Критерии нильпотентности групп

Рассмотрим критерий нильпотентности групп и связь нильпотентной группы со своей подгруппой Фраттини.

Теорема 2.3 (Критерий нильпотентности). .

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть , . Покажем, что .

Так как , то и , а значит , следовательно .

2) Достаточность. Пусть , . Покажем, что . Пусть . Покажем, что . Достаточно показать, что . Допустим, что тогда существует , такая, что а по лемме 1.2.5 следует, что . Таким образом, следовательно . Получено противоречие. Таким образом, , а значит, . Отсюда следует, что . Теорема доказана.

Определение 2.3. Нормальный ряд группы G называется центральным, если , .

Определение 2.4. Группа называется нильпотентной, если обладает центральным рядом.

Теорема 2.4. Конечная нильпотентная группа является разрешимой.

Доказательство.

Пусть имеет нормальный ряд , где , . Покажем, что – абелева группа.

Так как и , (6). Обозначим , а . С другой стороны, так как , то есть , то . Но по (6) , значит где рассматривается как элемент из . Значит, – абелева группа. По определению 1.1.22 . Теорема доказана.

Теорема 2.5. (Фраттини). Подгруппа Фраттини конечной группы является нильпотентной.

Доказательство.

Пусть – конечная группа. Покажем, что . Пусть .

Покажем, что .

Так как , то по лемме 1.2.4 , а по теореме 1.2.5 . По теореме 1.2.6 . По замечанию 1.2.2 . Следовательно, , а значит , отсюда следует, что и . Теорема доказана.

Теорема 2.6. 1. .

2. .

Теорема 2.7. 1. Пусть . Если , то .

2. Если , то .

3. Если , то .

4. Если , то .

5. Если и , то .

6. Если – абелева группа.

7. .

Определение 2.5. Пусть – конечная группа. Наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы называется подгруппой Фиттинга и обозначается .

Теорема 2.8. (Фиттинга). Пусть – конечная группа. Тогда произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы является подгруппой Фиттинга то есть в конечных группах подгруппы Фиттинга существуют.

Лемма 2.1. 1. – наибольшая нормальная нильпотентная подгруппа группы G.

2. .

3.

Лемма 2.2. 1. ; если разрешима и , то .

2. = .

3. Если , то ; если, кроме того, абелева, то .

Теорема 2.9. 1. .

2. .

3. Если , то .

4. Если , то .

5. , где пробегает все главные факторы группы .

Теорема 2.10. Пусть . Если фактор-группа нильпотентна, то нильпотентна.

Теорема 2.11. Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда ее коммутант содержится в подгруппе Фраттини.

Определение 2.6. Нильпотентной длиной разрешимой группы называют наименьшее , для которого , и обозначают .

Лемма 2.3. 1. Если – разрешимая группа, то длина любого нормального ряда группы с нильпотентными факторами не меньше, чем .

2. Нильпотентная длина разрешимой группы совпадает с длиной самого короткого нормального ряда с нильпотентными факторами.

Метанильпотентные группы

Определение 2.7. Если фактор-группа нильпотентна, то группу называют метанильпотентной.

Теорема 2.12. 1. В разрешимой группе подгруппа Фиттинга совпадает с пересечением максимальных подгрупп, не содержащих подгруппу Фиттинга.

2. В разрешимой ненильпотентной группе пересечение максимальных подгрупп, содержащих подгруппу Фиттинга, метанильпотентно.

Доказательство.

Обозначим через пересечение всех максимальных подгрупп группы , не содержащих , а через пересечение максимальных подгрупп группы , содержащих . Ясно, что подгруппы и характеристические в группе и .

1. В фактор-группе подгруппа Фиттинга на основании леммы 2.2, поэтому . Предположим, что и – минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Так как подгруппа нормальна в группе и фактор-группа нильпотентна, то по теореме 2.7 подгруппа K нильпотентна и . Но теперь , то есть получили противоречие. Поэтому допущение неверно и , то есть .

2. Пусть – разрешимая нильпотентная группа. Ясно, что и . Поэтому метанильпотентна.

Заключение

В данном реферате были выполнены следующие задачи:

1. Рассмотрены определения нильпотентной группы, нильпотентной длины разрешимой группы, подгруппы Фиттинга, центрального ряда группы.

2. Изучены основные свойства нильпотентных групп. Рассмотрен критерий нильпотентности и связь нильпотентных групп с разрешимыми группами. Изучены свойства подгруппы Фитинга и свойство нильпотентности подгруппы Фраттини.

3. Исследована связь метанильпотентных групп с подгруппами Фиттинга конечных нильпотентых групп.

Список используемой литературы

1. Воробьев Н.Н. Алгебра классов конечных групп. Витебск: ВГУ имени П.М. Машерова, 2012.

2. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. - М.: Наука, 1982.

3. Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 3. Основные структуры алгебры. - М.: Физико-математическая литература, 2000.

6. Курош А.Г. Теория групп. – М.: Физико-математическая литература, 2011.

7. Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие. – Мн.: Вышэйшая школа, 2006.