Свободные колебания в реальном LC - контуре

Простой и широко используемой в радиоэлектронике линейной системой с постоянными параметрами является колебательный контур, содержащий емкость C, индуктивность L и сопротивление R (рис. 1). Сопротивление R учитывает сопротивление потерь конденсатора и индуктивности.

Пусть в момент времени t=0 конденсатор имеет заряд . Найдем закон изменения во времени заряда на конденсаторе.

По закону Кирхгофа:

(1)

В контуре действует только ЭДС самоиндукции , поэтому:

(2)

Напряжение равно сумме напряжений на активном резисторе и емкости:

(3)

Подставим в уравнение (1) уравнения (2) и (3), получим:

(4)

Разделим (4) на L ( ) и, обозначив через , , ( - коэффициент затухания, -собственная частота) получим:

(5)

Уравнение (5) линейное, однородное, дифференциальное уравнение описывает свободные колебания в контуре с учетом потерь энергии в отсутствие внешних воздействий. Общее решение уравнение (5) будем искать в виде:

(6)

где -корни характеристического уравнения , т.е.

(7)

При этом различают три случая:

а) - случай малого сопротивления,

б) - случай большого сопротивления,

в) - предельный случай.

а) или

Учитывая, что волновое сопротивление , последнее неравенство может быть записано так .

Для этого случая решение уравнения (5) имеет вид:

(8)

Колебания, описываемые формулой (8) представляют собой свободные затухающие колебания. Эти колебания не являются периодическими, т.к. выражение переменно и убывает по экспоненциальному закону (рис. 2.а).

Однако, по аналогии со свободными колебаниями и здесь вводят частоту и период колебаний.

Частота колебаний тока в контуре при наличии сопротивления равна:

(9)

т.е. .

Период колебаний T при наличии сопротивления цепи равен:

Для идеального контура , тогда

(10)

Период затухания колебаний больше периода собственных колебаний. Если , тогда .

Решение (8) можно представить графически (рис. 2а).

б) . В этом случае . В контуре совершается затухающее апериодическое колебание согласно уравнению:

(11)

Вследствие изменения по показательному закону, колебание быстро затухает. Характер колебаний зависит от начальных условий. Если , а , то графическое решение уравнения (11) имеет вид, представленный на (рис. 2б). Конденсатор С цепи успевает один перезарядиться.

в) , тогда .

Решение дифференциального уравнения (5) находят в виде:

(12)

На рис. 2в представлено графическое изображение уравнения (12).

Обычно в колебательном контуре потери энергии таковы, что выполняется условие а). Для реализации условий б) и в) вводят в контур добавочное сопротивление.

К величинам, характеризующим быстроту затуханий колебаний в колебательном контуре, относятся коэффициент затухания , логарифмический декремент затухания d, добротность Q.

1. Коэффициент затухания характеризует быстроту затухания колебаний в контуре. Для выяснения физического смысла , возьмем интервал времени , такой, чтобы по его истечению амплитуда колебаний уменьшалась в e раз:

, (13)

при этом совершается N целых колебаний:

(14)

В момент времени t заряд изменяется по закону:

(15)

В момент времени измерение заряда равно:

(16)

Подставив (14) и (15) в (13), получим:

.

Сравнивая показатели степени, имеем:

(17)

Таким образом, коэффициент затухания есть временная характеристика, величина, обратная тому промежутку времени , по истечении которого амплитуда колебаний в контуре уменьшается в e раз.

2. Логарифмический декремент затухания d.

Декремент затухания характеризует уменьшение амплитуды колебаний за период . Логарифмический декремент затухания d равен натуральному логарифму этого отношения:

(18)

(19)

Учитывая формулу (19), получим:

(20)

Формула (20) выражает связь d с параметрами контура.

Если , то

(21)

Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания d. Для этого из формулы (14) найдем период, подставим его значение в формулу (19) и учитывая (17), получим:

(22)

Логарифмический декремент затухания числовая характеристика, величина, обратная тому числу полных колебаний, по истечении которых амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Чем меньше d, тем большее число колебаний совершится до их полного затухания. Запасенная энергия в контуре определяется выражением:

(23)

Энергия, израсходованная контуром за половину периода:

(24)

В течение периода можно считать, что ток изменяется по гармони-ческому закону, тогда:

(25)

Найдем отношение:

(26)

(26а)

Логарифмический декремент затухания является обратной энергетической характеристикой: чем больше расход энергии при колебаниях и чем меньше запас энергии в контуре, тем больше .

3. Добротность колебательного контура

(27)

В (27) подставим формулу (20)

, (28)

если , то .

Добротность контура равна отношению волнового сопротивления к активному; это безразмерная величина.

Добротность - это энергетическая характеристика контура. Подста­вим (25а) в (26), получим:

(30)