Математическое описание объекта управления

И внешней среды

Физическую систему, вкоторой осуществляется управление процессами, будем называть объектом управления. Это могут быть:

производственные предприятия: отдел, цех, завод, от­расль промышленности;

экономические системы: экономика предприятия, эко­номика отрасли промышленности.

Обозначим через х переменную, определяющую со­стояние объекта управления. Иногда она является одно­мерной или скалярной величиной.

В большинстве случаев для описания объекта управления требуется не одна, а несколько переменных х₁ , .., х_N . Они имеют различную физическую природу. Так например объемы выпускаемой продукции, а также производственные мощ­ности или ресурсы отдельных отраслей промышлен­ности. В этом случае состояние объекта управления будет описываться многомерной, т. е. век­торной переменной

х=(х₁ ..., x_N).

Величины х_i могут изменяться непрерывно в некото­ром диапазоне значений или принимать конечное мно­жество значений. В последнем случае k-e значение будем обозначаться следующим образом

Тогда множество

будет представлять собой пространство возможных со­стояний объекта управления.

Если величины х_i могут изменяться непрерывно, т. е. принимают бесконечное множество значений, то прост­ранство возможных состояний системы X будет беско­нечным множеством. Однако и в этом случае значения х_i обычно не могут быть какими угодно. На них могут накладываться ограничения (объемы ресурсов, возможности технологического оборудования), которые, как уже отмеча­лось, обычно имеют вид систем алгебраических уравне­ний или неравенств

Часто пере­менные х_i должны удовлетворять условию не отрицательности

Условие не отрицательности переменных определяется тем, что величины х_i не могут быть отрицательными по своему физическому смыслу (затраты, выпуск продукции, объемы перевози­мых товаров, размещенные различным образом суммы денег и т. п.). Задачи, в которых переменные могут быть произвольного знака, т. е. удовлетворяют ограничениям вида

где а_i — произвольные числа, легко преобразуются в за­дачи с неотрицательными переменными путем введения новых переменных

Наряду с переменной х_i состояние объекта управления может зависеть от множества не­контролируемых или не полностью контролируемых фак­торов, определяемых совокупностью внешних условий, в которых находится объект управления. К примеру, эпидемия гриппа или природные катаклизмы, срывы поставок, скачки цен на рынке и т.п.

Полную совокупность неконтролируемых внешних факторов, оказывающих влияние на процесс управления, будем называть состоянием природы и обозначать через J. Во многих случаях путем некоторой идеализации ре­альных явлений удается свести все бесчисленное много­образие внешних условий к конечному числу возможных состояний природы , т. е. ввести в рассмотре­ние конечное множество

называемое далее пространством состояний природы (внешней среды). Элементы множества в общем случае являются многомерными величинами

.

Невозможность полного контроля всех внешних фак­торов приводит к тому, что вместо точного знания со­стояния природы во многих случаях приходится огра­ничиваться лишь знанием вероятностей различных состояний природы

В ряде случаев состояние природы необходимо рас­сматривать как непрерывную случайную величину, для которой пространство состояний природы представля­ет собой бесконечное множество. В таких случаях распределение вероятностей превращается в плотность распределения вероятностей.

Для описания целенаправленного воздействия на объект управления введем переменную и, которую бу­дем называть управляющим воздействием или просто управлением. Слово управление будет в дальнейшем использоваться в двух смыслах:

1) управление как организационная деятельность, направленная на достижение определенных целей;

2) управление в смысле управляющего воздействия, т. е. некоторой физической величины, изменение которой производится по нашему желанию и которая воздейст­вует на характер процессов в объекте управления, из­меняя их в нужном направлении.

При управлении сложными объектами обычно при­ходится использовать несколько управляющих воздейст­вий , такчто управление и представляет собой в общем случае многомерную величину

Управляющие воздействия и_i (финансовые вливания в производство, замена технологического оборудования, изменение работников) в реальных системах не могут быть взяты какими угодно, а подвержены раз­личного рода ограничениям. Обозначим через U мно­жество всех значений управлений и, которые удовлетво­ряют поставленным ограничениям. При этом любое uÎU будет допустимым управлением.

Судить о том, насколько примененное управление и обеспечивает достижение поставленных целей, можно по значениям переменных состояния х. Однако во многих случаях это оказывается неудобным, так как цели уп­равления могут выражаться через переменные состояния достаточно сложным образом. Поэтому наряду с пере­менными состояния х удобно ввести в рассмотрение выходные переменные q, выражающие цели управления в явном виде.

Рис. 1. Структурная схема объекта управления

Выходными перемен­ными могут быть не только физи­ческие величины, но и экономи­ческие показатели, например, прибыль предприятия. В частности, крите­рий качества управления также может рассматриваться как выходная переменная.

Выходная переменная q зависит в первую очередь от состояния объекта управления х. Однако на нее могут оказывать влияние используемое управление и и внеш­ние неконтролируемые факторы J. Следовательно, урав­нение для выходной переменной в общем случае имеет вид:

q = Q(x, и,J).

Взаимодействие всех рассмотренных выше перемен­ных можно наглядно представить в виде структурной схемы объекта управления, показанной на рис. 1.