Алгоритм Брезенхема для генерации окружности

В растр нужно разлагать не только линейные, но и другие, более сложные функции. Разложению конических сечений, т. е. окружностей, эллипсов, парабол, гипербол, было посвящено значительное число работ . Наибольшее внимание, разумеется, уделено окружности. Один из наиболее эффективных и простых для понимания алгоритмов генерации окружности принадлежит Брезенхему . Для начала заметим, что необходимо сгенерировать только одну восьмую часть окружности. Остальные ее части могут быть получены последовательными отражениями, как это показано на рис. 5.1. Если сгенерирован первый октант (от 0 до 45° против часовой стрелки), то второй октант можно получить зеркальным отражением относительно прямой у = х, что дает в совокупности первый квадрант. Первый квадрант отражается относительно прямой х = 0 для получения соответствующей части окружности во втором квадранте. Верхняя полуокружность отражается относительно прямой у = 0 для завершения построения. На рис. 5.1 приведены двумерные матрицы соответствующих преобразований.

Рис. 5.1. Генерация полной окружности из дуги в первом октанте.

Для вывода алгоритма рассмотрим первую четверть окружности с центром в начале координат. Заметим, что если работа алгоритма начинается в точке х = 0, у = R, то при генерации окружности по часовой стрелке в первом квадранте у является монотонно убывающей функцией аргументам (рис. 5.2). Аналогично, если исходной точкой является у = 0, х == R, то при генерации окружности против часовой стрелки х будет монотонно убывающей функцией аргумента у. В нашем случае выбирается генерация по часовой стрелке с началом в точке х = 0, у = R. Предполагается, что центр окружности и начальная точка находятся точно в точках растра.

Для любой заданной точки на окружности при генерации по часовой стрелке существует только три возможности выбрать следующий пиксел, наилучшим образом приближающий окружность: горизонтально вправо, по диагонали вниз и вправо, вертикально вниз. На рис. 5.3 эти направления обозначены соответственно m_H, m_D, m_V. Алгоритм выбирает пиксел, для которого минимален квадрат расстояния между одним из этих пикселов и окружностью, т. е. минимум из

m_H = |(x_i + 1)² + (y_i)² -R²|

m_D = |(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R²|

m_V = |(x_i )² + (y_i-1)² -R²|

Рис. 5.2. Окружность в первом квадранте.

Рис.5.3. Выбор пикселов в первом квадранте.

Вычисления можно упростить, если заметить, что в окрестности точки (xi,yi,) возможны только пять типов пересечений окружности и сетки растра, приведенных на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Пересечение окружности и сетки растра.

Разность между квадратами расстояний от центра окружности до диагонального пиксела (x_i, + 1, у_i - 1) и от центра до точки на окружности R² равна

_i = (x_i + 1)² + (y_i -1)² -R²

Как и в алгоритме Брезенхема для отрезка, для выбора соответствующего пиксела желательно использовать только знак ошибки, а не ее величину.

При _i < 0 диагональная точка (x_i, + 1, у_i - 1) находится внутри реальной окружности, т. е. это случаи 1 или 2 на рис. 5.4. Ясно, что в этой ситуации следует выбрать либо пиксел (x_i, + 1, у_i), т. е. m_H, либо пиксел (x_i, + 1, у_i - 1), т. е. m_D. Для этого сначала рассмотрим случай 1 и проверим разность квадратов расстояний от окружности до пикселов в горизонтальном и диагональном направлениях:

 = |(x_i + 1)² + (y_i )² -R²| - |(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R²|

При  < 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше, чем до горизонтального. Напротив, если  > 0, расстояние до горизонтального пиксела больше. Таким образом,

при  <= 0 выбираем m_H в (x_i, + 1, у_i - 1)

при  > 0 выбираем m_D в (x_i, + 1, у_i - 1)

При  = 0, когда расстояние от окружности до обоих пикселов одинаковы, выбираем горизонтальный шаг.

Количество вычислений, необходимых для оценки величины , можно сократить, если заметить, что в случае 1

(x_i + 1)² + (y_i )² -R² >= 0

(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R² < 0

так как диагональный пиксел (x_i, + 1, у_i - 1) всегда лежит внутри окружности, а горизонтальный (x_i, + 1, у_i) - вне ее. Таким образом,  можно вычислить по формуле

= (x_i + 1)² + (y_i )² -R² + (x_i + 1)² + (y_i -1)² -R²

Дополнение до полного квадрата члена (y_i )² с помощью добавления и вычитания - 2y_i + 1 дает

= 2[(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R²] + 2y_i - 1

В квадратных скобках стоит по определению _i и его подстановка

 = 2( _i + y_i) - 1

существенно упрощает выражение.

Рассмотрим случай 2 на рис. 5.4 и заметим, что здесь должен быть выбран горизонтальный пиксел (x_i, + 1, у_i), так как .у является монотонно убывающей функцией. Проверка компонент  показывает, что

(x_i + 1)² + (y_i )² -R² < 0

(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R² < 0

поскольку в случае 2 горизонтальный (x_i, + 1, у_i) и диагональный (x_i, + 1, у_i -1) пикселы лежат внутри окружности. Следовательно,  < 0, и при использовании того же самого критерия, что и в случае 1, выбирается пиксел (x_i, + 1, у_i).

Если _i > 0, то диагональная точка (x_i, + 1, у_i -1) находится вне окружности, т. е. это случаи 3 и 4 на рис. 5.4. В данной ситуации ясно, что должен быть выбран либо пиксел (x_i, + 1, у_i -1), либо (x_i, , у_i -1). Аналогично разбору предыдущего случая критерий выбора можно получить, рассматривая сначала случай 3 и проверяя разность между квадратами расстояний от окружности до диагонального m_D и вертикального m_V пикселов,

т. е. ' = |(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R²| - |(x_i)² + (y_i -1)² -R²|

При'< 0 расстояние от окружности до вертикального пиксела (x_i, , у_i -1) больше и следует выбрать диагональный шаг к пикселу (x_i, + 1, у_i -1). Напротив, в случае'> 0 расстояние от окружности до диагонального пиксела больше и следует выбрать вертикальное движение к пикселу (x_i, , у_i -1). Таким образом,

при '<= 0 выбираем m_D в (x_i +1, , у_i -1)

при '> 0 выбираем m_V в (x_i, , у_i -1)

Здесь в случае ' = 0, т. е. когда расстояния равны, выбран диагональный шаг.

Проверка компонент ' показывает, что

(x_i )² + (y_i -1)² -R² >= 0

(x_i + 1)² + (y_i -1)² -R² < 0

поскольку для случая 3 диагональный пиксел (x_i +1, у_i -1) находится вне окружности, тогда как вертикальный пиксел (x_i, , у_i -1) лежит внутри ее. Это позволяет записать ' в виде

' = (x_i +1)² + (y_i -1)² -R² + (x_i )² + (y_i -1)² -R²

Дополнение до полного квадрата члена (x_i)² с помощью добавления и вычитания 2x_i + 1 дает

' = 2[(x_i +1)² + (y_i -1)² -R²] - 2x_i - 1

Использование определения _i приводит выражение к виду

' = 2( _i - x_i )- 1

Теперь, рассматривая случай 4, снова заметим, что следует выбрать вертикальный пиксел (x_i, у_i -1), так как у является монотонно убывающей функцией при возрастании х.

Проверка компонент ' для случая 4 показывает, что

(x_i +1)² + (y_i -1)² -R² > 0

(x_i )² + (y_i -1)² -R² > 0

поскольку оба пиксела находятся вне окружности. Следовательно, ' > 0 и при использовании критерия, разработанного для случая 3, происходит верный выбор m_V.

Осталось проверить только случай 5 на рис. 5.4, который встречается, когда диагональный пиксел (x_i, , у_i -1) лежит на окружности, т. е. _i = 0. Проверка компонент  показывает, что

(x_i +1)² + (y_i)² -R² > 0

(x_i +1)² + (y_i -1)² -R² = 0

Следовательно, > 0 и выбирается диагональный пиксел (x_i +1 , у_i -1) . Аналогичным образом оцениваем компоненты ' :

(x_i +1)² + (y_i -1)² -R² = 0

(x_i +1)² + (y_i -1)² -R² < 0

и ' < 0, что является условием выбора правильного диагонального шага к (x_i +1 , у_i -1) . Таким образом, случай _i = 0 подчиняется тому же критерию, что и случай _i < 0 или _i > 0. Подведем итог полученных результатов:

_i < 0

<= 0выбираем пиксел (x_i +1 , у_i ) - m_H

 > 0 выбираем пиксел (x_i +1 , у_i -1)-m_D

_i > 0

' <= 0 выбираем пиксел (x_i +1 , у_i -1) - m_D

' > 0 выбираем пиксел (x_i , у_i -1)- m_V

_i = 0 выбираем пиксел (x_i +1 , у_i -1) - m_D

Легко разработать простые рекуррентные соотношения для реализации пошагового алгоритма. Сначала рассмотрим горизонтальный шаг m_H к пикселу (x_i + 1, у_i). Обозначим это новое положение пиксела как (i + 1). Тогда координаты нового пиксела и значение _i равны

x_i₊₁ = x_i +1

y_i+1 = y_i

_i₊₁ = (x_i₊₁ +1)² + (y_i₊₁ -1)² -R²_i + 2x_i₊₁+ 1

Аналогично координаты нового пиксела и значение _i для шага m_D к пикселу (x_i + 1, у_i -1) таковы:

x_i+1 = x_i+1

y_i+1 = y_i -1

_i+1 = _i + 2x_i+1 - 2y_i+1 +2

То же самое для шага m_Vк (x_i, у_i -1)

x_i+1 = x_i

y_i+1 = y_i -1

_i+1 = _i - 2y_i+1 +1

Реализация алгоритма Брезенхема на псевдокоде для окружности приводится ниже.