Модуль 2 Элементы теории поля
2.1.В каждой точке поверхности , лежащей в первом октанте, уравнение которой , распределена масса с плотностью , где . Вычислить массу пластинки.
Решение. Масса вычисляется по формуле . Имеем:
, ,
.
Следовательно, масса
кв. ед.
2.2.Вычислить по нижней стороне поверхности , заданной уравнением над областью , ограниченной прямыми .
Решение.
В соответствии с теоремой существования и принимая во внимание, что поверхностный интеграл берётся по нижней стороне поверхности , получим |
2.3. С помощью формулы Остроградского вычислить интеграл , где – часть конической поверхности , а – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности.
Решение. Формула Остроградского применима в случае замкнутой поверхности.
Чтобы получить замкнутую поверхность, присоединим к поверхности конуса соответствующую часть плоскости . Обозначив эту часть плоскости через , по формуле Остроградского получаем:
.
Таким образом,
-
.
Для решения задачи необходимо вычислить интегралы, стоящие в правой части. В случае области – косинусы углов с осями координат нормали к плоскости , а именно: . Поэтому
,
Так как на плоскости и двойной интеграл равен площади круга радиуса , получающегося при пересечении конуса плоскостью.
При вычислении интеграла по объему производим сначала интегрирование по от до . Затем двойной интеграл по области в плоскости . Эта область является кругом . Она получается проецированием объема на плоскость .
Таким образом,
.
Обозначая последний интеграл через и переходя к полярным координатам по формулам
,
находим
.
Итак, .
2.4.Вычислить поверхностный интеграл по верхней стороне полусферы
Решение: Преобразуем уравнение поверхности к виду:
Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:
Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:
,
2.5 Найти объем шара
Решение: Найти объем шара можно по формуле:
2.6. С помощью формулы Стокса вычислить криволинейный интеграл
, где – окружность , пробегаемая против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны оси .
Решение.
В нашем случае , поэтому .
По формуле
, где – часть плоскости , ограниченная окружностью. Приводя уравнение окружности к нормальному виду, находим
.
Таким образом, , где – радиус круга, ограниченного указанной окружностью.
2.7. Найти частные производные функции
Решение.
2.8.Найти частные производные второго порядка функции
Решение. Так как и , то и . Смешанные производные и
2.9. Найти производную скалярного поля по направлению кривой от точки к точке в точке .
Решение. Найдём единичный вектор , касательный к параболе в точке . (рис.32). Найдём угловой коэффициент прямой, на которой лежит вектор : . Прямая имеет угловой коэффициент и проходит через точку , следовательно, её уравнение . | |
Запишем это уравнение в каноническом виде: . Вектор - направляющий вектор этой прямой, причём его направление соответствует направление на кривой от точки к точке . Соответствующий ему единичный вектор , т.е. его направляющие косинусы , .
Найдём теперь , , а тогда производная по направлению функции в точке по кривой от точки к точке будет
,
.
2.10.Найти дивергенцию векторного поля
в точке .
Решение. Вычислим частные производные в точке .
,
,
.
Подставляя полученные значения в формулу
, получаем:
.
2.11. Найти поток векторного поля из тела, ограниченного координатными плоскостями , , и плоскостью наружу по теореме Остроградского и непосредственно .
Решение. 1-й метод решения. Вычислим поток векторного поля по теореме Остроградского. Найдём . Имеем: , , . Значит, . Следовательно, . | |
Поток векторного поля .
2-й метод решения. Вычислим поток векторного поля с помощью интеграла первого рода.
Имеем: , где полная поверхность тела , состоящая из четырёх частей: ; здесь , и - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности;
, , ;
.
Поток можно представить в виде суммы четырёх потоков:
. Вычислим каждый из потоков:
1. , , т.е.
, , , .
Следовательно, , т.к. есть поверхность .
2. , , т.е.
, , .
Таким образом: . Здесь , : , следовательно, .
3. , , т.е.
, , ,
, т.к. на поверхности .
4. .
Поверхность имеет уравнение , следовательно,
,
тогда . Поверхностный интеграл здесь вычисляется по верхней стороне поверхности , значит направляющие косинусы нормали будут равны:
.
Тогда получим
.
Окончательно: .
3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода .
В нашем случае , как и в предыдущем случае, поток представим в виде суммы четырёх потоков соответственно, через поверхности , , , :
1. На , , а значит .
2. На , . Сторона поверхности, по которой вычисляется интеграл, нижняя. Нормаль к поверхности образует тупой угол с осью Ох. Значит
3. На , , сторона поверхности нижняя и .
4.
.
На .
Следовательно,
.
9.25 Найти ротор поля .
Решение.
= .
2.12. Вычислить циркуляцию векторного поля
по линии пересечения конуса с координатными плоскостями, лежащей в первом октанте, непосредственно и по теореме Стокса | |
Решение.
1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур можно разбить на три части: , и , лежащие в координатных плоскостях , и соответственно, таким образом циркуляция Ц=Ц1+Ц2+Ц3 , где
Ц1= . На кривой : , . Следовательно, Ц1= . Далее
Ц2= . На кривой : , т.е.
Ц2= . И, наконец,
Ц3= . На кривой : , , , , следовательно, Ц3= .
Окончательно Ц=Ц1+Ц2+Ц3 = .
2) Вычисление циркуляции по теореме Стокса:
Ц= .
Подставим сюда , получим
Ц1= . Перейдём в правой части к поверхностному интегралу первого рода Ц= , где интеграл вычисляется по верхней стороне поверхности .
Уравнение поверхности : , следовательно,
, , ;
; ; .
Подставляя найденные значения в выражение для циркуляции, получим
Ц= .
Перейдём к полярным координатам:
, , ,
тогда
Ц= .
Вычислим внутренний интеграл:
Тогда Ц= .
2.13Найти , если
Решение: Найдем скалярное произведение:
Найдем скалярное произведение:
2.14Найти поток векторного поля через сторону треугольника S, вырезанного из плоскости координатными плоскостями.
Решение:
2.15Найти div(grad u), если
Решение:
2.16Определить является ли векторное поле
потенциальным и найти его потенциал.
Решение:
Если поле потенциально, то должны выполняться следующие условия:
Эти условия эквивалентны условию равенства нулю ротора векторного поля, справедливость этого утверждения видна из формулы ротора.
Таким образом, поле потенциальное. Потенциал находится по формуле: