Подталкиваемый ротор

Большинство дифференциальных уравнений, моделирующих физические системы, нельзя решить аналитически. Исключением из этого правила является класс задач с импульсными силами, крутящими моментами или напряжениями. В обсуждаемом здесь примере рассматривается ротатор с моментом инерции и затуханием , на который действует как постоянный крутящий момент , так и периодическая серия импульсных толчков.

Уравнение движения, описывающее изменение углового момента ротатора

, где .

Выражение обозначает дельта-функцию, которая равна нулю повсюду, кроме значений , и площадь под которой равна единице. В промежутки времени , где , изменение углового момента описывается соотношением

.

Если ротатор подталкивается вертикальной силой, то импульсный крутящий момент пропорционален . При уравнение имеет стационарное решение , . Чтобы получить отображение Пуанкаре, выберем сечение непосредственно перед каждым импульсом. Итак, определим , . Чтобы связать с , необходимо решить линейное дифференциальное уравнение для периода между импульсами и использовать условие скачка углового момента в момент импульса. Между импульсами скорость вращения ведет себя следующим образом (рисунок 1.79):

.

Рисунок 1.79 - Ротатор с вязким затуханием и периодическим крутящим моментом

С помощью этой процедуры можно получить следующее точное отображение Пуанкаре для рассматриваемой системы:

Эти уравнения были впервые получены русским физиком Заславским при изучении нелинейного взаимодействия двух осцилляторов. В рассматриваемом механическом аналоге этой задачи величина у аналогична частоте отдельного осциллятора.Это двумерное отображение часто делают безразмерным посредством соотношений

Тогда при и уравнения принимают вид

где фигурные скобки {} обозначают, что берется только дробная часть выражения (т.е. mod 1 или ). Кроме того, здесь введены обозначения , и . Величиной измеряется отклонение скорости вращения от невозмущенного равновесного значения (рисунок 1.80 )

Рисунок 1.80 - Странный аттрактор отображения Заславского для подталкиваемого ротатора

Можно показать, что при малых эта система двух разностных уравнений имеет хаотические решения только при выполнении следующих условий: .

На рисунке показано типичное решение, полученное для значений параметров и .