Передмова
Навчальний посібник орієнтований на студентів гуманітарних (тобто нематематичних) спеціальностей. Для чого їм, а також тим, ким вони стануть у майбутньому, потрібна математика? Відповідь, так би мовити, „на всі часи” дав у 1752 році геніальний Михайло Васильович Ломоносов. Йому було доручено скласти програми з фізики, хімії та математики для особливого навчального закладу – кадетського корпусу. З цього закладу в XVIII столітті вийшли майже всі видатні російські діячі – вчені, літератори, вищі чиновники, військові. Детально обґрунтувавши програми з фізики і хімії, стосовно математики М.В. Ломоносов обмежився одною-єдиною короткою фразою: „А математику вже тому вивчати слід, що вона розумові лад дає”. І якби не так розповсюджені зараз принцип мати сумнів у всьому й зневага до авторитетів, то цим можна було обмежитись щодо важливості математики для гуманітарієв. Але і до Ломоносова, і після нього великі люди, а тим паче видатні математики висловлювались і продовжують висловлюватись з цього приводу. Леонардо да Вінчі: „Найбільшу радість тілу дає світло сонця, а найбільшу радість духові дає світло математичних істин”. Генераліссімус О.В. Суворов: „Математика – це гімнастика розуму” . Один з найвидатніших філософів Іммануїл Кант: „У всякому знанні рівно стільки істини, скільки у ньому математики”. Нобелівський лауреат з фізики (автор відомого і найпопулярнішого курсу лекцій) Ричард Фейнман: „...у явищах природи є форми і ритми, недоступні оку споглядача, проте відкриті оку аналітика... математика – це мова плюс міркування, це начебто мова і логіка разом. Математика – це знаряддя для міркування... якщо ви хочете пізнати Природу, оцінити її красу, треба розуміти мову, якою вона розмовляє... ” Один з видатних математиків ХХ століття І.М. Яглом висловив думку, що для сучасності характерна все більша математизація гуманітарної царини і все більша гуманізація математики.
Очевидна й дедалі все очевиднішою стає прикладна значущість математики. Як спланувати виробництво, щоб воно було найбільш рентабельним в умовах наявних ресурсів і існуючої ситуації на ринку товарів? Як оптимально перевезти продукцію від фірм-виробників до фірм-споживачів? Як спрогнозувати попит на якийсь товар? Як оцінити, чи відображають результати соціологічного опитування дійсну суспільну думку? Як виробити оптимальну стратегію поведінки (конкретної особи або ж певної фірми) за умов неповної інформації про фактори впливу? Як з’ясувати відповідність чи невідповідність мовного нововведення канонам лінгвістики, естетики і національному мовному менталітету? Куди завтра полізуть курси валют і ціни на базарі? Як спланувати сімейний бюджет щодо корисного і не дуже дорогого харчування? Жодне серйозне питання в житті не може бути вирішене без його якомога більш глибокого аналізу. Основою аналізу (принаймні, це дуже бажано) є розрахунки. Розрахунки починаються тоді, коли „життєва” задача перекладена на математичну мову, тобто побудована математична модель задачі. Відповідно до класу, якому належить побудована математична задача, для її розв’язання застосовуються спеціальні математичні методи. Ці методи належать математичним дисциплінам, як то: математичне програмування, лінгвометрії, дослідження операцій, економетрія, теорія ігор, математична лінгвістика, соціально-економічна статистика, тощо. У свою чергу, зазначені дисципліни ґрунтуються на дисципліні, яка на гуманітарних спеціальностях ВНЗ’ів має назву „Вища математика”.
Припустимо, що ми переконали студента-гуманітарія у важливості вивчення математики, особливо вищої математики, і він готовий насолоджуватися світлом математичних істин. Як здійснити цей намір йому і його викладачу, який буде доносити істини? І це в умовах досить насичених навчальних програм, дефіциту навчального (аудиторного) часу, не дуже (м’яко кажучи) високого рівня шкільної підготовки, до якого долучається ще досить сильна строкатість академічної групи? Очевидно, треба вчити найголовнішому, тобто основам, застосовуючи індивідуальний підхід до найбільш підготовлених студентів, даючи їм більш складні завдання. Як зазначалось вище, математика – це спеціальна мова, словами якої є математичні терміни, які визначають певні математичні об’єкти, операції, конструкції. Дуже бажано і важливо вводити нові терміни мотивовано. Автор давно переконаний, що розвиток теорії, поява нових термінів і цілих нових розділів, ініціюється деякими важливими, цікавими задачами, проблемами, які на попередньому рівні теорії могли бути і були сформульовані, але розв’язані бути не могли. Розгляд таких задач перед введенням нових понять робить студента співучасником відкриття, обумовлює необхідність і природність цих понять. У свою чергу, опанування новими поняттями піднімає на вищий рівень, на якому можна бачити і ставити нові, більш складні задачі, для розв’язання яких потрібний подальший розвиток „мови”: нескінченний процес сходження на все вищі і вищі вершини. Навпаки, формулювання нових понять, а ще гірше, цілих „серій”, без такої мотивації вводить студента в розумовий ступор, з якого йому дуже складно вибратися.
Ще один дуже важливий момент. Це проблема доведень. Знання доведення математичного твердження дає не тільки внутрішню психологічну впевненість і естетичну насолоду глибиною математичної думки. Якщо ми розв’язуємо прикладну математичну задачу, то повинні враховувати те, що їй передували вибір суттєвих і абстрагування від несуттєвих чинників якоїсь „життєвої” ситуації. А якщо, раптом, ми в цьому абстрагуванні помилились, і математичний метод дав абсурдний результат? Знання доведень дозволяє розуміти „вузькі” (нестійкі, чутливі до збурень) місця методів, що застосовуються, передбачати кінцеві результати і, при необхідності, модифікувати і вдосконалювати застосовувані методи. В цьому питанні є ще один, вже загально-гуманітарний, аспект. Про нього пише один з провідних математиків сучасності, професор Московського університету і Сорбони, академік Російської, Французької, двох Американських, Папської (у Ватикані) Академій наук В.І. Арнольд: „Особливо небезпечна тенденція вигнання доведень зі шкільного навчання. Роль доведень в математиці подібна ролі орфографії і навіть каліграфії в поезії. Той, хто в школі не навчився мистецтву доведень, не здатний відрізнити правильне міркування від неправильного. Такими людьми легко маніпулювати безвідповідальним політикам. Результатом можуть стати масовий психоз і соціальні потрясіння”. Він же називає математику без доведень „набором кулінарних рецептів”. З іншого боку, видатний і знаменитий математик-прикладник першої половини ХХ століття, який спеціалізувався на суднобудуванні, академік О.Н. Крилов висловлювався так: „строге математичне доведення – це знущання логіки над розумом”. Чому так? Візьміть будь-яке більш-менш складне доведення і ви знайдете у ньому слова „очевидно”, „легко бачити”, „неважко помітити”, „після нескладних перетворень” і тому подібні. На цих словах закінчується строгість доведення. Як же бути? Автор вважає, що у ситуації вивчення математики гуманітарієм можна і треба обмежуватись обґрунтуваннями. Вони мають ґрунтуватися на типових прикладах, розгляді частинних випадків, висвітлення загальної структури, іноді, навіть, на непомітному „переступанні” через тонкі місця, але вони повинні формувати внутрішню впевненість у вірності формули, справедливості твердження, правильності методу.
Це є основні принципи, яких намагався дотримуватись автор.
Навчальний посібник містить традиційні розділи: „Аналітична геометрія”, „Лінійна алгебра”, „Математичний аналіз”„Збірник задач і вправ”, а також Додаток з орієнтовною програмою навчальної дисципліни „Вища математика” і зразками варіантів контрольних робіт і тестів з окремих тем.
Систематичному викладенню навчального матеріалу передує вступ, у якому на конкретних прикладах ілюструється метод математичного моделювання. Здійснюється наочна демонстрація того, як будується математична модель задачі з конкретної предметної області і як при розгляді математичної моделі природньо з’являється потреба у введенні певних понять і термінів. Для найпростіших задач дається розв’язання, розгляд більш складних обмежується побудовою математичних моделей, які розглядаються і досліджуються далі у відповідних розділах по мірі досягненню певного рівня знань.
Розділ „Аналітична геометрія” розпочинається параграфом „Метод координат”, у якому задача про побудову збагачувальної фабрики мотивує появу поняття числової осі, а її розв’язання демонструє небезпеку орієнтуватися на так званий здоровий глузд і інтуїцію навіть у простих питаннях. Задача про вибір місця для побудови водокачки використовує вже набагато більший арсенал засобів: декартову систему координат, різні види рівняння прямої, умову перпендикулярності прямих. В цих задачах ми „за фігурами бачимо числа”. Закінчує параграф задача, розв’язання якої використовує бачення „фігур за числами”: розв’язання параметричного рівняння. В §2 сутність методу координат ілюструється на важливих задачах знаходження точок перетину прямих ліній і площин, розгляд яких природньо виводить на поняття матриці і визначника 2-го і 3-го порядків і на правило Крамера для квадратних систем лінійних рівнянь. В §3 розглядаються базові поняття векторної алгебри і, знову ж таки, на важливих для практики задачах демонструється роль векторної алгебри як потужного підсилювача головного методу аналітичної геометрії – методу координат. Завершає розділ §7, у якому систематично розглядаютьсяметричні характеристики і взаємне розташування геометричних об’єктів, зокрема, задача про пару найближчих точок на двох мимобіжних прямих, яка вимагає комплексного володіння засобами методу координат і векторної алгебри. Дуже важливим є те, що при розв’язанні задач, у яких переплітаються фігури і числа, логічно і мотивовано, поступово, з’являються поняття і конструкції, які фактично утворюють понятійний каркас лінійної алгебри
Центральною темою розділу 2 „Лінійна алгебра” є розв’язання і дослідження систем лінійних рівнянь (СЛР). СЛР є найважливішою, найпоширенішою і найлегшою для розв’язання і аналізу (тому й найважливішою) математичною моделлю прикладної математики. СЛР є складовою частиною лінійного („нульового”) наближення будь-якої нелінійної математичної моделі. Тому розділ розпочинається з розгляду СЛР, у якому природньо виникають поняття n-вимірних векторів і n-вимірних лінійних векторних просторів, матриць довільних розмірів, визначників n-го порядку. Ці абстрактні поняття є безпосереднім узагальненням тих СЛР, матриць, векторів, визначників малих розмірів поруч з якими стоять геометричні фігури. Таким чином, здійснюється синтез абстрактних алгебраїчних понять з набутою геометричною інтуїцією.
Завершальна тема розділу – лінійна залежність і незалежність n-вимірних векторів, – у якій узагальнюються геометричні поняття колінеарності і компланарності і виконується заключний акорд теорії систем лінійних рівнянь – формулюється критерій сумісності СЛР.
Третій розділ посібника – „Математичний аналіз”. Усе в світі може бути виражено числами, а будь-які зміни в ньому – функціями – таку думку висловив геніальний геометр, першовідкривач неевклідової геометрії, яка є геометрією Всесвіту, Микола Іванович Лобачевский. „ Хто з нас не хотів би відтулити завісу, за якою приховане наше майбутнє?! ”, – початок промови знаменитого німецького математика Давіда Гільберта на всесвітньому математичному конгресі у 1900 році; на цьому конгресі він сформулював 23 математичні проблеми, які визначили і продовжують визначати розвиток математики. Як же здійснити науково обґрунтований прогноз, як передбачити хоча б найближчий розвиток подій? Найкращий спосіб – визначити відповідні найголовніші, визначальні числові характеристики і підібрати, сконструювати, побудувати ті функції, за якими змінюються числові характеристики. Математичний аналіз – це математичний аналіз (дослідження) функцій. Він достатньо глибоко і якісно може здійснюватися засобами елементарної математики. Але дуже важливі питання про мінімуми і максимуми, про середні значення вимагають застосування диференціального і інтегрального числень, що колись, власне, і визначало зміст терміну „вища математика”.
Функції – це числові величини. Тому розділ розпочинається поглибленим розглядом поняття числа і числових множин. Цей розгляд виводить на поняття послідовного (поступового) наближення чисел і числових величин, яке формалізується за допомогою поняття границі числових послідовностей і функцій. Це, в свою чергу, дозволяє ввести поняття похідної функції, яке є головним у розв’язанні найважливішої прикладної задачі аналізу – знаходженні екстремумів функцій. Від поняття похідної ми логічно переходимо до розгляду понять первісної функції, визначеного і невизначеного інтегралів і виходимо на головну теорему диференціального і інтегрального числення – формулу Ньютона-Лейбніца. Володіння поняттями похідної, диференціала і інтеграла дозволяє здійснити знайомство з диференціальними рівняннями – основним математичним апаратом для моделювання і аналізу (зокрема, аналізу стійкості) динамічних процесів. Завершує розділ розгляд питань, пов’язаних з аналізом функцій багатьох змінних.
Автор сподівається, що посібник стане у нагоді, в першу чергу, студентам-нематематикам і, хоч трохи, прояснить їм головні магістральні напрямки вищої математики та їх взаємозв’язок.