Взаємно однозначні відповідності

Означення. Взаємно однозначними відповідностями називаються відповідності, якщо кожному елементу множини Х відповідає єдиний елемент множини Y, і кожний елемент множини Y відповідає єдиному елементу множини Х.

У початковій школі поняття взаємно однозначної відповідності використовується неявно: на даному понятті будується лічба предметів та їх порівняння.

Наприклад. Як пояснити дітям, що 4 = 4 ?

Для пояснення беруть чотири червоних квадрата та чотири зелених трикутника і кожному червоному квадрату ставлять у відповідність зелений трикутник, тобто встановлюють взаємно однозначну відповідність між множинами червоних квадратів та зелених трикутників. Так як кожному червоному квадрату можна поставити у відповідність зелений трикутник і навпаки, то говорять, що 4=4.

Як пояснити дітям, що 3<4 ?

Для цього беруть також три червоних квадрата (множина А) і чотири зелених трикутника (множина В) і встановлюють взаємно однозначну відповідність між множиною, в якій 3 елемента і трьохелементною підмножиною множини, що містить 4 елемента.

В першому прикладі кожному елементу множини А (множини червоних квадратів) відповідає єдиний елемент множини В (множини зелених трикутників) і кожний елемент множини В (множини зелених трикутників) відповідає єдиному елементу множини А (множини червоних квадратів), тоді дана відповідність взаємно однозначна.

В другому прикладі кожному елементу множини А (множини червоних квадратів) відповідає єдиний елемент множини В (множини зелених трикутників), але не всім елементам множини В (множини зелених трикутників) відповідає єдиний елемент множини А (множини червоних квадратів), тоді дана відповідність не взаємно однозначна.

Якщо відповідності взаємно однозначні, то кількості елементів відповідних множин рівні.

Рівнопотужні множини

В теорії множин існує поняття рівнопотужних множин. Уточнимо дане поняття.

Означення.Множини Х і Y називаються рівнопотужними, якщо вони або порожні, або між ними встановлено взаємно однозначну відповідність.

Позначається рівнопотужність множин:

Якщо множина Х рівнопотужна множині Y, то записують так:

Рівнопотужність множин має свої характерні властивості:

1) Рефлективність: Будь яка множина рівнопотужна сама собі.

2) Симетричність:

3) Транзитивність:

Так як відношення рівнопотужності має властивості рефлективності, симетричності і транзитивності, то воно є відношенням еквівалентності.

Рівнопотужні множини можуть бути як скінченними так і нескінченними. Якщо множини скінченні і рівнопотужні, то вони мають однакову кількість елементів. Якщо множини Х та Y скінченні і множина Х рівнопотужна множині Y, то .

Якщо множини нескінченні і рівнопотужні, то частина множини може бути рівнопотужною всій множині.

Наприклад. 1) Множина А = {1,2,3,4}, множина букв у слові «урок», множина, що містить чотири геометричні фігури – все це рівнопотужні множини. Вони містять однакову кількість елементів.

2) Множина натуральних чисел і її підмножина – множина непарних натуральних чисел. Поставимо у відповідність кожному натуральному числу n непарне число 2n – 1. Ця відповідність взаємно однозначна: кожному натуральному числу відповідає єдине непарне число і кожне непарне число відповідає єдиному натуральному числу. Отже, , тобто множина натуральних чисел і множина непарних натуральних чисел, яка є підмножиною множини натуральних чисел, рівнопотужні.

Довгий час вважали, що всі нескінченні множини рівнопотужні між собою. В 70-80-х роках XIX ст. видатний німецький математик Г.Кантор (1845-1918) встановив, що серед нескінченних множин є безліч нерівнопотужних між собою множин і що всі нескінченні множини також можна розбити на класи рівнопотужних множин.

Найменша нескінченна потужність – це потужність множини натуральних чисел.

Будь-яка множина називається зчисленною, якщо вона рівнопотужна множині натуральних чисел.

Наприклад: множина усіх квадратів натуральних чисел називається зчисленною, бо вона рівнопотужна множині натуральних чисел. Множина усіх натуральних чисел, кратних k, множина цілих чисел, множина раціональних чисел також зчисленні. Між ними і множиною натуральних чисел можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Г.Кантор довів, що множина дійсних чисел на відрізку не рівнопотужна множині натуральних чисел N і має більшу потужність, ніж потужність множини N.

Користуючись поняттям рівнопотужності множин, можна уточнити поняття скінченної і нескінченної множин.

Означення.Множина А називається скінченною, якщо в ній жодним способом не можна виділити правильної частини В, рівнопотужної всій множині А. Якщо в А можна виділити рівнопотужну їй правильну частину В, то тоді А називається нескінченною множиною.

Це означення розкриває найхарактернішу відмінність між скінченними й нескінченними множинами. Не слід ототожнювати нескінченну множину і скінченну множину, яка містить дуже багато елементів.

Питання для самоконтролю

1. Наведіть приклади множин, назвіть їх елементи.

2. Дайте означення порожньої множини, підмножини, рівних множин. Наведіть приклади.

3. Перелічіть відомі числові множини.

4. Дайте означення доповнення підмножини до множини.

5. Дайте означення перерізу множин, їх об’єднанню. Сформулюйте закони цих операцій.

6. Сформулюйте умови правильної класифікації. Наведіть приклади класифікацій.

7. Дайте означення декартового добутку двох множин. Поясніть зображення декартового добутку двох числових множин на координатній площині.

8. Сформулюйте означення відповідності між множинами. Перелічіть способи задання відповідностей.

9. Дайте поняття відповідності, оберненій до даної, назвіть її особливості.

10. Сформулюйте поняття взаємно однозначної відповідності.

11. Які множини називаються рівнопотужними?

12. Дайте означення бінарного відношення між елементами однієї множини, назвіть способи задання бінарних відношень.

13. Назвіть властивості бінарних відношень, проілюструйте на конкретних прикладах.

14. Що називається графом відношенням? Назвіть його елементи і позначення.

15. Яке відношення називається відношенням еквівалентності, відношенням порядку, відношенням нестрогого порядку? Наведіть приклади.

Система вправ

1. За якою характеристичною ознакою утворено такі множини:

А) А = {5, 10, 15, 20, …, 5к, …};

Б) В = {…, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, ...};

В) М = {а, 2а, 4а, 8а, … };

Г) К = { O, ∆, , , □}.

2. Записати різними способами такі множини:

А) множину дійсних чисел, квадрати яких більше за 2;

Б) множину дійсних чисел, менших за -5;

В) множину парних чисел, більших за 100;

Г) множину цілих степенів числа 10.

3. Записати множину А розв’язків рівняння ‌‌‌‌ = 7 і множину В розв’язків рівняння х² - 49 = 0. що можна сказати про ці множини. Записати відповідь за допомогою знака рівності і за допомогою знака включення.

4. Підібрати життєві приклади таких множин А_1, А₂, А₃, щоб А₃ А₂ А_1. Записати це за допомогою фігурних дужок.

5. Які із множин рівні між собою: А – множина прямокутників з рівними сторонами; В – множина ромбів з прямими кутами; С – множина прямокутників із взаємно перпендикулярними діагоналями; К – множина квадратів; Е – множина паралелограмів з рівними діагоналями?

6. Знайти А∩В, А В, А\ B, B\ A, якщо:

А) А – множина правильних многокутників, В –множина чотирикутників;

Б) А – множина раціональних чисел, В – множина дійсних чисел.

Записати та показати за допомогою кругів Ейлера.

7. Дано: А = {2, 3, 4, 5}, В = {5, 10, 15, 20}, С = {20, 30, 40}. Знайти А В, А С, В С, А∩В, А∩ С, В∩ С, А ∩В∩ С, А В С, А\ В, А\ С, В \ С, В \ А, С \ А, С\ В.

8. Навести приклади класифікацій таких множин:

А) множина студентів вашого коледжу;

Б) множина слів у словнику;

В) Множини задач, що розв’язуються у початкових класах.

9. Знайти декартів добуток множин А×В і В×А, якщо А = {5, 7, 9} і В = {2, 4, 6, 8}. Сформулюйте цю задачу у вигляді задачі на відшукання певних двоцифрових чисел. Записати ці числа.

10. Довести істинність рівностей:

А) (А В) × С = А×С В×С;

Б) (А∩В) × С = А×С ∩ В×С;

В) (А\ B) × C = А×С \ В×С.

11. Зобразити в прямокутній системі координат множини А×В, якщо

А = {a/ -5≤ а ≤ 4} і a Z; В = {b/ 2≤b≤6} і b Z; при тій самій умові, але a N і b N; a R і b R.

12. Дано множини Х = {зелений, жовтий, червоний, синій} і У = {лист, прапор, галстук}. Знайти і зобразити відповідність між цими множинами. Побудувати граф оберненого відношення.

13. Побудувати графік і граф прямого і оберненого відношення між парними числами множини Х = {-6, -4, -2, 0, 2, 4} і їх модулями.

14. Навести приклади задач із підручників початкових класів, у яких розглядаються відношення «більше в … разів», «важче», «старше», «молодше». Які властивості мають ці відношення?

15. Побудувати граф відношення «х > у» на множині М = {2, -2, 5, 8, -2³, 3²} і простежити за графом властивості цього відношення.

16. Навести приклади задач із підручників початкових класів, у яких учням доводиться упорядковувати множини. Назвіть відношення, за допомогою яких відбувається це упорядкування.

17. На множині людей задано відношення: «бути братом», «бути старшим за віком», «бути вищим зростом», «жити в тому самому будинку». Які з цих відношень є відношення сторогого порядку?

Розділ ІІІ

ЦІЛІ НЕВІДЄМНІ ЧИСЛА.