Классическое и статистическое

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Брянский государственный технический университет

«Утверждаю»

Ректор университета

__________ А.В. Лагерев

«__»___________ 2003 г.

Теория вероятностей

И математическая статистика

Сборник задач

Брянск 2003

УДК 511

Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник задач. – Брянск: БГТУ, 2003. – 59 с.

Разработали: А.И. Горелёнков, канд. техн. наук, доц.;

В.М. Кобзев, ст. преп.;

А.П. Мысютин, канд. техн. наук, доц.

Рекомендовано кафедрой «Высшая математика» (протокол №3 от 17.03.02).

Научный редактор Н.А. Ольшевская, Э.К. Фёдорова

Редактор издательства Л.Н. Мажугина

Компьютерный набор А.И. Горелёнков

Темплан 2003 г., п. 9

Формат . Бумага офсетная. Офсетная печать. Подписано в печать Усл. печ. л. 3,42 Уч.-изд. л. 3,42 Тираж 200 экз. Заказ Бесплатно.

Брянский государственный технический университет 241035, Брянск, бульвар 50-летия Октября, 7, БГТУ, тел. 55-90-49. Лаборатория оперативной полиграфии БГТУ, ул. Институтская, 16.

Предисловие

Настоящий сборник представляет собой систематизированную подборку задач по теории вероятностей и математической статистике. Все задачи снабжены ответами. В начале каждого параграфа приведена сводка основных теоретических положений и формул, необходимых для решения задач.

Сборник задач продолжает традицию задачников по теории вероятностей, издававшихся кафедрой высшей математики БГТУ (БИТМ) [4, 5, 9]. Данное издание является переработкой последнего из этих задачников. Добавлено много задач, в частности, составлены параграфы «Комбинаторика», «Неравенство Чебышева», включена новая тема «Элементы математической статистики».

Список литературы, приведенный в конце сборника, указывает основные источники , которыми мы пользовались.

Большую помощь в подборе задач оказали преподаватели кафедры «Высшая математика» Н.В. Лозинская, Н.А. Ольшевская, Н.Л. Порошина, которым авторы выражают благодарность.

Авторы будут признательны всем, заметившим недостатки данного издания и внесшим предложения по его улучшению.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Размещениемk элементов из n элементов называется упорядоченная выборка (либо расположение в определённом порядке) k из этих элементов.

Число размещений из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле .

Число размещений из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством .

Размещения из n различных элементов по n элементов называются перестановками.

Число перестановок из n различных элементов вычисляется по формуле

.

Число перестановок с повторениями из n элементов, спецификация которых { }, определяется равенством

, где .

Сочетаниемk элементов из n элементов называется выборка k из них без учёта порядка.

Число сочетаний из n различных элементов по k элементов без повторений вычисляется по формуле .

Число сочетаний из n различных элементов по k элементов с неограниченными повторениями определяется равенством .

1.1. Сколькими способами можно выбрать три различные краски из имеющихся пяти?

1.2. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять одну книгу одного на книгу другого?

1.3. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, культорга и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

1.4. На диск секретного замка нанесены 10 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим пароля?

1.5. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг, одна из полос которого должна быть красной, если имеется материал пяти различных цветов?

1.6. Сколькими различными способами можно выполнить групповой портрет пяти человек, если поставить а) их в один ряд; б) трёх человек в первом ряду и двух – во втором?

1.7. Сколькими способами можно расселить девять студентов в трёх комнатах, рассчитанных на трёх человек каждая?

1.8. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 коня,
2 слона, 2 ладьи, ферзя и короля) на первой линии шахматной доски?

1.9. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждая из них может повторяться несколько раз?

1.10. В почтовом отделении продаются открытки 10 видов. Сколькими способами можно купить в нём а) 8 открыток; б) 8 различных открыток?

1.11. Номера состоят из двух букв и трёх цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.

1.12. Сколько различных вариантов хоккейной команды можно составить из
9 нападающих, 5 защитников и 3 вратарей, если в состав команды должны войти 3 нападающих, 2 защитника и 1 вратарь?

1.13. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы цифры не повторялись и крайние цифры были чётными?

1.14. Из 10 разных цветков нужно составить букет так, чтобы в него входило не менее 5 цветков. Сколько различных способов существует для составления такого букета, учитывая, что число цветков должно быть нечётным?

1.15. Сколько различных четырёхзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1.16. В клубе велосипедистов при перерегистрации членских билетов из суеверия перестали использовать цифру 8. Сколько членов было в клубе, если известно, что использованы все трёхзначные номера, не содержащие ни одной 8?

1.17. У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого – 9 книг. Сколькими способами они могут обменять 2 книги одного на 2 книги другого?

1.18. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, если каждая цифра входит в состав числа только один раз?

1.19. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно вынуть
6 карт так, чтобы среди них было 2 туза?

1.20. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы в каждом числе содержалась цифра 1 (цифры в числе не должны повторяться)?

КЛАССИЧЕСКОЕ И СТАТИСТИЧЕСКОЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Частотой (относительной частотой) события А в данной серии экспериментов называется число , где n – общее число произведённых экспериментов, – число экспериментов, в которых наступило событие А.

Наблюдаемое на практике свойство частоты стабилизироваться возле некоторого числа при неограниченном увеличении объема серии экспериментов называется устойчивостью относительной частоты. При этом число, вокруг которого группируются относительные частоты, называется вероятностьюсобытияА и обозначается P(A) (статистическое определение вероятности).

Если пространство элементарных событий W состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность P(A) события А равна числу m элементарных событий, входящих в А, делённому на число всех элементарных событий n, т.е. .

Случай равновозможных событий называется классическим, поэтому вероятность часто называют классической.

2.1. При испытании партии приборов относительная частота годных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего было произведено 200 приборов.

2.2. Игральный кубик бросают один раз. Найти вероятности следующих событий: А – появление нечётного числа очков, В – появление не менее пяти очков.

2.3. Монету бросают два раза. Найти вероятность появления хотя бы одного герба.

2.4. Бросают два игральных кубика. Найти вероятности следующих событий: А – сумма очков равна 4, В – сумма очков кратна 3.

2.5. При перевозке 100 деталей, из которых 10 были забракованы, утеряна одна стандартная деталь. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая (после перевозки) деталь оказалась стандартной.

2.6. У ребёнка, не умеющего читать, имеются буквы С, И, Г, М, А. Какова вероятность того, что выкладывая их наугад, он получит слово СИГМА?

2.7. Абонент помнит только первые три цифры телефонного номера. Три последние забыл, но знает что они различны. Какова вероятность того, что он наберёт нужный номер?

2.8. К концу дня в магазине осталось 60 арбузов, из которых 50 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. Какова вероятность того, что выбранные им арбузы будут спелыми?

2.9. У ребёнка, не умеющего читать, имеются буквы А, А, Г, М, М. Какова вероятность того, что выкладывая их наугад, он получит слово ГАММА?

2.10. В партии из 50 изделий 2 бракованных. Для проверки наудачу выбрали 3 изделия. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий одно окажется бракованным.

2.11. Абитуриент может на каждом из трёх экзаменов с равными вероятностями получить 2, 3, 4, 5. Какова вероятность его поступления в ВУЗ, если проходной бал – 14?

2.12. В ящике 8 белых и 13 красных шаров. Из ящика вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что вынули: а) 2 белых шара, б) 1 белый и 1 красный шар.

2.13. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность того, что это девушки?

2.14. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошёл между 50-м и 55-м километрами линии?

2.15. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом этаже, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий: А – все пассажиры выйдут на четвёртом этаже, В – все пассажиры выйдут на одном и том же этаже, С – все пассажиры выйдут на разных этажах.

2.16. При перевозке ящика, в котором содержалась 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь. Наудачу извлечённая (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность этого события, при условии, что была утеряна: а) стандартная деталь, б) нестандартная деталь.

2.17. Бросают два игральных кубика. Найти вероятности следующих событий: А – произведение чисел очков равно 12, В – сумма квадратов чисел очков равна 25.

2.18. Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что хотя бы два раза выпадет герб?

2.19. У ребёнка не умеющего читать, имеются буквы И, Н, Т, Е, Г, Р, А, Л. Какова вероятность того, что извлекая по очереди четыре буквы, он получит слово ТИГР?

2.20. В группе 15 юношей и 10 девушек. На вечер группа получила 5 билетов, которые разыгрываются по жребию. Какова вероятность того, что на вечер попадут 2 девушки и 3 юношей?

ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

Событие W называется достоверным, если осуществление эксперимента обязательно приводит к появлению этого события.

Событие называется невозможным, если осуществление эксперимента никогда не приводит к его появлению.

Событие А называется случайным, если в результате осуществления эксперимента оно может как произойти, так и не произойти.

СуммойА+В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдёт или А, или В, или оба вместе.

ПроизведениемАВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошли одновременно и А и В.

События А и В называются несовместными, если .

Событие называется противоположным событию А, если и .

События образуют полную группу событий, если (i¹j) и .

3.1. Рассмотрим события: А – хотя бы одно из группы изделий бракованное, В – бракованных изделий не менее двух. Что означают события ?

3.2. Событие В является частным случаем события А. Чему равны их сумма и произведение?

3.3. Монету бросают три раза. Под исходом опыта будем понимать последовательность , где каждая обозначает выпадения герба (Г) или цифры (Ц). Построить пространство элементарных событий. Описать событие А, состоящее в том, что выпало не менее двух гербов.

3.4. Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами r_i (i =1, 2,¼, 10), причём r₁ < r₂ <¼<r₁₀. Событие A_i – попадание в круг радиуса r_i. Что означают события , ?

3.5. Пусть А, В, С – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С: а) произошло только А; б) произошли А и В, но С не произошло; в) все три события произошли; г) произошло по крайней мере одно из этих событий; д) произошли по крайней мере два события; е) произошло одно и только одно событие; ж) произошли два и только два события; з) ни одно из событий не произошло; и) произошло не более двух событий.

3.6. Доказать, что события А, и образуют полную группу событий.

3.7. Пусть А, В, С – случайные события. Выяснить смысл равенств: а) АВС = А, б) А+В+С = А.

3.8. Для сигнализации об аварии установлены два сигнализатора. Рассмотрим события: А – первый сигнализатор срабатывает при аварии, В – второй сигнализатор срабатывает при аварии. Используя операции над событиями, выразить через А и В события: С – при аварии срабатывает первый сигнализатор, D – при аварии срабатывает только один сигнализатор, Е – будет дан сигнал об аварии.

3.9. Пусть производится три выстрела по мишени. Событие А_i – попадание при i-ом выстреле. Выразить через событияА_i следующие события: В – хотя бы одно попадание, С – ни одного попадания, D – только одно попадание, Е – только два попадания, F – не менее двух попаданий.

3.10. Будут ли равными события А и В, если а) , б) для некоторого события С: А + С = В + С, в) для любого события С: А + С = В + С?