Закон сохранения импульса в электромагнитном поле

Для системы заряженных частиц и поля рассмотрим изменение импульса частиц, находящихся в объеме V. Можем написать

(1)

Здесь - полный импульс частиц. Из уравнения Максвелла второй пары имеем : и

Следовательно,

Симметризуем в последним уравнении, прибавив в правой части к нулю выражение:

Тогда имеем :

(2)

Рассмотрим интеграл следующего вида:

Равенство:

Вычитая одну формулу из другой получаем формулу:

Далее по теореме градиента: получаем, что

Учитывая симметрию 2-го интеграла формулы (2)отношение векторов и получаем выражение:

(3)

(4)

- тензор Максвеловских натяжений.

Пусть вектор поля стремится к нулю при быстрее чем , тогда поверхностный интеграл стремится к нулю.

Получаем, что (5)

Суммарный импульс системы состоящий из частицы поля сохраняется. Величина (6) - плотность импульса, т.е. (импульс единицы объема) электромагнитного поля.

Естественно, что (7) - импульс поля в объеме V.

Так согласно (5) имеет место закон сохранения суммарного импульса замкнутой системы. Передача импульса частицам сопровождается потерей импульса поля и наоборот.

В случае конечного объема V закон сохранения дается формулой (3), которую можно переписать в виде:

Пространстве - нормаль к поверхности поток импульса через единичную площадь из объема V сквозь S, т.е. сила действующая на единичную площадку поверхности.

Легко видеть, что между и вектором Пойтинга имеется связь: