Деформация жылдамдығы тензоры

Деформациялар жылдамдықтары. Қараушы кеңістігінде бекітілген декарттық координаттар жүйесін хi қолданайық. Тұтас орта қозғалатын аймақта көлемі W болатын элементі бөліп алайық және осы көлемде орналасқын М және N нүктелеріне қарайық. Бөлінген М нүктенің радиус-векторы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru болсын, ал оған жақын орналасқан N нүктесінің радиус-векторы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru болсын (10.2 сурет). М нүктесінің жылдамдығы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , ал көрші N нүктесінің жылдамдығы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru тең болсын, онда дифференциал мынаған тең: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Тензорды Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ( Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru векторының векторлық аргумент бойынша Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru туындысы) симметриялық және қисық симметриялық тензорлардың қосындысына бөліп мынаны табамыз: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.3)

10.2 – сурет. Тұтас ортаның ағысы
Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru

Осылай тензорды симметриялық және қисық симметриялық тензорлардың қосындысына бөле отырып N нүктесінің жылдамдығын былай табайық:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.4)

Үшінші қосындыны өзгертейік. Оқулық [1] келтірілген мәліметтерді пайдалана отырып қисық симметриялы тензорды мынандай түрге келтіруге болады:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ,

мұндағы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ; Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ; Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Жылдамдық құйынын есептеудің формуласын еске ала отырып, вектор Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru (сыңарлары Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ) жылдамдық өрісімен Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru мынандай теңдікпен байланысты екендігін еске түсіреміз:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Осындай математикалық талдаудан кейін мынаны жазуға болады:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Анықталған формулаларды (9.4) теңдеуіне қойып мынандай теңдеуді аламыз:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.5)

Жоғарыда жазылған ең соңғы формула N нүктесіндегі жылдамдық үш қосылғыштың қосындысынан тұратынын көрсетеді. Бірінші қосылғыш, ол элемент W-ның үдемелі қозғалысының жылдамдығы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , екінші қосылғыш, ол қатты дененің айналуымен байланысты жылдамдық Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , ал үшінші қосылғыш, ол элементтің илемділік деформациясымен байланысты жылдамдық Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Деформация жылдамдығының тензоры. Мынандай симметриялық тензорды:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , (10.6)

Мұндағы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , (10.7)

деформация жылдамдығы тензоры деп атайды.

Осы тензордың сыңарларында қандай геометриялық мән бар екендігін қарайық.

t уақытысына мынандай өсімшені берейік: dt. Онда ортаның бөлшектері мынандай өте кішкентай мөлшерге орын ауыстырады: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Орын ауыстыру өрісіне Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru мынандай деформация тензоры сәйкес келеді:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Деформация сыңарларын Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru уақыт өсімшесіне dt бөле отырып, осы dt-ны нөльге ұмтылдырайық. Сонда алынатын мынандай мөлшер:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru (10.8)

деформация жылдамдығы деп аталады.

Тензордың Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru қиғаш сызықтағы сыңарлары элементарлы кесіндінің салыстырмалы ұзаруы жылдамдығы болып саналады. Осы салыстырмалы ұзару жылдамдығы координатты оське параллельді болады.

Тензордың Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru бұйірдегі сыңарларын тік бұрышты кесінділердің бұрылу жылдамдығы немесе ығысу деформациясының жылдамдығы деп атайды.

Басты деформация жылдамдығы. Симметриялы деформация жылдамдығы тензорын Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru координатты осьтерді бұру арқылы мынандай диагональды түрге келтіруге болады:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.9)

Деформация жылдамдығының бас сыңарлары мынандай теңсіздікті қанағаттандырады: ξ1 ≥ ξ2 ≥ ξ3.

Жаңа координатты жүйеде тензордың бұйірдегі сыңарлары нөльге тең болады, яғни нөльден айырмашылықта тек координатты осьтер бағытындағы сызықты деформация жылдамдықтары болады. Басқаша айытқанда жаңа координатты осьте тензордың ығысу деформациясы жылдамдықтары нөльге тең болады. Осындайда, координатты жазықтықтарға параллельді қырлары (биіктігі dl) және Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru көлемі бар элементарлы куб dt уақытысында қырлары dl(1 + ξi)dt және көлемі ω болатын тікбұрышты параллелепипедке айналады. Осындайда, тым жоғары реттікті шексіз кішкентайға дейінгі дәлдікпен көлемнің салыстырмалы өзгеруі мынаған тең: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Деформация жылдамдығының бас сыңарлары мынандай сипаттамалық теңдеудің нақты түбірлері болады: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru немесе жайылған түрде жазған кезде

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.10)

Деформация жылдамдығы тензорының инвариантары мынаған тең:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ; (10.11)

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ; (10.12)

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.13)

Бірінші инвариантың физикалық мағанасы бар. Бұл мағана бойынша бірінші инвариант көлемнің салыстырмалы өзгеруінің жылдамдығына тең. Осы физикалық мағана мынандай теңдіктен де шығады:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.14)

Деформация жылдамдығының девиаторы. Деформация жылдамдығы тензорын девиатор Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru мен шар тензорының Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru қосындысы түрінде былай көрсетуге болады:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , (10.15)

мұндағы Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru немесе

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.16)

Анықтама бойынша девиатордың бірінші инварианты нөльге тең емес. Сондықтан девиатор орта элементінің көлемінің өзгеруімен байланысты емес, осы орта элементінің деформациясы жылдамдығын сиппатайды.

(10.15) формуласы ортаның шексіз кішкентай элементінің деформация жылдамдығын мынандай екі деформацияның қосындысы ретінде көрсетеді: олардың біріншісі девиатормен бейнеленеді және ол элемент көлемінің өзгеруінсіз, осы элемент пішінің бұрмалану жылдамдығын сипаттайды, ал екінші құраушысы (шарлық тензор) осы элементті біркелкі барлық жақтан созуды немесе қысуды сипаттайды.

Девиатор сыңарларын былай деп белгілейік: ηik; ηik = ξik – ξоδik.

Деформация жылдамдығы девиаторының тензоры Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru = Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru симметриялы болғандықтан, оны диоганаль түріне келтіруге болады. Деформация жылдамдығы девиаторының басты бағытымен тензордың басты бағыты бір-біріне сәйкес келеді.

Сиппатамалық теңдеуде мынандай түр бар:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru немесе Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , (10.17)

өйткені оның бірінші инварианты нөльге тең. Деформация жылдамдығы девиаторының екінші және үшінші инвариантары мынандай формулалармен анықталады:

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru (10.18)

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.19)

Қарауымызға ығысу деформациясы жылдамдығының қарқындылығы деген түсінікті кіргізейік: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru . (10.20)

Ығысу деформациясының дәрежесі. Жылдамдықтар өрісін біліп материальды бөлшектің басты және ағымдағы координаттар байланысын анықтауға және деформацияны есептеуге ауысуға болатындығын біз жоғарыда айыттық.

Беріктену нәтижелерін сипаттағанда материальды бөлшектердің айналасында қосынды пішін өзгертуді анықтау маңызды рольді атқарады. Қосынды пішін өзгертудің мөлшері болып мынандай ығысу деформациясының дәрежесі есептеледі: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , (10.21)

Интегралдауды материальды бөлшектің бүкіл траекториясы бойымен орындайды, яғни бастапқы жайдан (τ = 0) ағымдағы жайға дейін (τ = t).

Маңызды болып мына формула есептеледі: Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Осы формула ығысу деформация жылдамдығының қарқындылығы мен ығысу деформациясының дәрежесін байланыстырады.

Деформация жылдамдығының бірлестік теңдеулері. Деформацияның және деформация жылдамдығы сыңарларын анықтағанда қолданылатын байланыстардың ұқсастықтарын ескеріп, яғни

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ; Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ,

оқулық [1; 4] деформация жылдамдығы тензоры сыңарларының бірлестік теңдеулері келтірілген.

Цилиндрлік координат жүйесінде деформация жылдамдығы сыңарлары үшін мынандай формулаларды келтірейік ( Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ):

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru (10.22)

Сфералық координат жүйесінде деформация жылдамдығы сыңарларын былай анықталады ( Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru ):

Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru (10.23)

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 3, бет 77 – 100); [2] (тарау 3, бет 51 – 72); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4] (тарау 4, бет 99 – 109).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 3, бет 158 – 169).

Бақылау сұрақтары:

1. Ток сызығы дегеніміз не?

2. Траектория дегеніміз не?

3. Қандай жағдайда ток сызығы мен траектория бір-біріне сәйкес келеді?

4. Деформация жылдамдығы тензоры сыңарларын қандай формулалармен анықтайды?

5. Деформация жылдамдығының бас сыңарларын қалай анықтайды?

6. Деформация жылдамдығының девиаторы қандай формуламен анықталады?

7. Деформация жылдамдығы тензорының инвариантары қандай формуламен анықталады?

8. Ығысу деформациясының дәрежесі қандай формуламен анықталады?

9. Деформациян жылдамдығының бірлестік теңдеулері қандай формулалармен табылады?

№11 дәріс. Анықтаушы теңдеулер. Реологиялық модельдер.

Кинематикалық байланыстар мен сақталу заңдары, бастапқы және шекаралық шартармен бірге тұтас орта қозғалысын толық бейнелеуге мүмкіндік беретін толық теңдеулер жүйесін бермейді. Осы жүйені тұйық етіп жасап тұтас орта қозғалысын бейнелеу үшін қосымша байланыстар қажет. Айтылған байланыстарға зерттелетін ортаның нақтылы физикалық қасиетін сипаттайтын анықтаушы деп аталатын теңдеулер жатады.

Анықтаушы теңдеудің мысалы ретінде жылулық ағын векторын Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru температура градиентімен J байланыстыратын жылу өткізгіштік теориясының теңдеуін Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru (Фурье заңы) келтіруге болады. Анықтаушы теңдеудің басқа мысалы болып классикалық серпімділік теориясында кернеу мен деформацияны байланыстыратын Гук заңы саналады.

Әр түрлі орта үшін кернеу, деформация, деформация жылдамдығы, температура өрістері арасында байланыстың жалпы түрін орнататын феноменологиялық анықтаушы теңдеулердің жалпы теориясын жасау тұтас орта механикасының бір маңызды проблемалары болып саналады.

Қағида бойынша анықтаушы теңдеулер тәжірибелік зерттеулер нәтижесі негізінде шығарылады. Осы эмпиризмдік байланыстар тәжірибе жүргізілген жағдайдан айырмашылықта болатын жағдайда материалдардың жүріс-тұрысын дұрыс бейнелей алу үшін, жоғырада айтылған қатнастарды лайықты қанағаттандыратын кейбір ережелерді орнату қажет. Осы ережелер ішінде ең маңызды ретінде макроскопиялық анықтықтың, физикалық рұқсат қылудың және есептеу жүйесінен тәуелсіздіктің принциптерін айтып кетуге болады.

Осы принциптердің біріншісі тұтас ортада жүретін термеханикалық процесс түсінігімен байланысты. Белгіленген материальды бөлшек М Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru айналасын қарап, егер осы бөлшек үшін Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru аралығындағы уақыт бойынша үздіксіз дифференциалданатын функция түрінде деформация тензоры берілсе, онда деформация процесі берілген деп айтатын боламыз, яғни Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

Осыған ұқсас, материальды бөлшек айналасында М Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru , егер уақыт бойынша үздіксіз дифференциалданатын функция түрінде кернеу тензоры берілсе, онда жүктеу процесі берілген деп айтатын боламыз, яғни Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru .

А. А. Ильюшинмен тұжырымдалған макроскопиялық анықтықтың постулаты (принципі) мынаны мақұлдайды: берілген зат үшін термомеханикалық күй, яғни t уақытысында материальды бөлшек М Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru үшін кез-келген термомеханикалық макроскопиялық мөлшер, бір мағаналы осы бөлшек үшін Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru процесімен және Деформация жылдамдығы тензоры - student2.ru бастапқы мәндермен анықталады.

Физикалық рұқсат қылудың принципі анықтаушы теңдеулер сақталудың физикалық заңдарымен сәйкес болу керектігін талап етеді.

Есептеу жүйесінен тәуелсіздіктің принципінен күйлер теңдеуі байқаушының координат жүйесін түрлендіруіне қатысты коварианты болу керектігі шығады.

Наши рекомендации