Колебания в электростатическом поле

Задача 4. На горизонтально расположенном непроводящем стержне закреплены два маленьких тела, заряженных положительно (заряды нам неизвестны). Еще одно положительно заряженное тело - маленькая бусинка – может двигаться без трения вдоль стержня (рис. 9а). Бусинка совершает малые колебания около положения равновесия. Во сколько раз изменится период таких колебаний, если расстояние между неподвижными зарядами уменьшится вдвое (разумеется, их для этого придется переустановить)?

Решение

Пусть один из неподвижных зарядов равен Q и расстояние от него до равновесного положения бусинки с зарядом q составляет L. Тогда для второго заряда, равного nQ, это расстояние составит L . Сместим теперь заряд q вдоль прямой на очень малое расстояние х в сторону заряда nQ. Тогда сила, действующая на бусинку, будет равна

.

Мы пренебрегаем слагаемыми вида (x/L)² по сравнению с величинами x/L. Видно, что

ω² .

Рис. 9. Колебания заряда на стержне (задача 4) и колебания диполя в однородном электрическом поле (задача 5).

Задача 5.Электрический диполь состоит из двух заряженных тел с отношением заряда к массе η₁ = q₁/m₁ и η₂ = q₂/m₂ соответственно. Расстояние между телами фиксировано и равно L. Диполь помещен в однородное электрическое поле с напряженностью Е (рис. 9б). При каких условиях возможны малые колебания диполя и какова их частота? Силой тяжести пренебречь.

Решение

Колебания возможны только около положения устойчивого равновесия, которое реализуется, если дипольный момент параллелен вектору напряженности поля ( ­­ ). Если заряды не равны по величине, то система, установившись вдоль силовой линии, будет двигаться по ней с ускорением

и совершать малые (гармонические) колебания около этой силовой линии. Пусть φ – малый угол отклонения оси диполя от положения устойчивого равновесия. Пусть точка С – центр масс системы. Колебания будут совершаться относительно оси перпендикулярной силовым линиям проходящей через С. Уравнение моментов:

J_c φ" = - M; (54)

J_c – момент инерции системы относительно указанной оси, М - момент электростатических сил относительно этой же оси. Т.к. массы сосредоточены на материальных точках, то

J_c = m₁r₁²+ m₂r₂²,

где r₁ и r₂ – расстояния от точки С до соответствующих масс.

Суммарный момент сил

M = (q₁r₁ + q₂r₂) E sin φ.

С учетом малости угла уравнение колебаний примет вид

J_c φ" = - (q₁r₁ + q₂r₂) E φ.

Отсюда для собственной частоты ω₀ имеем:

ω₀² = .

Воспользуемся тем, что для центра масс m₁r₁ = m₂r₂ и r₁ + r₂ = L, что позволяет выразить отсюда r₁ и r₂:

r₁ = , r₂ = .

Окончательно имеем

ω₀² = = .