Пример. Частотный диапазон каротажного кабеля длиной 1 км 0-200 кГц

Частотный диапазон каротажного кабеля длиной 1 км 0-200 кГц. Частотный диапазон измерительных датчиков скважинного прибора 5-5000 Гц. От какого количества датчиков одновременно может передаваться информация по данному каротажному кабелю?

Минимальная несущая частота должна быть на порядок выше максимальной частоты модулирующего сигнала, т.е. порядка 50 кГц. Для передачи сигнала от одного датчика требуется полоса частот 2×5 = 10 кГц плюс пустой защитный интервал для исключения перекрестных помех порядка 1 кГц, т.е. 11 кГц. Общее количество каналов передачи информации: (200-50+5)/11 = 14 каналов.

Автокорреляционная функция АМ-сигналов:

B_u(t) = u(t) u(t-t) dt. (9.1.12)

C учетом того, что постоянная фаза не влияет на форму АКФ, при u(t)=U(t)·cos w_ot получаем:

cos w_ot · cos w_o(t-t) = 0.5 cos w_ot + 0.5 cos w_o(2t-t).

B_u(t) = U(t) U(t-t) dt + 0.5 U(t) U(t-t) cos w_o(2t-t) dt. (9.1.13)

Второй интеграл в формуле АКФ существенно меньше первого - произведение медленно меняющейся функции U(t)U(t-t) и сильно осциллирующего члена с частотой 2w_o, и им можно пренебречь. Первый интеграл представляет собой АКФ сигнала U(t). Отсюда:

B_u(t) @ B_U(t). (9.1.14)

Полная энергия сигнала за счет усреднения по высокочастотным колебаниям:

B_u(0) @ (1/2) B_U(0).

При бесконечной энергии сигнала:

B_u(t) = . (9.1.15)

Демодуляция АМ-сигналов может выполняться несколькими способами.

Самый простейший способ – двухполупериодное детектирование (вычисление модуля сигнала) с последующим сглаживанием полученных однополярных полупериодов несущей фильтром низких частот.

На рис. 9.1.7 приведен пример изменения однотонального амплитдно-модулированного сигнала и его физического спектра при детектировании (в реальной односторонней шкале частот и в реальной шкале амплитудных значений гармоник колебаний). Параметры представленного сигнала: несущая частота 30 Гц, частота модуляции 3 Гц, коэффициент модуляции М=1.

Как видно на рисунке, при детектировании спектр модулированного сигнала становится однополярным, переходит на основную несущую частоту 2w_o и уменьшается по энергии почти в 5 раз. Основная часть энергии (более 4/5) трансформируется в область низких частот и распределяется между постоянной составляющей и выделенной гармоникой сигнала модуляции. Между постоянной составляющей и выделенной гармоникой энергия распределяется в зависимости от значения коэффициента модуляции М. При М=1 энергии равны, при М=0 (в отсутствие сигнала модуляции) вся энергия переходит на постоянную составляющую.

Рис. 9.1.7. Изменение однотонального модулированного сигнала при детектировании

Кроме этих составляющих в спектре появляются также 2-я, 3-я и более высокие гармоники детектированного модулированного сигнала (т.е. в данном случае на частотах {117, 120, 123} Гц, {177, 180, 183} Гц и т.д.), которые не показаны на рисунке. Энергия второй гармоники не превышает 2%, а остальных и вовсе незначительна. Демодуляторы сигнала выделяют после детектирования только низкочастотный информационный сигнал и подавляют все остальные частоты, включая постоянную составляющую.

Очевидно также, что в случае перемодуляции сигнала исходный информационный сигнал будет восстанавливаться с ошибкой.

Другой распространенный метод – синхронное детектирование. При синхронном детектировании модулированный сигнал умножается на опорное колебание с частотой несущего колебания. Без учета фазовых углов колебаний:

y(t) = u(t) cos(w_ot) = U(t) cos(w_ot) cos(w_ot) = ½ U(t) + ½ U(t) cos(2w_ot). (9.1.16)

Рис. 9.1.8.

Как следует из этого выражения, сигнал разделяется на два слагаемых, первое из которых повторяет исходный модулирующий сигнал, а второе повторяет модулированный сигнал на удвоенной несущей частоте 2w_о. На рис. 9.1.8 приведено визуальное сопоставление двухполупериодного и синхронного детектирования, которое наглядно показывает практически полное подобие процессов. Но форма новой несущей при синхронном детектировании является чистой гармоникой, в отличие от двухполупериодного детектирования, где новая несущая явно содержит дополнительные гармоники более высоких частот. Физический амплитудный спектр сигналов после демодуляции подобен спектру двухполупериодного детектирования, но однозначно соотносится со спектром входного модулированного сигнала: амплитуды гармоник модулированного сигнала на частоте 2w_о в два раза меньше амплитуд входного сигнала, постоянная составляющая равна амплитуде несущей частоты w_o и не зависит от глубины модуляции, амплитуда информационного демодулированного сигнала в 2 раза меньше амплитуды исходного модулирующего сигнала. Замечательной особенностью синхронного детектирования является полная независимость от глубины модуляции, т.е. коэффициент модуляции сигнала может быть больше 1.

Однако при синхронном детектировании требуется точное совпадение фаз и частот опорного колебания демодулятора и несущей гармоники АМ-сигнала.

При сдвиге фазы опорного колебания на Dw относительно несущей частоты выходной сигнал демодулятора оказывается умноженным на косинус фазовой ошибки:

y(t) = U(t) cos(w_ot) cos(w_ot-Dj) = ½ U(t) cos(-Dj) + ½ U(t) cos(2w_ot-Dj).

и амплитуда сигнала занижается, а при Dw=p/2 становится равной нулю.

При сдвиге частоты между несущим и опорным колебаниями сигнал демодулятора оказывается умноженным на гармоническое колебание с разностной частотой:

y(t) = U(t) cos(w_ot) cos(w_ot-Dw) = ½ U(t) cos(-Dwt) + ½ U(t) cos((2w_o-Dw)t),

при этом выходной сигнал демодулятора начинает пульсировать (beat – биения) с частотой биений Dw.

Для частотной и фазовой синхронизации между несущим и опорным колебаниями в составе демодуляторов обычно используются следящие системы фазовой автоподстройки опорной частоты.

Рис. 9.1.9. Балансная модуляция.

Балансная амплитудная модуляцияили АМ с подавлением несущей частоты (АМ-ПН).Как следует из вышеприведенных данных, основная доля мощности АМ – сигнала приходится на несущую частоту. При балансной модуляции производится перемножение двух сигналов – модулирующего и несущего, при котором происходит подавление несущего колебания, соответственно, КПД модуляции становится равным 100%. Так, для однотонального сигнала (без учета начальных фаз колебаний) при U(t) = M×cos(Wt) имеем:

u(t) = U_mM×cos(Wt)×cos(w_ot) = (U_mM/2){cos[(w_o+W)t] + cos[(w_o-W)t]}, (9.1.17)

т.е. биения двух одинаковых по амплитуде гармонических сигналов с верхней и нижней боковыми частотами. По существу, однотональный модулирующий сигнал переносится на биения двух высоких частот. Пример сигнала с балансной модуляцией приведен на рис. 9.1.9. Амплитудный спектр сигнала подобен приведенному на рис. 9.1.4 с отсутствующей несущей частотой w_o. Аналогично, многотональный балансно - модулированный сигнал имеет две симметричные относительно частоты w_o группы верхних и нижних боковых колебаний:

u(t) = (U_m/2){ M_ncos[(w_o+W_n)t+F_n] + M_ncos[(w_o+W_n)t-F_n]}. (9.1.18)

Физическая сущность подавления несущей частоты заключается в следующем. При переходе огибающей биений U(t) через нуль фаза несущей частоты высокочастотного заполнения скачком изменяется на 180⁰, поскольку функция косинуса огибающей имеет разные знаки слева и справа от нуля. При этом в достаточно высокодобротной системе (с малыми потерями энергии), настроенной на частоту w_o, колебания, возбужденные одним периодом биений, будут гаситься последующим периодом.

Однако балансная модуляция не получила широкого распространения в связи с трудностями, возникающими при демодуляции сигналов. В принципе, синхронное детектирование, как и для АМ, позволяет выполнять демодуляцию без каких-либо проблем, но при условии известной частоты несущей сигнала и точной фазовой синхронизации опорной частоты с несущей. Но во входном сигнале демодулятора при АМ-ПН несущая частота отсутствует, и автоматическая синхронизация становится невозможной. Для снятия этой трудности обычно применяют неполное подавление несущей и оставляют в модулированном сигнале определенный "остаток" несущей (пилот-сигнал), который и используется для фазочастотной автосинхронизации при демодуляции.

Однополосная амплитудная модуляция. При идентичности информации в группах верхних и нижних боковых частот нет никакой необходимости в их одновременной передаче. Одна из них перед подачей сигнала в канал связи может быть удалена, чем достигается двукратное сокращение полосы занимаемых сигналом частот. Уравнение сигнала с одной боковой полосой (ОБП – сигнал, single side band - SSB) может быть получено непосредственно из 9.1.11. Для верхней (знаки '+' во втором слагаемом) или нижней (знаки '-') боковой полосы:

u(t) = U_mcos(w_ot+j_o) + (U_m/2) M_ncos[(w_o±W_n)t+j_o ±F_n]. (9.1.19)

Рис. 9.1.10. Однополосная амплитудная модуляция.

Внешняя форма ОБП – сигнала после удаления одной боковой полосы, пример которой приведен на рис. 9.1.10 для однотонального сигнала, сходна с обычным АМ – сигналом, но ее огибающая, как это нетрудно заметить, отличается от огибающей U(t), заданной при модуляции по при М = 1 (показана пунктиром).

Для демодуляции ОБП – сигнала может использоваться как двухполупериодное, так и синхронное детектирование, со всеми особенностями, присущими этим методам. Результаты демодуляции отличаются от демодуляции АМ – сигналов только в 2 раза меньшей амплитудой выходных сигналов.

При однополосной модуляции возможно также подавление несущей частоты (полное или частичное, с оставлением пилот-сигнала), что позволяет полнее использовать мощность передатчика.

Полярная модуляциярешает конкретную техническую задачу – передачу двух сигналов одновременно, что требуется, например, в стереовещании или при передаче стереоснимков. Рассмотрим это на примере стереосигналов.

В системе стереовещания необходимо передавать два сигнала s₁(t) и s₂(t) одновременно (левый и правый каналы) при условии совмещения с монофоническими приемниками. Для выполнения этого условия создается специальный модулирующий сигнал. Процесс создания сигнала поясняется на рис. 9.1.11, где в качестве канальных сигналов приняты моногармонические сигналы s1 и s2.

Рис. 9.1.11. Полярная модуляция.

Специальный модулирующий сигнал формируется из двух сигналов - монофонического и разностного. Монофонический сигнал образуется суммой сигналов в каналах, разностный – разностью сигналов:

s_mono(t) = s₁(t) + s₂(t), s_diff(t)= s₁(t) - s₂(t),

что позволяет восстанавливать исходные сигналы каналов:

s₁(t) = (s_mono(t)+s_diff(t))/2, s₁(t) = (s_mono(t) - s_diff(t))/2.

Монофонический сигнал является основным и не изменяется по частоте, что позволяет принимать его монофоническим приемникам. Для одновременной передачи разностного сигнала монофонический сигнал суммируется с поднесущей частотой w_o (subcarrier), которая располагается за звуковым диапазоном частот монофонических приемников (в области ультразвука), и модулируется разностным сигналом (с установкой коэффициента модуляции значением смещения А_о):

s(t) = s_mono(t) + (A_o + s_diff(t))·cos(w_ot).

Полученный сигнал называют композитным стереосигналом. Именно он используется в качестве модулирующего сигнала для любого метода модуляции, в том числе и для угловой модуляции, которая будет рассматриваться ниже. Как видно на рис. 9.1.11, верхняя и нижняя огибающие композитного сигнала с точностью до постоянной составляющей соответствуют первому и второму сигналу стереоканалов, что позволяет достаточно просто выделять эти сигналы на приемной стороне. На практике поднесущую частоту композитного сигнала обычно частично или целиком подавляют. Подавление поднесущей выполняется изменением значения смещения А_о®0, при этом разностный сигнал переходит в режим перемодуляции, а динамический диапазон амплитуд композитного сигнала уменьшается в два раза.