Формула стокса

Для поверхностных интегралов имеет место формула, позволяющая свести вычисление интеграла по поверхности σ к вычислению криволинейного интеграла по контуру L , ограничивающему эту поверхность.

Теорема Стокса. Если функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка, то имеет место формула

, (*)

где L - граница поверхности σ .

Направление криволинейного интеграла (вдоль L) и поверхностного (по σ) интегрирований согласованы между собой следующим правилом:

если человек, идущий по той

z σ стороне поверхности σ, по которой

производится поверхностное

L интегрирование, перемещается

вдоль границы L в направлении

криволинейного интегрирования,

то поверхность должна оставаться

слева.

0 y

D

x L₁

Формула (*) называется формулой Стокса.

Доказательство. Докажем теорему путем сведения поверхностного интеграла к двойному с последующим применением формулы Грина.

Будем считать, что поверхность σ пересекается с любой прямой, параллельной оси oz не более, чем в одной точке. Тогда уравнение этой поверхности будет z = z (x, y). Интегрирование будем вести по верхней стороне поверхности.

Рассмотрим интеграл

Из формулы определения поверхностного интеграла имеем

где γ и β – углы между нормалью и осями oz, oy

т.к. уравнение поверхности σ: z = z (x,y), то проекциями нормального вектора будут , , -1, Направляющие косинусы пропорциональны этим проекциям, то поэтому .

Значит

Приведем этот интеграл к двойному. z заменим на z(x,y) и

Таким образом, полагая , имеем ,

где D – проекция поверхности σ на плоскость xoy.

Применяя формулу Грина, получим

,

где L₁ – граница области D. Контур L₁ – есть проекция кривой L – границы поверхности σ на плоскость xoy.

Итак, (1)

Аналогично (2)

(3)

Складывая почленно равенства (1), (2), (3) получим формулу Стокса.

Пример. Вычислить

,

где L – линия пересечения поверхностей

, , , ,

z

В

C

A

0 1 у

По формуле Стокса получим

Каждый из них сведем к двойному интегралу

Окончательно J = -14.