Умова колінеарності двох векторів. Поділ відрізка в даному відношенні

1. Нехай ненульові вектори колінеарні, , тобто існує таке число , що . В координатній формі:

(1)

Отже, умовою колінеарності двох векторів є пропорційність їх відповідних координат.

Приклад. Чи колінеарні вектори

?

Розв’язання. За умовою =(1,2,-3),

=(-3,-6,9), а за

формулою (1) маємо , або ще можна записати .

2. Поділ відрізка в даному відношенні.Знайти координати точки М(х,у,z), яка ділить відрізок в заданому відношенні (рис. 14), якщо відомі координати точки і , тобто:

М

Рис.14

Розглянемо вектори і . Оскільки і , то згідно з умовою (1) колінеарності векторів маємо

Зокрема, якщо точка М ділить відрізок пополам, то і координати середини відрізка:

Задача. Знайти координати центра мас трикутника АВС, у вершинах А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4) якого зосереджені одиничні точкові маси.

Розв’язання.Побудуємо вершини трикутника за їх координатами (див. рис.) А(4,0,-2), В(-2,6,4), С(7,-3,4).

Знайдемо середину відрізка АВ, це точка М – основа медіани:

, M(1,3,1).

Відомо, що центр трикутника має знаходитись на перетині медіан, а медіани, перетинаючись, діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини, тобто

,

, .

Отже, Р(3,1,2)- центр мас трикутника АВС.