Пример выполнения задания 2.14

Пусть дана система

.

Исследуем систему на совместность и определённость методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы

.

Ко 2-й, 3-й и 4-й строкам прибавим 1-ю, умноженную, соответственно на числа 0.8, 1.5, 1.9. Получится матрица

.

Делим 2-ю строку на число -0.04, затем прибавляем к 1-й, 3-й и

4-й строкам 2-ю (новую), умноженную, соответственно, на числа

–0.2, 1.2 и 3.52. Получится матрица

.

Делим 3-ю строку на число 19.75, затем прибавляем к 1-й, 2-й и

4-й строкам 3-ю (новую), умноженную, соответственно, на числа 2.5, -15 и -59.25. Получится матрица

.

Процесс закончен. Последней матрице соответствует система:

или

которая эквивалентна первоначальной системе, так как мы зна-

ем, что на каждом шаге метода Гаусса система, соответствую-

щая матрице, остаётся эквивалентной исходной. По виду полу-ченной матрицы можем сделать выводы: система совместная,

неопределённая ранга 3, в качестве свободной неизвестной мож-

но взять , остальные неизвестные – главные. Обозначим:

- произвольный параметр. Тогда общее решение системы

запишется параметрически в виде

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дать определения операций сложения, умножения матриц, умножения матрицы на число.

2. Каким условиям должны удовлетворять размеры матриц при сложении, умножении?

3. В чём заключаются свойства алгебраических операций: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность? Какие из них выполняются для матриц при сложении, умножении, а какие нет?

4.Что такое перестановка порядка n?

5. Что такое инверсия?

6. Какие перестановки называются чётными, какие нечётными?

7. Сколько существует различных перестановок порядка n, сколько из них чётных?

8. Дать общее определение определителя квадратной матрицы.

9. В чём заключается правило треугольников ?

10. Перечислить свойства определителей.

11. Что такое единичная матрица, каковы её свойства ?

12. Что такое алгебраическое дополнение элемента матрицы?

13. Что такое обратная матрица? Для каких матриц она определена?

14. Сформулировать теорему о существовании и единственности обратной матрицы.

15. Сформулировать лемму о транспонировании произведения матриц.

16. Какие системы называются эквивалентными?

17. Какие системы называются совместными, несовместными, определёнными, неопределёнными, однородными, неоднородными?

18. Написать формулы Крамера.

19. Как записать и решить систему в матричной форме?

20. Что такое ранг матрицы? Сформулировать теорему Кроне-

кера-Капелли.

21. Что такое элементарные преобразования матрицы?

22. В чем заключается метод Гаусса для решения систем линей-

ных уравнений?

23. Как найти определитель матрицы методом Гаусса?

24. Как найти обратную матрицу методом Гаусса?

25. Как найти ранг матрицы методом Гаусса?

26. Как методом Гаусса определить, будет ли система совместной или нет, определённой или нет?

27. Как записать базисное множество решений неопределённой

системы?

28. Какие неизвестные называются главными, какие свободными?

29. Какими свойствами обладают решения однородной системы

линейных уравнений?

30. Может ли однородная система линейных уравнений быть не-совместной? При каком условии она имеет более одного решения?

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1984. 340с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линей- ной алгебры. М.: Наука, 1987. 292с.

3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элемен- ты линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:Наука, 1980. 312с.

4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Нау- ка, 1981. 207с.

5. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Линейная алгебра и основы математического анализа, / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1981. 464с.