрастающей и при увеличении значения этой функции (надежности) ее аргумент также увеличивается, что приводит к увеличению значения δ и понижению точности оценки.

Нахождение доверительного интервала для генеральной средней при известном генеральном среднем квадратическом отклонении можно проводить по следующей схеме:

1. Задать доверительную вероятность γ.

2. Найти по таблице значений функции Лапласа Ф(u) аргумент u, для которого Ф(u) = .

3. Определить точность оценки по формуле .

4. Найти по выборке выборочную среднюю (если она не дано).

5. Построить доверительный интервал

Пример 7.1. Пусть признак Х генеральной совокупности распределен по нормальному закону с известным средним квадратическим отклонением σ_г = 2 и неизвестной генеральной средней. По случайной повторной выборке объема n = 36 найдена выборочная средняя = 20. Найти с надежностью γ = 0,95 интервальную оценку для неизвестного параметра, а также точность этой оценки.

Решение. Находить оценку будем по предложенной выше схеме.

1. Доверительная вероятность γ = 0,95.

2. По таблице значений функции Лапласа находим аргумент u, для которого Ф(u) = 0,475. Получаем u = 1,96.

3. Определяем точность оценки .

4. Выборочная средняя = 20.

5. Строим доверительный интервал (20 – 0,653; 20 + 0,653) и окончательно получаем (19,347; 20,653).

Таким образом, с вероятностью 0,95 (или 95%) можно быть уверенным в том, что интервал (19,347; 20,653) накроет значение генеральной средней или с этой же вероятностью можно быть уверенным в том, что выборочное среднее дает значение генеральной средней с точностью 0,653. ■

Пример 7.2. При 25 контрольных испытаниях на продолжительность работы некоторого прибора была определена средняя продолжительность =1000 часов. Считая, что продолжительность работы прибора распределена нормально с генеральным средним квадратическим отклонением равным 12 часам, определить:

- доверительный интервал для генеральной средней с точностью оценки, равной 8 часам;

- доверительную вероятность того, что средняя выборочная будет определять генеральную среднюю с точностью 8 часов.

Решение. Очевидно, что доверительный интервал при заданной точности оценки равен (1000 – 8; 1000 + 8), т.е. (992; 1008).

Из формулы (6.10) получаем . По таблице значений функции Лапласа находим Ф(3,33) ≈ 0,49931. Отсюда γ = 0,99862.■

Пример 7.3. Найти минимальный объем выборки из генеральной совокупности с нормально распределенным признаком Х, при котором с вероятностью не меньшей γ = 0,9, отклонение средней, найденной по этой выборке, от генеральной средней будет меньше 0,4, если генеральное среднеквадратическое отклонение равно 3.

Решение Из условия задачи известно, что γ = 0,9; σ_г = 3; δ = 0,4. Формула (7.2) для данных примера примет вид: . Необходимо отметить следующее: при заданных значениях σ_г и δ с ростом объема выборки n увеличивается и надежность γ. Поэтому неравенство выполняется для . Найдем значение правой части последнего неравенства. Для этого по таблице значений функции Лапласа определим аргумент u, для которого Ф(u) = 0,9/2 = 0,45. Получим u = 1,65. Далее подставляем все значения в неравенство для определения наименьшего значения n, получим . Следовательно, минимальный объем выборки n = 154.■

Итак, задача построения интервальной оценки для генеральной средней при известном генеральном среднеквадратическом отклонении решена. Решим теперь эту же задачу в том случае, когда среднеквадратическое отклонение признака генеральной совокупности неизвестно.

Доверительный интервал для генеральной средней при неизвестном среднеквадратическом отклонении .

Пусть некоторый признак Х генеральной совокупности распределен нормально с неизвестными параметрами: и . требуется оценить генеральную среднюю.

Как и в предыдущем случае, из генеральной совокупности будем производить повторные выборки объема n. Для каждой выборки фиксируем выборочную среднюю и исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение. Напомним, что исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение является достаточно хорошей оценкой для генерального среднеквадратического отклонения. Пусть - это случайная величина, значениями которой являются выборочные средние, а - случайная величина, значениями которой являются исправленные выборочные среднеквадратические отклонения. Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 7.1. В сделанных выше обозначениях случайная величина распределена по закону Стьюдента с (n – 1) –ой степенью свободы.

Для определения вероятности попадания случайной величины, распределенной по закону Стьюдента, на заданный интервал используют таблицу значений t распределения Стьюдента. Тогда, воспользовавшись указанной таблицей, для заданной доверительной вероятности γ и заданного числа степеней свободы ν = n – 1 можно найти такое значение t, при котором выполняется неравенство: . Подставим в полученное неравенство T из теоремы, получим . Преобразуем левую часть

Отсюда, следует равенство:

(7.9)

Заменив в равенстве (7.9) случайные величины и их конкретными выборочными значениями и , получим формулу

(7.10)

Таким образом, доверительным интервалом для генеральной средней нормально распределенного признака Х при неизвестном генеральном среднем квадратическом отклонении является интервал

, (7.11)

где величина t определяется по таблице значений распределения Стьюдента с вероятностью γ и числом степеней свободы ν = n – 1.

Пример 7.4. При 25 контрольных испытаниях на продолжительность работы некоторого прибора была определена средняя продолжительность =2000 часов и среднее квадратическое отклонение =20 часов. Считая, что продолжительность работы прибора распределена нормально, определить доверительный интервал для генеральной средней с надежностью 0,9.

Решение. Для нахождения доверительного интервала по формуле (7.11) найдем величины t и s.

По таблице распределения Стьюдента для вероятности и числа степеней свободы находим t =1,71. Исправленное среднеквадратическое отклонение находим по формуле . Подставим найденные и данные в условии задачи значения в формулу (7.11), получим

.

Итак, с доверительной вероятностью 0,9 можно считать, что доверительный интервал (1993,02; 2006,98) накроет неизвестную генеральную среднюю. ■