Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы 11

Содержание

Техническое задание на курсовую работу со схемами 3

Выбор варианта схемы 4

Расчет простой электрической цепи 6

Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений 8

Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера 9

Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы 11

1. Техническое задание

Каждому студенту в соответствии порядковым номером по журналу выбрать вариант схемы по рисунку 1. Различные конфигурации схемы образуются в зависимости от положения ключей « К1 - К5 », которые устанавливаются по номеру варианта, представленному в двоичном коде. Номера позиций единиц и нулей в номере варианта следуют слева направо.

Определить величины элементов схемы рисунка 1 и частоту генераторов с помощью следующих формул:

R = 100 · [4 + 0,2 · N] [Ом]; ( 1 )

С = 100 · [5 + 0,2 · N] [Пф]; ( 2 )

Ėn = 2 · [7 + (-1) ^n+N · 0,2 · N] [В]; ( 3 )

fn = 10 · [7 + (-1)^N · 0,2 · N] [ кГц] , ( 4 )

где N - номер студента по журналу, а n – номер элемента в схеме.

Рисунок 1 – Схема электрической цепи для выбора своего варианта

В схеме, полученной в п. 3.1., исключить (замкнуть) все источники кроме Ė₁ и рассчитать, используя простые преобразования цепей, ток в цепи источника Ė₁. По результатам расчета построить векторную диаграмму. Осуществить моделирование цепи с помощью программы EWB-5.12 и определить значение тока в цепи источника Ė₁, а также напряжения на сопротивлении Z_экв и R.

Используя схему п. 3.1 рассчитать токи и напряжения на её элементах, используя формулы Крамера, а также обращение матриц. Осуществить проверку.

2. Выбор варианта схемы

Рисунок 1 – Схема электрическая цепи для выбора своего варианта.

Определяем положение переключателей К1-К5, в соответствии с номером варианта, представленном в двоичном коде.

Таблица 1-Положение ключей

Ключи	К1	К2	К3	К4	К5
Двоичная форма записи числа 2
Положение ключей

Устанавливаем переключатели К1-К5 в положения, соответствующие номеру в двоичной записи (рисунок 2).

Рисунок 2 – Схема электрическая цепи своего варианта

Номинальные значения элементов определяются по формулам:

Ом, R=100[4+0.2×11]=620Ом

пФ, C=100[5+0.2×11]=720 пФ

В

E1 = 18.4 e^27.2j В

E2 = 9.6 e^-27.2j B

E3 = 18.4 e^27.2j В

E4 = 9.6 e^-27.2j B

E5 = 18.4 e^27.2j В

кГц, f=10[7+(-1)¹¹ ×0.2×11]=48 кГц

3. Расчет простой электрической цепи

Определим ток в цепи источника Е₁, когда все остальные источники закорочены (удалены).

Заменим все элементы на их комплексные сопротивления (рисунок 3).

Рисунок 3 – Комплексная схема замещения

Упростим схему (рисунок 4), замещая его параллельные и последовательные соединения сопротивлений их эквивалентным сопротивлением.

Рисунок 4 – Комплексная схема замещения

Z1:=R+R Z1=1,24×10³

Z2:=(R×Zc)/(R+Zc) Z2=620 – 4,605i×10³

Z3=(Z1×Z2)/(Z1+Z2) Z3=1,124×10³ – 287,057i

Z4:=(Z3×Zc)/(Z3+Zc) Z4=946,074 – 487,588 i

Zэкв.:=(Z×Z4)/(Z+Z4) Zэкв.:=747,783 – 579,82i

Для построения векторной диаграммы будем использовать последнюю схему, для которой вычислим токи и напряжения на каждом из элементов (R, Z3экв).

I:=E/(R+Z4экв)I=7,933×10 ^-3 + 9,512i×10^-3

|I|=0,012 arg(I)×(180/π)=50,173

U_R:=IR U_R=4,918 + 5,897i

|U_R| =7,679 arg(U_R)×(180/π)=50,173

Uэкв.:=I×Zэкв, Uэкв.=11,447 + 2,513i

|Uэкв.| =7,679 arg(Uэкв.)×(180/π)=12,383

arg (E)×(180/π)=27,2

Построим векторную диаграмму

I

U_R

E1

Uэкв.

Рисунок 5 – Векторная диаграмма

Для проверки правильности вычислений смоделируем цепь в программе EWB-5.12б (рисунок 6).

Рисунок 6 – Моделирование цепи

Как видно из моделирования показания амперметра и вольтметров совпали с вычислениями => вычисления правильные.

4. Составление системы уравнений для расчета токов и напряжений

В начале составляем граф электрической схемы, по которому выбираются независимые контуры и задаются контурные токи (рисунок 7).

1 2 3 4

I₁ I₂ I₃

8 7 6 5

Рисунок 7 –Граф электрической схемы

Для этих контуров составляются уравнения по второму закону Кирхгофа с учетом совместного влияния одного контура на другой. Направление обхода во всех контурах выбираются одинаковыми (рисунок 8).

Рисунок 8 - Схема электрическая цепи для расчета токов и напряжений с указанием контурных токов, где I₁, I₂, I₃- контурные токи цепи.

Составим систему уравнения контурных токов по 2-му закону Кирхгофа с учетом совместного влияния одного контура на другой.

I₁(R+Z_с)–I₂Z_с­­=E₁–E₂ (R+Z)I₁-ZI₂=E₁-E₂

I₂(2Z_с+R)–I₁Z_с-I₃(R+Z_c)=E₂–E₁–E₃ -ZI₁+(2Z+R)I₂-ZI₃=E₂-E₃

I₃(Z_с+R)–I₂(R+Z_c)=E₃+E₄ –E₅ -ZI₂+(Z+2R)I₃=E₄

5. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом Крамера.

Найдем значения контурных токов I₁, I₂, I₃. Они определяются по формуле Крамера.

I=M_n/N, n=1,2,…l, где N- полный определитель матрицы, а M_n- определитель, получающийся из D при замене его элементов каждого столбца соответствующими левыми частями.

Определитель матрицы имеет вид:

Подсчитаем определитель, получающийся из D при замене его элементов каждого столбца соответствующими левыми частями:

контурные токи:

Ток контура I₁=I1/N

Ток контура I₂=I2/N

Ток контура I₃=I3/N

6. Расчет токов и напряжений в сложной электрической цепи методом обращения матрицы.

Определим эти же токи методом обращения матрицы, принимая во внимание выражение

где Z^-1_n- обратная матрица комплексных сопротивлений схемы, состоящая из коэффициентов

Итак, мы вычислили контурные токи другим методом, для проверки смоделируем цепь в EWB-5.12 (рисунок 9).

Рисунок 9 – Моделирование цепи

То есть значения контурных токов, посчитанные двумя разными способами, совпадают. Что свидетельствует о правильности вычислений.