Гидростатика. Законы Паскаля и Архимеда

Плотность тела. По определению плотность однородного тела равна количеству вещества, содержащегося в единице объема тела:

(19.1)

Размерность плотности: [r] = кг/м³.

Если тело неоднородно, то его плотность есть функция координат точек тела. Плотность тела может зависеть и от времени (например, при распространении звуковой волны в воздухе r = r(r, t)).

Гидростатика. Жидкостью называется тело, которое способно деформироваться (течь) под воздействием сколь угодно малой касательной силы (этим определением в понятие жидкость включается и понятие газ; газ отличается от жидкости способностью сжиматься и расширяться). В состоянии равновесия в жидкости отсутствуют касательные напряжения, т.е. все силы, действующие на поверхность мысленно выделенного внутри жидкости объема произвольной формы, всегда направлены по нормали к поверхности. Кроме того, все силы на границе между жидкостью и сосудом, в котором она находится, также направлены по нормали к поверхности сосуда. Гидростатика изучает поведение жидкостей и газов в состоянии равновесия.

Гидростатическое давление. По определению давление есть отношение величины силы, приложенной по нормали к поверхности, к площади поверхности:

(19.2)

Давление измеряется в паскалях (Па): [p] = Па = Н/м².

Давление в несжимаемой жидкости. Пусть жидкость находится в сосуде, прикрытом подвижным поршнем. Выделим внутри жидкости объем в форме параллелепипеда с площадью основания S и высотой dy. Пусть p - давление на глубине y, а p + dp - давление на глубине у + dy. Силы, действующие на верхний и нижний торцы параллелепипеда, должны отличаться, чтобы скомпенсировать силу тяжести выделенного объема:

Баланс сил

откуда

Поэтому

Эта формула означает, что положительному приросту высоты dy соответствует уменьшение давления dp. Если принять, что давление на верхней поверхности у₂ = h равно р₀, то окончательная формула запишется в виде:

(19.3)

Следует подчеркнуть, что при выводе этой формулы неявно предполагалось, что жидкость несжимаема. Поэтому полученная формула неприменима для газов.

Давление, оказываемое на поверхность несжимаемой жидкости, находящейся в закрытом сосуде в состоянии гидростатического равновесия, передается без изменения к любой точке жидкости и к стенкам сосуда. (закон Паскаля)

На законе Паскаля основан принцип действия гидравлического подъемника и других устройств.

Закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная по величине весу жидкости, вытесненной телом, приложенная в центре тяжести объема вытесненной жидкости и направленная противоположно направлению вектора ускорения силы тяжести в данной точке.

Бернулли уравнение (гидродинамики)

Бернулли уравнение, основное уравнение гидродинамики, связывающее (для установившегося течения) скорость текущей жидкости v, давление в ней р и высоту h расположения малого объёма жидкости над плоскостью отсчёта. Б. у. было выведено Д. Бернулли в 1738 для струйки идеальной несжимаемой жидкости постоянной плотности r, находящейся под действием только сил тяжести. В этом случае Б. у. имеет вид:

v²/2 + plr + gh = const,

где g — ускорение силы тяжести. Если это уравнение умножить на r, то 1-й член будет представлять собой кинетическую энергию единицы объёма жидкости, а др. 2 члена — его потенциальную энергию, часть которой обусловлена силой тяжести (последний член уравнения), а др. часть — давлением p. Б. у. в такой форме выражает закон сохранения энергии. Если вдоль струйки жидкости энергия одного вида, например кинетическая, увеличивается, то потенциальная энергия на столько же уменьшается. Поэтому, например, при сужении потока, текущего по трубопроводу, когда скорость потока увеличивается (т.к. через меньшее сечение за то же время проходит такое же количество жидкости, как и через большее сечение), давление соответственно в нём уменьшается (на этом основан принцип работы расходомера Вентури).

Из Б. у. вытекает ряд важных следствий. Например, при истечении жидкости из открытого сосуда под действием силы тяжести (рис. 1) из Б. у. следует:

v²/2g = h или

т. е. скорость жидкости в выходном отверстии такова же, как при свободном падении частиц жидкости с высоты h.

Если равномерный поток жидкости, скорость которого v₀ и давление p₀, встречает на своём пути препятствие (рис. 2), то непосредственно перед препятствием происходит подпор — замедление потока; в центре области подпора, в критической точке, скорость потока равна нулю. Из Б. у. следует, что давление в критической точке p₁ = p₀ + rv²₀/2. Приращение давления в этой точке, равное p₁ - p₀ = rv²₀/2, называется динамическим давлением, или скоростным напором. В струйке реальной жидкости её механическая энергия не сохраняется вдоль потока, а расходуется на работу сил трения и рассеивается в виде тепловой энергии, поэтому при применении Б. у. к реальной жидкости необходимо учитывать потери на сопротивление.

Б. у. имеет большое значение в гидравлике и технической гидродинамике: оно используется при расчётах трубопроводов, насосов, при решении вопросов, связанных с фильтрацией, и т.д. Бернулли уравнение для среды с переменной плотностью р вместе с уравнением неизменяемости массы и уравнением состояния является основой газовой динамики.

Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. В расширенной модели идеального газа частицы, из которого он состоит, имеют также форму в виде упругих сфер или эллипсоидов, что позволяет учитывать энергию не только поступательного, но и вращательно-колебательного движения, а также не только центральные, но и нецентральные столкновения частиц и др.^[1].

Модель широко применяется для решения задач термодинамики газов и задач аэрогазодинамики. Например, воздух при атмосферном давлении и комнатной температуре с большой точностью описывается данной моделью. В случае экстремальных температур или давлений требуется применение более точной модели, например модели газа Ван-дер-Ваальса, в котором учитывается притяжение между молекулами.

Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна).