Кромки которых свободно оперты

Рассмотрим пластину, у которой две противоположные кромки свободно оперты, а две другие устроены как угодно. Пусть кромки х = 0 и х = а свободно оперты.

Будем искать решение дифференциального уравнения изгиба (176) в виде ряда

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (206)

удовлетворяющего граничным условиям при х =0 и х = а.

Неизвестные функции fm(у), входящие в выражение упругой поверхности пластины, определим, подставляя выражение (206) в дифференциальное уравнение (176).

Сделав указанную подстановку, запишем

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (207)

Для того чтобы получить дифференциальное уравнение, определяющее функции (у), разложим нагрузку q(х,у) в тригонометрический ряд по синусам аргумента а

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (208)

где

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (209)

Подставляя разложение (208) в равенство (207), нетрудно получить дифференциальное уравнение

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (210)

Уравнение (210) есть обыкновенное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Общий интеграл этого уравнения можно записать, если будет найден общий интеграл соответствующего однородного уравнения и частное решение.

Интеграл однородного уравнения

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (211)

может быть получен при помощи подстановки

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (212)

Подставляя выражение (212) в уравнение (211) и сокращая на неравный нулю множитель Кромки которых свободно оперты - student2.ruполучим, что неизвестная величина Кромки которых свободно оперты - student2.ruдолжна удовлетворять следующему характеристическому уравнению:

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Так как корни этого уравнения кратны и попарно равны

Кромки которых свободно оперты - student2.ru ,

то решение однородного уравнения (211) можно записать следующим образом:

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (213)

или, переходя к гиперболическим функциям, -

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (214)

Общий интеграл дифференциального уравнения (210) запишется в виде

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (215)

где Кромки которых свободно оперты - student2.ru (у) — частное решение дифференциального уравнения (210).

Входящие в выражение (215) постоянные интегрирования должны быть определены из условий закрепления опорных кромок пластины у=0 и у=b. Для каждой из этих кромок, как было указано выше, всегда может быть выписано по два граничных условия и, следовательно, всегда можно записать достаточное число уравнений для определения этих постоянных.

Применим изложенное решение для различных частных случаев изгиба пластины.

П р и м е р 1. Рассчитать пластину, свободно опертую по всем четырем кромкам и загруженную равномерно распределенным давлением .

В рассматриваемом случае q(х,у)=q=const, и, следовательно, коэффициенты разложения этой нагрузки в ряд по синусам кратного аргумента на основании формулы (209) будут

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (216)

При m=1,3,5….

Так как правая часть дифференциального уравнения, определяющего функции fm(у), в этом случае равна постоянной величине и среди корней характеристического уравнения нет нулей, то частное решение можно отыскать также в виде постоянной величины. Подставляя это частное решение в дифференциальное уравнение (210) и принимая во внимание формулу (216), получим

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (217)

При m=1,3,5…

Подстановка формулы (217) в общий интеграл (215) дает

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru (218)

Примем начало координат по середине кромки х=0 (рис. 31). Тогда, учитывая, что прогиб пластины будет симметричным относительно оси ох, следует в выражении (218) коэффициенты при нечетных функциях положить равными нулю.

Принимая Вm, = Сm, =0, получим

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru (219)

m=1,3,5...

Постоянные Аm и Dm, должны быть определены из граничных условий для функций fm(у) при у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru . Найдем эти граничные условия.

Так как для свободно опертой кромки у = Кромки которых свободно оперты - student2.ruпрогиб пластины w должен удовлетворять условиям

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

то, подставляя сюда выражение (206), получим

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Последние два равенства могут быть выполнены лишь при условии

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Используя эти граничные условия, запишем следующую систему алгебраических уравнений1 определяющую постоянные Аm и Dm

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

где введено обозначение

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Решая полученную систему уравнений, найдем

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Следовательно,

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

и прогиб пластины будет

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (220)

Ряд (220) сходится довольно быстро, но его сходимость можно еще более усилить. Действительно, рассмотрим пластину, у которой отношение сторон Кромки которых свободно оперты - student2.ru. Изгиб ее можно характеризовать изгибом балки-полоски, длина которой равна а. Дифференциальное уравнение изгиба балки-полоски будет

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Так как на опорах балка свободно оперта, то решение этого дифференциального уравнения можно искать в виде

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Представляя нагрузку в виде ряда

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

и внося разложение v и q в дифференциальное уравнение, найдем

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

С другой стороны, нетрудно получить следующее выражение упругой линии в замкнутом виде (см. [41]):

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Сравнивая два последних выражения для упругой линии балки, запишем

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (221)

Полученное выражение позволяет переписать формулу (220) в виде

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (222)

На основании сказанного можно сделать заключение, что второй член в правой части выражения (222) учитывает влияние на изгиб пластины ограниченности ее размеров в направлении оси оу.

Зная выражение для прогиба пластины, нетрудно определить и другие элементы ее изгиба.

Изгибающие и крутящие моменты можно вычислить по формулам (137), а интенсивность поперечных усилий (г1 и r2)— по формулам (164).

Для определения углов поворота сечений пластины следует продифференцировать выражение (222) по соответствующей координате. В частности, углы поворота кромок пластины у = Кромки которых свободно оперты - student2.ruбудут определяться формулой

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (223)

Углы поворота кромок х=0 и у=0, разложенные в ряд по синусам аргумента Кромки которых свободно оперты - student2.ru , можно получить, если в формуле (223) Кромки которых свободно оперты - student2.ru заменить на Кромки которых свободно оперты - student2.ru , а размер а размером b, т. е.

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (224)

где

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Для практических расчетов необходимо знать наибольшие значения прогиба, изгибающих моментов, реакций опорного контура и т. д.

Напряжения изгиба вычисляются по формуле

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (225)

где Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru — момент сопротивление балки-полоски единичной ширины. Указанные величины могут быть определены по следующим формулам.

Наибольшая стрелка прогиба будет в центре пластины

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (226)

Изгибающие моменты М1 в центре пластины в сечениях, перпендикулярных оси ох, и М2— в сечении, перпендикулярном оси оу—

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (227)

Наибольшие значения перерезывающих сил будут по середине опорных кромок пластины, т. е. N1 на кромках х=0; х=а и N2 на кромках у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru ;

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (228)

Наибольшие значения реакций опорных кромок будут по середине этих кромок, г1—на кромках х = 0 и х= а; r2 на кромках у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru ;

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (229)

Сосредоточенные реакции в углах пластины (направление этих реакций для рассматриваемой задачи показано на рис.31)

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (230)

Входящие в формулы (226) — (230) коэффициенты k1 определяются по табл.6 в зависимости от отношения длинной стороны пластины а к короткой стороне b. Табл.6 вычислена при μ= 0,3 и заимствована из книги акад. Б. Г. Галеркина ,,Упругие тонкие плиты”.

Таблица 6

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 5,0 Кромки которых свободно оперты - student2.ru 0,0433 0,0530 0,0616 0,0697 0,0770 0,0843 0,0906 0,0964 0,1017 0,1064 0,1116 0,1336 0,1400 0,1416 0, 1422 0,0479 0,0494 0,0501 0,0504 0,0506 0,0499 0,0493 0,0486 0,0479 0,0471 0,0464 0,0404 0,0384 0,0375 0,0375 0,0479 0,0553 0,0626 0,0693 0,0753 0,0812 0,0862 0,0908 0,0948 0,0985 0,1017 0,1189 0,1235 0,1246 0, 1250 0,338 0,315 0,294 0,275 0,258 0,242 0,228 0,216 0,205 0,194 0,185 0,124 0,093 0,077 — 0,338 0,360 0,380 0,397 0,411 0,424 0;435 0,444 0,452 0,459 0,465 0,493 0,498 0,500 0,500 0,420 0,399 0,377 0,357 0,337 0,320 0,303 0,287 0,273 0,260 0,248 0,166 0,125 0,100 — 0,420 0,440 0,455 0,468 0,478 0,486 0,491 0,496 0,499 0,502 0,503 0,505 0,502 0,501 0,500 0,065 0,064 0,063 0,062 0,059 0,057 0,055 0,053 0,050 Ю,048 0,046 0,032 0,024 0,019 —

П р и м е р 2. Определить упругую поверхность пластины, свободно опертой на кромках х=0 и х=а и жестко заделанной на кромках у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru (рис. 32). Нагрузка, действующая на пластину, равномерно распределена по всей ее площади.

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

В рассматриваемой задаче прогиб пластины будет симметричен относительно оси ох и, следовательно, функции Кромки которых свободно оперты - student2.ru могут быть записаны в виде [см. формулу (219)]

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru (231)

Входящие в это выражение постоянные интегрирования Аm и Dm, должны быть определены из условий для функций Кромки которых свободно оперты - student2.ru при у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru . Так как кромки у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru жестко заделаны, то нетрудно получить, что функции Кромки которых свободно оперты - student2.ru на этих кромках удовлетворяют условиям

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru (232)

Подчиняя выражение (231) граничным условиям (232), получим систему алгебраических уравнений для определения постоянных Am и Dm

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Подставляя найденные значения постоянных в выражение (231), запишем

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Прогиб пластины будет определяться формулой

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (233)

Используя равенство (221), формулу (233) можно переписать в виде

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (234)

В полученном выражении второй член в правой части, как и раньше, учитывает влияние на прогиб пластины ограниченности ее размеров в направлении оси оу, а также заделку на кромках у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru .

После того как определен прогиб пластины, можно получить формулы, определяющие остальные элементы ее изгиба. В частности, изгибающий момент на кромках у = Кромки которых свободно оперты - student2.ru (в заделке) может быть определен по формуле

Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Дифференцируя два раза выражение (231) и подставляя уже найденные значения постоянных Аm и Dm получим

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (235)

Следовательно, изгибающий момент в заделке будет

Кромки которых свободно оперты - student2.ru (236)

Необходимые для практических расчетов величины наибольших изгибающих моментов, а также наибольшая стрелка прогиба могут быть определены по формулам.

Стрелка прогиба в центре пластины

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru (237)

Изгибающие моменты в центре пластины: М1—момент в сечении, перпендикулярном оси ох; М2—момент в сечении, перпендикулярном оси оу:

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru ;

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru ; (238)

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru ;

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Изгибающий момент по середине жестко заделанных кромок

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru

(239)

Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru

Входящие в формулы (237) —(239) коэффициенты ki определяются по табл. 7 в зависимости от отношения сторон пластины. Табл. 7 составлена для значения коэффициента Пуассона μ=0,3.

Таблица 7

Отношение сторон пластины   Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru
Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru Кромки которых свободно оперты - student2.ru
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 3,0 4,0 5,0 Кромки которых свободно оперты - student2.ru 0,0214 0,0276 0,0349 0,0425 0,0504 0,0582 0,0658 0,0730 0,0799 0,0863 0,0987 0,1276 0,1383 0,1412 0,1422   0,0332 0,0370 0,0401 0,0426 0,0446 0,0460 0,0469 0,0474 0,0476 0,0476 0,0477 0,0421 0,0390 0,0379 0,0375   0,0241 0,0309 0,0377 0,0447 0,0517 0,0585 0,0650 0,0711 0,0768 0,0821 0,0869 0,1144 0,1223 0,1243 0,1250   0.0698 0,0788 0,0868 0,0938 0,0998 0,1049 0,1090 0,1124 0,1152 0,1173 0,1191 0,1246 0,1250 0,1250 0,1250   0,0214 0,0228 0,0243 0,0255 0,0262 0,0270 — — — — 0,0284 — — — 0,0284   0,0332 0,0356 0,0374 0,0388 0,0399 0,0406 — — — — 0,0421 — — — 0,0417   0,0244 0,0230 0,0216 0,0202 0,0189 0,0172 — — — — 0,0142 — — — 0,0125   -0,0698 —0,0739 —0,0770 —0,0793 —0,0808 —0,0829 — — — — —0,0842 — — — —0,0833  

Наши рекомендации