Деформация жылдамдығы тензоры

Деформациялар жылдамдықтары. Қараушы кеңістігінде бекітілген декарттық координаттар жүйесін х_i қолданайық. Тұтас орта қозғалатын аймақта көлемі W болатын элементі бөліп алайық және осы көлемде орналасқын М және N нүктелеріне қарайық. Бөлінген М нүктенің радиус-векторы болсын, ал оған жақын орналасқан N нүктесінің радиус-векторы болсын (10.2 сурет). М нүктесінің жылдамдығы , ал көрші N нүктесінің жылдамдығы тең болсын, онда дифференциал мынаған тең: .

Тензорды ( векторының векторлық аргумент бойынша туындысы) симметриялық және қисық симметриялық тензорлардың қосындысына бөліп мынаны табамыз: . (10.3)

10.2 – сурет. Тұтас ортаның ағысы

Осылай тензорды симметриялық және қисық симметриялық тензорлардың қосындысына бөле отырып N нүктесінің жылдамдығын былай табайық:

. (10.4)

Үшінші қосындыны өзгертейік. Оқулық [1] келтірілген мәліметтерді пайдалана отырып қисық симметриялы тензорды мынандай түрге келтіруге болады:

,

мұндағы ; ; .

Жылдамдық құйынын есептеудің формуласын еске ала отырып, вектор (сыңарлары ) жылдамдық өрісімен мынандай теңдікпен байланысты екендігін еске түсіреміз:

.

Осындай математикалық талдаудан кейін мынаны жазуға болады:

.

Анықталған формулаларды (9.4) теңдеуіне қойып мынандай теңдеуді аламыз:

. (10.5)

Жоғарыда жазылған ең соңғы формула N нүктесіндегі жылдамдық үш қосылғыштың қосындысынан тұратынын көрсетеді. Бірінші қосылғыш, ол элемент W-ның үдемелі қозғалысының жылдамдығы , екінші қосылғыш, ол қатты дененің айналуымен байланысты жылдамдық , ал үшінші қосылғыш, ол элементтің илемділік деформациясымен байланысты жылдамдық .

Деформация жылдамдығының тензоры. Мынандай симметриялық тензорды:

, (10.6)

Мұндағы , (10.7)

деформация жылдамдығы тензоры деп атайды.

Осы тензордың сыңарларында қандай геометриялық мән бар екендігін қарайық.

t уақытысына мынандай өсімшені берейік: dt. Онда ортаның бөлшектері мынандай өте кішкентай мөлшерге орын ауыстырады: .

Орын ауыстыру өрісіне мынандай деформация тензоры сәйкес келеді:

.

Деформация сыңарларын уақыт өсімшесіне dt бөле отырып, осы dt-ны нөльге ұмтылдырайық. Сонда алынатын мынандай мөлшер:

(10.8)

деформация жылдамдығы деп аталады.

Тензордың қиғаш сызықтағы сыңарлары элементарлы кесіндінің салыстырмалы ұзаруы жылдамдығы болып саналады. Осы салыстырмалы ұзару жылдамдығы координатты оське параллельді болады.

Тензордың бұйірдегі сыңарларын тік бұрышты кесінділердің бұрылу жылдамдығы немесе ығысу деформациясының жылдамдығы деп атайды.

Басты деформация жылдамдығы. Симметриялы деформация жылдамдығы тензорын координатты осьтерді бұру арқылы мынандай диагональды түрге келтіруге болады:

. (10.9)

Деформация жылдамдығының бас сыңарлары мынандай теңсіздікті қанағаттандырады: ξ₁ ≥ ξ₂ ≥ ξ₃.

Жаңа координатты жүйеде тензордың бұйірдегі сыңарлары нөльге тең болады, яғни нөльден айырмашылықта тек координатты осьтер бағытындағы сызықты деформация жылдамдықтары болады. Басқаша айытқанда жаңа координатты осьте тензордың ығысу деформациясы жылдамдықтары нөльге тең болады. Осындайда, координатты жазықтықтарға параллельді қырлары (биіктігі dl) және көлемі бар элементарлы куб dt уақытысында қырлары dl(1 + ξ_i)dt және көлемі ω болатын тікбұрышты параллелепипедке айналады. Осындайда, тым жоғары реттікті шексіз кішкентайға дейінгі дәлдікпен көлемнің салыстырмалы өзгеруі мынаған тең: .

Деформация жылдамдығының бас сыңарлары мынандай сипаттамалық теңдеудің нақты түбірлері болады: немесе жайылған түрде жазған кезде

. (10.10)

Деформация жылдамдығы тензорының инвариантары мынаған тең:

; (10.11)

; (10.12)

. (10.13)

Бірінші инвариантың физикалық мағанасы бар. Бұл мағана бойынша бірінші инвариант көлемнің салыстырмалы өзгеруінің жылдамдығына тең. Осы физикалық мағана мынандай теңдіктен де шығады:

. (10.14)

Деформация жылдамдығының девиаторы. Деформация жылдамдығы тензорын девиатор мен шар тензорының қосындысы түрінде былай көрсетуге болады:

, (10.15)

мұндағы немесе

. (10.16)

Анықтама бойынша девиатордың бірінші инварианты нөльге тең емес. Сондықтан девиатор орта элементінің көлемінің өзгеруімен байланысты емес, осы орта элементінің деформациясы жылдамдығын сиппатайды.

(10.15) формуласы ортаның шексіз кішкентай элементінің деформация жылдамдығын мынандай екі деформацияның қосындысы ретінде көрсетеді: олардың біріншісі девиатормен бейнеленеді және ол элемент көлемінің өзгеруінсіз, осы элемент пішінің бұрмалану жылдамдығын сипаттайды, ал екінші құраушысы (шарлық тензор) осы элементті біркелкі барлық жақтан созуды немесе қысуды сипаттайды.

Девиатор сыңарларын былай деп белгілейік: η_ik; η_ik = ξ_ik – ξ_оδ_ik.

Деформация жылдамдығы девиаторының тензоры = симметриялы болғандықтан, оны диоганаль түріне келтіруге болады. Деформация жылдамдығы девиаторының басты бағытымен тензордың басты бағыты бір-біріне сәйкес келеді.

Сиппатамалық теңдеуде мынандай түр бар:

немесе , (10.17)

өйткені оның бірінші инварианты нөльге тең. Деформация жылдамдығы девиаторының екінші және үшінші инвариантары мынандай формулалармен анықталады:

(10.18)

. (10.19)

Қарауымызға ығысу деформациясы жылдамдығының қарқындылығы деген түсінікті кіргізейік: . (10.20)

Ығысу деформациясының дәрежесі. Жылдамдықтар өрісін біліп материальды бөлшектің басты және ағымдағы координаттар байланысын анықтауға және деформацияны есептеуге ауысуға болатындығын біз жоғарыда айыттық.

Беріктену нәтижелерін сипаттағанда материальды бөлшектердің айналасында қосынды пішін өзгертуді анықтау маңызды рольді атқарады. Қосынды пішін өзгертудің мөлшері болып мынандай ығысу деформациясының дәрежесі есептеледі: , (10.21)

Интегралдауды материальды бөлшектің бүкіл траекториясы бойымен орындайды, яғни бастапқы жайдан (τ = 0) ағымдағы жайға дейін (τ = t).

Маңызды болып мына формула есептеледі: .

Осы формула ығысу деформация жылдамдығының қарқындылығы мен ығысу деформациясының дәрежесін байланыстырады.

Деформация жылдамдығының бірлестік теңдеулері. Деформацияның және деформация жылдамдығы сыңарларын анықтағанда қолданылатын байланыстардың ұқсастықтарын ескеріп, яғни

; ,

оқулық [1; 4] деформация жылдамдығы тензоры сыңарларының бірлестік теңдеулері келтірілген.

Цилиндрлік координат жүйесінде деформация жылдамдығы сыңарлары үшін мынандай формулаларды келтірейік ( ):

(10.22)

Сфералық координат жүйесінде деформация жылдамдығы сыңарларын былай анықталады ( ):

(10.23)

Негізгі әдебиеттер: [1] (тарау 3, бет 77 – 100); [2] (тарау 3, бет 51 – 72); [3] (тарау 1, бет 16 – 75); [4] (тарау 4, бет 99 – 109).

Қосымша әдебиеттер: [6] (тарау 3, бет 158 – 169).

Бақылау сұрақтары:

1. Ток сызығы дегеніміз не?

2. Траектория дегеніміз не?

3. Қандай жағдайда ток сызығы мен траектория бір-біріне сәйкес келеді?

4. Деформация жылдамдығы тензоры сыңарларын қандай формулалармен анықтайды?

5. Деформация жылдамдығының бас сыңарларын қалай анықтайды?

6. Деформация жылдамдығының девиаторы қандай формуламен анықталады?

7. Деформация жылдамдығы тензорының инвариантары қандай формуламен анықталады?

8. Ығысу деформациясының дәрежесі қандай формуламен анықталады?

9. Деформациян жылдамдығының бірлестік теңдеулері қандай формулалармен табылады?

№11 дәріс. Анықтаушы теңдеулер. Реологиялық модельдер.

Кинематикалық байланыстар мен сақталу заңдары, бастапқы және шекаралық шартармен бірге тұтас орта қозғалысын толық бейнелеуге мүмкіндік беретін толық теңдеулер жүйесін бермейді. Осы жүйені тұйық етіп жасап тұтас орта қозғалысын бейнелеу үшін қосымша байланыстар қажет. Айтылған байланыстарға зерттелетін ортаның нақтылы физикалық қасиетін сипаттайтын анықтаушы деп аталатын теңдеулер жатады.

Анықтаушы теңдеудің мысалы ретінде жылулық ағын векторын температура градиентімен J байланыстыратын жылу өткізгіштік теориясының теңдеуін (Фурье заңы) келтіруге болады. Анықтаушы теңдеудің басқа мысалы болып классикалық серпімділік теориясында кернеу мен деформацияны байланыстыратын Гук заңы саналады.

Әр түрлі орта үшін кернеу, деформация, деформация жылдамдығы, температура өрістері арасында байланыстың жалпы түрін орнататын феноменологиялық анықтаушы теңдеулердің жалпы теориясын жасау тұтас орта механикасының бір маңызды проблемалары болып саналады.

Қағида бойынша анықтаушы теңдеулер тәжірибелік зерттеулер нәтижесі негізінде шығарылады. Осы эмпиризмдік байланыстар тәжірибе жүргізілген жағдайдан айырмашылықта болатын жағдайда материалдардың жүріс-тұрысын дұрыс бейнелей алу үшін, жоғырада айтылған қатнастарды лайықты қанағаттандыратын кейбір ережелерді орнату қажет. Осы ережелер ішінде ең маңызды ретінде макроскопиялық анықтықтың, физикалық рұқсат қылудың және есептеу жүйесінен тәуелсіздіктің принциптерін айтып кетуге болады.

Осы принциптердің біріншісі тұтас ортада жүретін термеханикалық процесс түсінігімен байланысты. Белгіленген материальды бөлшек М айналасын қарап, егер осы бөлшек үшін аралығындағы уақыт бойынша үздіксіз дифференциалданатын функция түрінде деформация тензоры берілсе, онда деформация процесі берілген деп айтатын боламыз, яғни .

Осыған ұқсас, материальды бөлшек айналасында М , егер уақыт бойынша үздіксіз дифференциалданатын функция түрінде кернеу тензоры берілсе, онда жүктеу процесі берілген деп айтатын боламыз, яғни .

А. А. Ильюшинмен тұжырымдалған макроскопиялық анықтықтың постулаты (принципі) мынаны мақұлдайды: берілген зат үшін термомеханикалық күй, яғни t уақытысында материальды бөлшек М үшін кез-келген термомеханикалық макроскопиялық мөлшер, бір мағаналы осы бөлшек үшін процесімен және бастапқы мәндермен анықталады.

Физикалық рұқсат қылудың принципі анықтаушы теңдеулер сақталудың физикалық заңдарымен сәйкес болу керектігін талап етеді.

Есептеу жүйесінен тәуелсіздіктің принципінен күйлер теңдеуі байқаушының координат жүйесін түрлендіруіне қатысты коварианты болу керектігі шығады.